基于有限增量法的非線性RL電路的研究

彭川來

（閩南理工學院，福建 石獅 362700）

0 引言

非線性電路除了極少數情況外，是無法得到非線性微分方程的解析解，因此本課題采用分段有限增量法求解一階RL 非線性電路微分方程近似解。對線性和非線性RL 電路暫態過程進行了對比和分析，同時利用Matlab 軟件結合實驗數據清晰直觀的揭示出非線性RL 電路暫態過程的特性。

1 一階非線性電路暫態過程的分析

1.1 一階非線性電路

一階非線性電路只含有一個儲能元件（電感或電容），但可能含有多個非線性電阻；而且儲能元件可能是線性的，也可能是非線性的[1]。按網絡中是否含有時變電源或時變電阻，一階非線性電路可區分為非自治和自治的兩大類。對于非自治的一階非線性電路來說，其狀態方程具有如下形式：

對于自治的一階非線性電路來說，其狀態方程具有如下的形式：

求解一階非線性電路方程的方法有：直接積分法、數值分析法、圖解法、分段線性化法以及有限增量法等。本文將采用有限增量法對一階非線性電路進行求解。

1.2 有限增量法

在求解非線性電路暫態過程中，關鍵的一步是求解積分。由于非線性電路元件的特殊性，直接積分往往得不到解析結果，這就需要采用近似方法求解。

有限增量法是一種利用微分方程的數值求解法來求解非線性電路的暫態方程的方法。其要點在于將要研究的其中過程的全部時間化為許多微小的間隔Δt 過程，從而把微分方程中的微分量近似的用增量代替。

2 線性電阻和非線性電感組成的一階非線性RL 電路

2.1 非線性電感L 的特性的測量[2]

實驗儀器為磁滯回線實驗組合儀（TH-MHL 型磁滯回線實驗儀）、非線性電感L、示波器，實驗原理見圖1。

圖1 測量動態磁滯回線電路圖

測出不同輸入電壓下的磁滯回線的飽和點的H 和B，即可得到起始磁化曲線。其中N1=50，N2=150，R1=2.5Ω，R2=10kΩ，C=10μF，L=60mm，S=80mm2。

利用Mtlab 可畫出非線性電感的H－B 曲線圖。對于面積為S、匝數為N、磁感應強度為B 的電感其磁通量：Ψ=NΦ=NBS。而磁場強度H=NI/L，則：I=HL/N。非線性電感線圈磁通量隨電流的增大而增大，而后逐漸趨于穩定，因此磁通量Ψ 可擬合為電流的冪級數，且冪數n應小于1。利用Matlab 擬合工具可得Ψ—i 擬合曲線，見圖2。

圖2 擬合后的Ψ—i 曲線

2.2 非線性電感的一階非線性RL 電路的研究

應用Kirchoff 定律：

其中：ε—穩壓電源輸出的電壓；μL—電感兩端的電壓；uR—線性電阻兩端的電壓。而，Li隨電流的變化而變化。

（1）非線性電感的一階非線性RL 電路暫態過程的實驗。實驗中用信號發生器的方波輸出信號作為電路中的輸入電壓，將示波器S 的接在電感兩端用以測量電感兩端的uL－i 關系。實驗電路見圖4。

（2）非線性電感的一階非線性RL 電路暫態過程的解[8]。非線性電感的韋安特性為：

圖3 非線性電感的RL 電路圖

圖4 非線性電感的RL 電路測量圖

分離變量求解分后可得：

代入初始條件x（t=0）=0 后可得：

同理對于放電過程：

代入初始條件x（t=0）=1 后可得：

式（9）只給出了充電過程中，電流與時間的關系式，卻無法得出i－t 曲線圖或UL－t 圖。為了得到電感兩端的u－t 曲線圖，采用有限增量法求解。對于電阻R=100Ω，輸入電壓ε=2.0V 的電路，其電路方程為：

把此方程近似的寫為：

時間間隔取△t=0.02ms，可得表1 的有限增量法求解數據。因此可得到R=100Ω 下的理論曲線和實驗曲線見圖5。

非線性電感的RL 電路電感兩端電壓剛開始變化比較緩慢。電感兩端的電壓隨時間的變化比較均勻。

放電過程一階非線性RL 電路的uL－t 曲線。根據式，而，將i0=0.02A，R=100Ω 代入可得圖6 的曲線。與圖5 不同，放電過程非線性電感兩端的電壓剛開始變化很快，而后慢慢趨于零。放電過程與充電過程的規律不同。

表1 有限增量法求解數據

圖5 R=100Ω 的非線性電感兩端的理論曲線和實驗曲線

圖6 R=100Ω 的非線性電感兩端放電u-t 曲線

3 討論

（1）與線性RL 的電路按的規律變化相比，非線性RL電路充放電從圖5 和圖6 可以看出遵循著完全不同的規律，充放電曲線為不均勻曲線。

（2）由式（6）、（9）和（11）可得：

（3）與非線性電阻的一階非線性電路類似，非線性電感的RL 電路里，τ 不是一個常數。但是，在一個無限小的充放電過程，L/R 可近似為一個常數，不妨稱之為非線性RL 電路暫態過程中的瞬間時間常數。瞬間時間常數是衡量一個無限小暫態過程充放電快慢的標志，也就是說, 一個有限大小的非線性電路的暫態過程是由一系列無限小線性暫態過程組成的。

（5）與線性RL 電路類似，非線性RL 電路中，存在電阻越大，其充放電速率越快；電阻越小，其充放電速率越慢的現象。

[1]夏承銓.電路分析[M].武漢：武漢理工大學出版社，2006.

[2]鄧金祥，等.大學物理實驗[M].北京：北京工業大學出版社，2006.

[3]符五久. 非線性電感電路的暫態特性[J]. 大學物理，1997，9.