以“微話題”為導向，在探討中促生成
——由“圓錐的側面積和全面積”教學說起

☉江蘇省南通市陳橋中學　陳建均

以“微話題”為導向，在探討中促生成
——由“圓錐的側面積和全面積”教學說起

☉江蘇省南通市陳橋中學陳建均

本節課是在進行初中數學“微話題探討式學習”教學策略研究過程中，筆者代表課題組開設了一節“圓錐的側面積和全面積”的區級公開課.

一、教學簡錄

筆者在課前布置學生用紙或紙板制作一個有底的圓錐模型.

上課伊始，筆者首先請學生在小組內交流制作過程，談談制作過程中遇到的問題或心得.筆者在參與小組探討過程中發現學生知道圓錐的側面展開圖是扇形、圓錐的底是圓，探討的話題主要集中在：（1）畫出扇形后，如何給圍出的圓錐配一個合適的底；（2）畫出圓后，如何配一個合適的側面.

師：為什么你選擇畫扇形和圓？（微話題一）

學生的結論是圓錐的側面展開圖是扇形、底面是圓.筆者進一步追問“為什么圓錐的側面展開圖是扇形？”學生探討的結論是圓錐的頂點到底面圓上各點的距離相等，根據圓的學習，圓錐的側面展開圖是扇形.

師：剛才大家提到圓錐的頂點到底面圓上各點的距離相等，這樣的線段有無數條.你能給它們起個名稱、下個定義嗎？（微話題二）

在側線、外側線、圍線、母線等名稱的討論中，最終母線勝出.學生認為這些線段好像母親環抱著自己的孩子，把這些線段叫做母線準確而形象.學生給出的定義是連接圓錐的頂點到底面圓上各點的線段叫做圓錐的母線.

師：很多同學選擇先畫扇形，再給圍出的圓錐配一個底，你能給出這個底面圓的半徑嗎？（微話題三）

其中一組學生提出：把圍出的圓錐扣在紙上，利用“不在同一直線上的三個點確定一個圓”找出圓心，量出半徑.筆者對該方案給予充分肯定的同時提出“這個方案容易出現誤差，能夠通過計算提高準確度嗎？”學生探討的結論是量出扇形的圓心角和半徑，再利用圓錐的側面展開圖扇形的弧長等于底面圓的周長，求出底面圓的半徑.

師：有少部分同學選擇先畫圓，再配圓錐的側面，你認為最大的困難在哪里？如何解決？（微話題四）

學生很快就明確了最大的困難在于求扇形圓心角的度數.關于如何求扇形的圓心角，學生探討的結論是量出底面圓的半徑和扇形的半徑，再利用圓錐的側面展開圖扇形的弧長等于底面圓的周長，從而求出扇形的圓心角.

師：兩種解決方案都用到了一個等量關系，這個等量關系是什么？你能依據兩種解決方案，出兩道數學簡答題給小組內的同伴做嗎？（微話題五）

學生注意到等量關系是圓錐的側面展開圖扇形的弧長等于底面圓的周長.兩種方案對應兩道題：（1）已知圓錐的側面展開圖扇形的半徑和圓心角，求底面圓的半徑；（2）已知圓錐底面圓的半徑和側面展開圖扇形的半徑，求扇形的圓心角.

師：老師這兒也有一道題：已知圓錐的母線長是2，底面圓半徑是3，則圓錐的側面展開圖扇形的圓心角是____°.你幫老師想想.（微話題六）

部分學生算出540°后認為完成了；部分學生在仔細檢查解題過程中，試圖在計算上發現問題；部分學生在小聲議論題目出錯了.

師：錯在哪兒？為什么？（微話題七）

學生探討的結論是圓錐的底面圓的半徑、高、母線構成了一個直角三角形，斜邊大于直角邊，所以此題出錯了.

師：老師手中的這個圓錐模型，底面圓的半徑r＝3，母線l＝5，你能幫老師算出用了多少面積的紙板嗎？（微話題八）

筆者在參與小組探討中發現大部分學生先求圓錐側面展開圖扇形的圓心角，再求扇形的面積；少部分學生利用圓錐的側面展開圖扇形的弧長等于底面圓的周長的等量關系，結合扇形弧長與扇形面積之間的聯系求出扇形的面積；少部分學生沒有加上底面積.

