淺析初中數學解題中的變式教學

孫雷

【關鍵詞】初中數學 變式教學

解題策略

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2014）11A-

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在初中數學教學中，變式教學是學生掌握知識的所使用的一種重要方式，根據變式的對象不同，變式教學存在不同的形式。解題變式是以題目的變化為對象的一種變式，它的范疇不僅局限于題設和結論變化，更應包含多種方法運用于同一題目或同一方法運用于不同題目的解決上。

一、改變條件，構造相似問題情境

所謂改變條件，構造相似問題情境，就是在學生力所能及的范圍內，結合教學需要，對題目中條件和結論進行變換，即等價變換或非等價變換，也即對題目中的條件表述進行變更，使其表達更加直觀或隱蔽，從而對題目難度進行控制的教學方式。其意義在于，通過題目變式研究，能夠突顯問題的新角度，引發學習興趣。

【案例1】垂徑定理及推論教學片段

例：已知圓O中，AB為圓的直徑，CD是圓的一條弦，AB⊥CD垂足為E，求證：CE=DE，[（][（][（][（][AC=AD，BC=BD]；

變式一：AB為圓O直徑，CE=DE，求證：AB⊥CD，[（][（][（][（][AC=AD，BC=BD]。

變式二：AB為圓O直徑，[（][（][AC=AD]，求證：AB⊥CD，CD=DE，[（][（][BC=BD]。

……

分析上述教學片段可以發現這是一種等價變式，通過等價形式的變換讓學生明白垂徑定理中平分弧、平分弦、垂直于弦和AB過圓心，以其中2個為條件，就可以得到其他的結論。從而彰顯了等價變式的價值，即融會貫通，理解并掌握知識點的正用與逆用。

【案例2】二次函數解析式求解教學片段

例：二次函數的圖象經過（1，0），（0，5）和（-1，8）三點，求二次函數解析式。

變式一：二次函數對稱軸為x=-2，圖象開口向下，經過（0，5）和（2，-7）兩點，求解析式。

變式二：某拋物線的頂點坐標為（-2，9），并經過點A（-5，0），求此拋物線的解析式。

變式三：某拋物線對稱軸為x=-2，它與直線y=-5x+5交于AB兩點，同時直線y=x+1交x軸于A點，直線y=-x+5交y軸于B點，求拋物線的解析式。

分析上述教學片段可以發現這是一種非等價變式，它是對條件進行變換，由例題直至變式4中有關二次函數的表述，使題目中的等量關系逐漸變得模糊，由最初直接列方程組求解到需要分析題目中隱含的條件和公式，再到需要厘清題目中的點線關系，排除無用條件，題目難度逐步加深。但正是由于這種變化，為最簡單的待定系數法引入了分析思維，給學生提供了挑戰，從而引發學生的求知欲望。

二、同一情境，運用不同方法解決

所謂同一情境，不同方法達到相同目的就在于一道題目有多種不同的方法能夠解決疑難。一題多解是中學數學教學必須涉及的領域，其作用在于使學生在已有的認知范圍內用不同的知識點作為橋梁解決同一問題；其意義在于促使學生尋求問題本質的各個等價形式，從不同的方面思考解決問題的方法，從而促進學生的變通性思維、發散性思維的發展。

變式教學運用一題多解的關鍵在于從不同側面看待問題；題目中運用不同的思維方式；變動解題過程中的局部內容。以下以垂徑定理教學片段為例詳加解釋。

【案例3】如圖，已知AB是圓O的直徑，CD是圓O的弦，AB⊥CD垂足為E，且E為CD中點，求證AC=AD.

【分析】從不同角度出發至少有以下幾種解法：

解法一：利用垂徑定理求得∠CAB=∠DAB，∠CBA=∠DBA，加上AB這條公共直線構造全等三角形；

解法二：利用垂徑定理證明兩圓周角相等，構造△ACE∽△ADE，再利用相似比求證；

解法三：運用勾股定理解決，利用條件AB⊥CD、AE為公共邊，CE=DE，或者利用AB為直徑，CB=DB；

解法四：利用圓作為軸對稱圖形這一特性來求證。

分析上述四種解題方式，可以印證一題多解的關鍵點，首先四種方法分別從全等、相似、直角三角形的特性和軸對稱圖形的角度思考分析；其次，四種方法分別用幾何說理和代數運算的方式對題目進行了思考；再者，四種方法中有相同的部分，即垂徑定理的運用，這說明解題中局部變動了解題環節。學生在解題過程中，同時把幾何部分的幾種重要的性質與概念回顧了一遍，建立了知識的內在邏輯聯系，鞏固了舊知，增強了知識的運用能力。

三、不同情境，運用相同方法達成

所謂不同情境，運用相同方法達成，就是將同一種解題的方法運用于不同的知識版塊的問題處理上。其作用在于串連具有相同本質不同形式的不同知識點，使學生形成全面的知識網絡結構。例如根的判別式是求解一元二次方程根的最基本的方法，但它還可以運用于其他的知識結構中。

【案例4】根的判別式在不同情境中的運用教學片段

變式一：方程x2+（a-2）x+4=0沒有實根，a的取值范圍是多少？

變式二：拋物線y=x2+（a-2）x+4的圖象與x軸不存在交點，a的取值范圍是多少？

變式三：關于x的多項式x2+（a-2）x+4不能分解，a的取值范圍是多少？

分析上述幾個變式，它們所涉及的知識點雖然包含了一元二次方程、二次函數的圖象、因式分解等幾個不同方面，但透過題目的表象，可以發現在本質上它們均與根的判別式有聯系，可以說判別式就是使幾個知識點構建成知識網的紐帶。如果將它們孤立講述，則會割裂知識點之間的聯系，從而使學生的整個知識網絡呈現出碎片狀。但通過一法多用的變式教學，就可以串連各個知識點，使學生認識各知識點的內在聯系，構成完整的知識網絡。

（責編 林 劍）