不確定T-S模糊時滯系統的魯棒H∞控制

任偉建，黃麗杰，孫 輝，朱永波，董海超

（1.東北石油大學 電氣信息工程學院，大慶 163318；2.大慶油田有限責任公司天然氣分公司，大慶 163318；

3.中國石油大慶分公司熱電廠儀表車間，大慶 163714；4.大慶油田有限責任公司采油工程研究院，大慶 163453）

近年來，T-S模糊系統控制方法[1]越來越吸引學者的注意。T-S模糊系統是研究非線性時滯系統的一個強大和有效的控制方法。它將模糊原理和線性原理相結合，用來近似一個廣泛的具有非線性的系統。在近幾十年里，許多關于T-S模糊模型的文獻[2-4]已有報道。

最近，一種新型的非線性模糊時滯系統，即具有區間時變時滯的非線性模糊系統，無論是在理論還是實際工程中都吸引了人們的注意。考慮具有區間時變時滯的T-S模糊系統，在進行時滯相關穩定和鎮定方法研究時，相關文獻[5-12]也取得了一系列的成果。在這些文獻中，理論結果推導大多使用了自由權矩陣方法。然而，過多地使用自由權矩陣將需要很大的計算數量。在設計和求解控制器時，需要一些自由權矩陣來求取相關參數和次優解。而積分不等式的引入，使得引入的額外矩陣變量減少，從而減少了計算的復雜度，所得到的魯棒穩定性結果不僅能減少保守性，而且形式簡單，所用的決策變量數目也較少。

本文建立具有不確定性和區間時變時滯的非線性模糊系統模型，在推導過程中，通過引用積分不等式來處理在穩定判據中產生的一些積分項，由于采用了更嚴格的邊界不等式技術，幾乎沒有任何有用的積分項被忽略，得到時滯相關穩定判據，避免使用自由權矩陣等方法所帶來的計算復雜度。根據得到的穩定性準則，得出H∞反饋控制器的新方案。

1 問題描述

考慮具有區間時變時滯的T-S模糊模型。其第i條模糊規則為

其中：i=1，2，…，r，r為模糊規則數；x（t）∈Rn為系統狀態向量，u（t）∈Rm為控制輸入；z（t）∈Rq為被調輸出；ω（t）為外界擾動；Miq（i=1，2，…，r，q=1，2，…，g）為模糊集合；θq（t）（q=1，2，…，g）是前件變量；τ（t）代表時變滯，且滿足：

其中：τa，τb是狀態時滯 τ（t）的上限和下限；Ai，Adi，Bi，Bωi，Ci，Cdi，Di，Dωi是合適維數的系統矩陣；ΔAi，ΔAdi，ΔBi是未知的常數矩陣，表明所含的不確定，假設：

其中：Eai，Edi，Ebi為已知常數矩陣；Fi（t）為時變實數未知矩陣，元素是Lebesgue可測的，有如下形式：

由單點模糊化，乘積推理原理及中心加權反模糊化方法，模糊時滯系統（1）的全局模糊系統模型為

其中：Mij（θj（t））為θj（t）在Mij中的隸屬度。顯然，對所有的t有：

按照并行分布補償算法，有如下的狀態反饋控制規律：

這樣，反饋控制器按照以下形式表達：

其中，Kj為控制器增益。從而可以得到系統的閉環形式如下：

引理1[10]對于任意的常矩陣G∈Rn×n，G＝GT＞0，

標量τa≤τ（t）≤τb，向量函數x˙：［-τa，-τb］→Rn，有積分不等式成立：

引理2[10]對于給定的矩陣Π∈Rm×m，ξ（t）∈Rm×l，Ω∈Rm×m，F∈Rm×m，Ω≤0，F≤0，如果：

其中：ε1，ε2在引理2中被定義，當τ（t）=τa（或τ（t）= τb）時，ξT（t）Ωξ（t）≡0（或ξT（t）Fξ（t）≡0）。

2 魯棒穩定性分析

2.1 標稱系統

已知控制器（9）中的增益，得出標稱系統是大范圍漸近穩定的充分條件，且滿足H∞性能指標。首先考慮不具有不確定性參數的情形，此時模糊時滯系統可以描述為

定理1設給定的常數0≤τa≤τb，μ和常矩陣Kj，τ（t）滿足式（2），則標稱系統（11）是漸近穩定的且具有指定H∞性能指標的充分條件是存在合適維數的實矩陣P＞0，W1＞0，W2＞0和Ri＞0（i=1，2，3），那么對于i，j=1，2，…，r，1≤i＜j≤r和π=0.1，滿足如下線性矩陣不等式（LIMs）：

