基于RLC諧振回路的傅立葉分解與合成的實現

楊勇

摘 要 任何周期性函數都可以表示為三角函數所構成的級數之和。將方波或三角波通過RLC串聯諧振回路分解為基波及各諧波的迭加，并用示波器顯示基波和各次諧波的相對振幅和相對相位。也可以利用加法器將一組可調振幅和相位的正弦波信號合成為方波或三角波。

關鍵詞 傅立葉分解與合成 諧波 諧振回路

中圖分類號：O4-33 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2015.01.072

1 周期函數的傅立葉分析

任何周期為（ = ）的函數（）都可以表示為：

（） = + （ + ）

將周期函數（）按上式展開，其物理意義是把一個比較復雜的周期運動看成許多不同頻率的簡諧振動的疊加。在電工學上，這種展開稱為諧波分析。其中，第一項稱為（）的直流分量，為角頻率，（ + ）稱為一次諧波，又叫做基波，而（2 + ），（3 + ）等依次稱為二次諧波，三次諧波。所謂周期性函數的傅立葉分解就是將周期性函數展開成直流分量，基波和所有階諧波的迭加。例如，方波函數

數學上可以證明此方波表示為：

（） = （ + 3 + 5 + 7 + ……） = （）[（）]

由上式中可知，方波由一系列正弦波（奇函數）合成，沒有常數項。這一系列正弦波振幅為1：：：，它們的初相位同相。

2 周期性波形傅立葉分解的選頻電路

我們用RLC串聯諧振電路作為選頻電路，對方波或三角波進行頻譜分解。然后在示波器上顯示這些被分解的波形，測量它們的相對振幅。我們還可以用一參考正弦波與被分解出的波形構成李薩如圖形，確定基波與各次諧波的初相位關系。實驗原理如圖1所示：

圖1 波形分解的RLC串聯電路

這是一個簡單的RLC電路，其中、是可變的。一般取0.1H ～1H的范圍。在選頻電路中輸入一正弦信號，當輸入信號的角頻率等于電路的諧振角頻率（諧振角頻率）時，此時通過電路的電流幅值最大，因而，電路中兩端的電壓幅值也最大，對于不同頻率的正弦輸入信號，可改變電路的值，即改變電路的諧振來獲得諧振。因此當方波輸入RLC串聯電路時，只要逐步改變值，即可將其中不同頻率的簡諧波成分選擇出來。RLC串聯電路的頻帶寬度可用品質因數值來表示： = 。式中，為電感的損耗電阻，它的值與通過電流的頻率有關。值越大，諧振曲線越尖，選頻性能越好，所以實驗中我們應該選擇值足夠大，大到足夠將基波與各次諧波分離出來。如果我們調節可變電容，在頻率諧振，將從方波信號中選擇出第次諧波。它的值為：（） = 。這時電阻兩端電壓為：（） = （ + ）。

此式中 = = 0（為串聯電路感抗和容抗之和；在諧振狀態時 = 0）。 = ，為電路中電流的幅值，為串聯電路的總阻抗。所以

（） = （） （1）

此時，阻抗 = + + + = + + 。其中，為方波或三角波電源的內阻；為取樣電阻；為電感的損耗電阻；為標準電容的損耗電阻（值常因較小而忽略）。

由于電感用良導體纏繞而成，由于趨膚效應，電感阻值隨頻率的增加而增加。總阻抗也隨之增加，取樣電阻上的輸出幅值不再與次諧波的幅值成正比。為消除此系統誤差，我們要對各次諧波振幅的測量值進行校正。設基波下的電壓輸出幅值為，電感的損耗電阻為，總阻值 = + + ，第次諧波下的電壓輸出幅值為，電感的損耗電阻為，總阻值 = + + ，則由（1）式得：

（2）

從（2）式中解出次諧波的幅值與基波幅值之比為：

因此校正后的電壓值為

（3）

3 實驗過程及結果觀察

3.1 方波的傅立葉分解

（1）計算RLC串聯電路對1KHz，3KHz，5KHz正弦波諧振時的電容值C1C3C5的理論值。由諧振角頻率和 = 2，可計算 = 。

（2）連接線路，按圖2接好線路。取樣電阻R上的電壓信號輸入到示波器CH2（Y）通道上，選擇CH2（Y）通道適當的偏轉因數（volts/div），適當的水平掃描速率（sec/div），逐步改變電容值，可在示波器上觀察到諧振狀態時R兩端的各諧波信號為正弦波。

圖2 方波信號傅立葉分解接線示意圖

（3）將傅立葉分解合成儀1kHz參考正弦信號輸入到示波器CH1（X）通道，掃描速率（sec/div）旋鈕置于X-Y（逆時針旋到底），與分解出的信號（在示波器Y通道）可構成李薩如圖形。

3.2 方波的傅立葉級數合成

（1）將1KHz正弦波（直接而不經加法器）輸入示波器CH1（X）通道，而CH2（Y）通道分別輸入1KHz、3KHz、5KHz、7KHz正弦波，掃描速率（sec/div）旋鈕置于X-Y（逆時針旋到底），調節3KHz、5KHz、7KHz各諧波的相位，使之與1kHz的諧波同相，再觀察其他倍頻信號與參考信號的相位關系，見圖3。

圖3 基波和各諧波同相時合成的李薩如圖形

（2）調節1KHz、3KHz、5KHz、7KHz正弦波振幅比為1：：：。（3）將1KHz、3KHz、5KHz、7KHz正弦波逐次輸入加法器，觀察合成波形變化，可以看到：（1）合成的方波振幅與它的基波振幅比為1：；（2）基波上迭加諧波越多，越趨近于方波。（3）迭加諧波越多，合成方波前沿、后沿越陡直。

參考文獻

[1] 曾陽琳，唐孟希.用實驗觀察周期函數的傅里葉分解[J].物理實驗，2001（1）.

[2] 沈元華等.基礎物理實驗[M].高等教育出版社，2003.