筆者請兩位學生板書了兩種求圓錐側面積的方法.

師：圓錐的底面圓的半徑r＝2，母線l＝3，你能快速算出圓錐的側面積嗎？說說你是怎么做到的？（微話題九）

部分學生發現圓錐的側面面積等于πrl.筆者追問“你會推導嗎？”引導學生完成證明.筆者又說：“老師再給大家出一道搶答題.圓錐的底面圓的半徑為5，高為12，求圓錐的側面積.”

部分學生的答案是60π，部分學生的答案是65π.

師：為什么會有不一樣的答案？問題在哪兒？（微話題十）

部分原先答案是60π的學生在反思自己的方法后很快發現了其中的問題.筆者請其中的一位學生講了做這道題的體會：在使用公式時要注意看清條件.

師：老師的這個圓錐模型，有同學算出需要15π的紙板，有同學算出需要24π的紙板，你認為哪個答案是正確的，請說明理由.（微話題十一）

學生指出前者少算了底面積，這是一個有底的圓錐模型，它的表面積應該是底面積和側面積的和.

師：在這節課的話題研討中，你認為這節課中最大的學習收獲是什么？請跟你的同伴進行交流.（微話題十二）

學生談到最有意思的是母線的命名；學生談到制作圓錐模型需要運用等量關系——圓錐側面展開圖扇形的弧長等于底面圓的周長；學生談到最有價值的發現是圓錐的側面面積公式.

二、以“微話題”為導向，在探討中促生成

“微話題”簡單來說就是小的談論的主題.在本節課中，筆者通過設置“用紙或紙板制作一個有底的圓錐模型”的活動引出了微話題“如何用紙或紙板制作一個有底的圓錐模型”，并在此基礎上圍繞學生出現的問題、知識的內在聯系設置了若干“微話題”，最終達成本課的學習目標.

1.抓住學生出現的問題

筆者認為課堂教學要關注學生存在的問題，在學生的問題上多花時間，引導學生提出問題、分析解決問題；同時課堂時間又是有限的，筆者認為需要選擇典型的問題進行探討，非典型問題小組內探討解決.在本節課中，學生帶著問題走進課堂，首先在小組內交流，進行小組內的微話題探討.筆者參與其中了解了學生探討的微話題后，篩選出了全班探討的兩個微話題.本著優先考慮大多數學生的問題，確定了兩個微話題的順序，分別對應微話題三、四.對于后面發現的兩處典型性錯誤，筆者安排了兩個微話題，促進學生的反思，加深對公式的理解和認識，分別對應微話題十、十一.

2.順應知識的內在聯系

筆者認為課堂教學要順應知識的內在聯系，在知識的自然生長上多花時間.宏觀上，微話題“如何用紙或紙板制作一個有底的圓錐模型”構成了本節課探討的主線.微觀上，學生雖然知道圓錐的側面展開圖是扇形，但是局限于感性的認識并未進行理性的分析，因此，筆者安排微話題一引導學生加以思考，并自然引向微話題二探討出母線的概念和定義.筆者又利用微話題六的探討引出圓錐的底面圓的半徑、高和母線三者之間的關系.

3.在探討中促生成

初中生的數學學習應該更輕松、活潑，這樣更符合初中生的年齡特點，更有益于提高學生的學習興趣，推動學生的長遠發展.本節課筆者始終和學生保持平視，和學生一起合作學習，從小組的探討到全班的探討，推動學生的思考，讓學生的思維自然地向前發展.學生的自主思考學習，生生、師生的合作學習交替出現，互動錯落有致，思維的火花不時迸發.

1.章建躍.中學數學課改的十個論題［J］.中學數學教學參考（上），2010（3-5）.

2.鄭毓信.“數學教師的基本功”之三善于優化［J］.人民教育，2008（20）.

3.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

4.李庾南.自學·議論·引導教學論［M］.北京：人民教育出版社，2013.