允許缺貨條件下供應商

彭小玲+何友全+王瓊瑤

摘 ? 要：已有的EPQ模型常假設供應商提供的信用期是給定的，甚至只考慮了不允許缺貨的情況。本文在允許延期支付的條件下，建立了允許缺貨的EPQ模型。最后通過算例驗證了模型的有效性及對主要參數進行了靈敏性分析，為供貨商和制造商做出最佳決策提供幫助。

關鍵詞：延期支付;允許缺貨;EPQ模型;信用支付策略

一、引言

隨著商業環境的不斷變化，企業之間的競爭轉化為供應鏈與供應鏈間的競爭。為了激發需求，供貨商就會提供給制造商一定的延期支付時間，即信用期。Goyal首先將信用支付納入到庫存模型中來。隨后，許多學者對Goyal的模型進行了延伸探索。Teng和Min等認為需求是一個關于時間遞增的線性函數。Lin和Ouyang等則認為顧客的需求與信用期的長短有關 。

因為決策信用期的長短對于供貨商來說起著舉足輕重的作用。湯勤深等考慮在信用期對需求的影響下，建立了分散獨立決策庫存系統。潘義前等在信用支付和允許缺貨條件下，建立了允許缺貨且短缺量部分延期供給的庫存模型 。

本文在文獻[4]和文獻[5]基礎上，假設需求受價格影響，在允許缺貨的情況下，建立生產環境下的EPQ模型，為制造商決策補貨周期和供貨商決策信用期提供幫助。

二、 模型建立

1.模型符號。本文是在一個訂貨周期T進行建模及求解， Q為每次訂購的原材料量;單位原材料的采購成本是c;產品售價為s;每次訂貨費用為A;單位產品的庫存成本為h;單位時間的產品需求率與價格成線性關系，，制造商的生產率為;為t時刻的庫存;制造商每年的利息支付率和收益率分別為Ip和Ie。供貨商提供的延期支付時間為M，向上一級采購材料的單位成本為v，每次訂貨費用為A，供貨商每年的利息收益率為Is。

2. 模型假設。本文假設單位原材料生產單個產品，允許缺貨且缺貨全部積壓;所缺產品將在下一生產周期初開始送達;供貨商提供一定的延期支付時間即信用期M給制造商;假設供貨商采用lot-for-lot（按需訂貨法）策略，。

3. 模型建立。整個生產-庫存過程是從t=0時刻制造商開始生產，在生產過程中滿足當時需求的同時還擁有庫存，當庫存達到最大時，即從t2時刻開始停止生產，需求消耗庫存，當t=t3時，庫存降為0，在至T時間段中，缺貨會產生缺貨積壓。當缺貨積壓達到最大允許缺貨量時進入下一周期。

庫存水平I（t）必須滿足以下微分方程：

（1）

（2）

根據初始條件可得：

（3）

（4）

（1 ）制造商的收益函數。制造商的收益（單位周期）包括銷售收入、采購成本、訂貨費用、庫存成本、缺貨成本、賺取利息、支付利息、其中：

a. 銷售收入=;

b. 采購成本=;

c. 訂貨費用=;

d. 庫存成本

;

e. 缺貨成本

;

考慮M，t1和t3的大小，求賺取的利息f和支付的利息g可以分為三種情形：

①

從0時刻開始，制造商開始生產產品，既要補發缺貨產品，又要滿足時刻的需求。由于供貨商提供給制造商一定信用期M，一方面，在0至M時間內，制造商可通過這個時間段的銷售收入來賺取利息;另一方面，從M時刻開始還得對未銷售出去的商品支付給供應商利息，制造商單位周期賺取的利息和支付的利息分別為：

②

同情況①，單位時間賺取和支付的利息分別為f2和g2，其中：

③

同理，和情況①、②類似，又因為從t=t3時刻開始，制造商的庫存降為0，所以在這段時間區域內，制造商不需要支付利息，即有：

根據以上情況，可知制造商的收益為：

=（a）-（b）-（c）-（d）-（e）+（fi）-（gi），其中i=1，2，3。

（2）供貨商的收益

由于供貨商采用的是按需定量法（lot-for-lot）策略，因此供貨商并不承擔任何庫存產生的持有成本，庫存成本費用為0。所以供貨商的收益=銷售收入-采購成本-訂貨費用-信用期內的利息損失，即：

（3）供貨商-制造商的整體收益

供貨商-制造商的整體利潤函數為：

三、 模型分析及求解

本文采用的是Stackelberg博弈方法。首先供應商決策，并將其反饋給制造商，然后制造商再根據供應商的反饋再做決策。

1.供貨商決策

對于任意T，供貨商-制造商整體利潤函數JTP（M）是關于信用期M連續。為了證明JTP（M）是凸函數，及求得最優解M，給定T，對函數JTP（M）求導，可求得Mi（T）。

2.制造商決策

將Mi（T）代入到中，對T求一階導和二階導，根據JMPi（M，T）的凹凸性，求得最優解。

（1），求得：

，將代入中得 。

（2），求得

， 將代入中，可得： 。

（3），求得：

，將代入中得。

四、算例分析

假設利用Matlab10a軟件求得最優補貨周期及信用期為，整體利潤為$142572。

參考文獻：

[1] 湯勤深，周永務，鄭倩倩. 變化信用期下易變質品分散獨立決策供應鏈系統[J].工業工程，2013，16（3）：38-44.

[2]潘義前，黃海，周優軍. 延期支付條件下允許缺貨的變質物品庫存模型[J]. 經濟數學，2011，28（4）：34-37.

作者簡介：彭小玲（1989- ?），女，江西撫州，重慶交通大學碩士研究生，專業為系統工程，主要研究方向：供應鏈系統優化與決策;何友全 （1964- ?），男，湖北，重慶交通大學教授，主要研究方向：管理信息系統及物流工業工程;王瓊瑤（1987- ?）女，湖北黃岡，重慶交通大+學研究生，系統工程專業，研究方向：控制與決策