張和平

直線和圓錐曲線的位置關(guān)系中，相切是一種特殊而重要的關(guān)系，在各種級別的考題中，也常常出現(xiàn)切線的身影，而且圓錐曲線本身就是其切線族的“包絡(luò)”，但課本對切線的描述卻十分吝嗇，因此筆者從定義、作法、性質(zhì)等方面對圓錐曲線的切線進(jìn)行了一些探究，現(xiàn)把探究的結(jié)果整理成文，望同行們指正.

一、圓錐曲線切線的定義

設(shè)P（x0，y0）是圓錐曲線C上一定點(diǎn)，P（xn，yn）是該曲線的動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Pn趨近于點(diǎn)P時(shí)，割線PPn趨近于確定的位置，這個(gè)確定位置的直線PT稱為曲線C在P處的切線.

二、圓錐曲線切線的作法

下面以橢圓為例，介紹切線的尺規(guī)作法.

1. 過橢圓上一點(diǎn)作橢圓的切線.

作法：以點(diǎn)M為圓心，MF2長為半徑作⊙M，再以F1為圓心，2a長為半徑作⊙F1，兩圓相交于點(diǎn)A、B，連接AF2，BF2，過點(diǎn)M分別作AF2，BF2的垂線，兩垂線就是所求的切線（證明略）.想說明一下的是，山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)的宋文革老師曾在文（1）中介紹過切線的作法，但他的作法是先求出切線的方程，把方程化為截距式后，利用比例作出截距，再得切線，作法較繁鎖，而且還有錯(cuò) 雙曲線和拋物線的切線都有類似的作法，此處不再贅述.

三、切線的性質(zhì)

類似于圓的切線，有心圓錐曲線（橢圓和雙曲線）也有一些類似于圓的性質(zhì).

性質(zhì)1：有心圓錐曲線的切線及過切點(diǎn)的直徑斜率存在時(shí)，則切線和過切點(diǎn)的直徑所在直線的斜率之積為定值（對應(yīng)于圓中：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑）.

性質(zhì)2：過有心圓錐曲線外一點(diǎn)P作曲線的切線PA、PB（A、B為切點(diǎn)），則直線PO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）平分線段AB.

由于圓錐曲線有自己特有的準(zhǔn)線和焦點(diǎn)為，所以它們還有一些圓所沒有的性質(zhì)，現(xiàn)給出其中的兩條典型性質(zhì)：

性質(zhì)4：過準(zhǔn)線上一點(diǎn)作圓錐曲線的切線，則切點(diǎn)弦過焦點(diǎn).

性質(zhì)5：過圓錐曲線焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)的切線必相交且交點(diǎn)在準(zhǔn)線.

限于篇幅，本文不再給出以上性質(zhì)的證明.

責(zé)任編輯 羅 峰