其中：

證明構造Lyapunov-Krasovskii函數：

其中：P＞0；W1＞0；W2＞0和Ri＞0（i=1，2，3）。

則V（xt）沿系統（11）軌跡的導數為

應用本文引理1，得到：

零初始條件下，定義輔助函數

應用本文引理2，綜合式（12）與式（13）可得：

進而由Schur補定理可得式（12）和式（13）。

從式（12）和式（13），很容易得到V˙（xt）＜0。這意味著總可以找到一個正數γ＞0是充分小的，滿足V˙（xt）＜-γ‖x（t）‖2，則閉環系統（11）是魯棒H∞漸近穩定的。

2.2 不確定系統

考慮參數為不確定的情況，對于閉環系統（10）的魯棒H∞穩定性，通過定理1，得到以下結果。

定理2 設給定的常數0≤τa≤τb，μ和常矩陣Kj，τ（t）滿足式（2），則閉環系統（11）是大范圍漸近穩定的，且具有指定H∞性能指標的充分條件是存在合適維數的實矩陣P＞0，W1＞0，W2＞0，M1＞0，M2＞0和 Ri＞0（i=1，2，3），標量 σi＞0，σi′＞0，那么對于i，j=1，2，…，r，1≤i＜j≤r和π=0.1，滿足以下線性矩陣不等式（LIMs）：

證明用Ai+DiFi（t）Ei，Adi+DiFi（t）Edi與Bi+DiFi（t）Ebi分別代替式（12）與式（13）中的Ai，Adi與Bi，可以得到：

很明顯，存在標量σi＞0，σi′＞0，使以下式子總是成立：

進而由Schur補定理可知，式（22）與式（19），式（20）是等價的。由此得到，不確定閉環模糊系統（4～10）是魯棒H∞漸近穩定的，且具有指定的H∞性能指標。證畢。

3 態反饋控制器設計

定理3于給定的常數0≤τa≤τb，μ，τ（t）滿足式（2），則標稱系統（11）是大范圍漸近穩定的，且具有指定H∞性能指標的充分條件是反饋增益 （j= 1，2，…，r），且存在合適維數的實數矩陣P＞0，W1＞0，W2＞0，M1＞0，M2＞0和 Ri＞0（i=1，2，3），那么對于i，j=1，2，…，r，1≤i＜j≤r和π=0.1，滿足如下線性矩陣不等式（LIMs）：

X=P-1，XTW1X=1，XTW2X=2，XTRiX=i（i=對式（12）分別左乘右乘，對式（13）分別左乘右乘，得到式（23）與式（24）。

4 數值仿真

例：考慮具有不確定參數的T-S模糊時滯系統（11），其系統參數和文獻[12]相同，

利用定理2和定理3，在給定τa=0時和H∞性能指標γ=2時，可以得出系統時滯上界和反饋增益，如表1所示。文獻[12]討論了具有區間時變狀態時滯的T-S模糊系統的魯棒H∞控制問題。采用邊界技術，借助線性矩陣不等式（LMI）技術和Lyapunov-Krasovskii泛函，得到了時滯依賴穩定性判斷和H∞控制器。本文在取相同的時滯下界和指定的H∞性能指標時，與文獻[12]相比較，利用本文定理2得到時滯上界較大，驗證了定理1具有較小保守性的結果。

表1 定理2和定理3控制設計結果Tab.1 Control design results of Theorem 2 and 3

5 結語

本文研究了具有區間時變時滯和不確定性的T-S模糊系統的魯棒H∞穩定和鎮定問題。采用積分不等式來處理一些積分項，構建一個具有區間時變時滯特征的李雅普諾夫函數，得到了時滯相關魯棒H∞穩定性準則和模糊控制器設計求解方案。所得到的魯棒H∞穩定性結果在減少保守性的同時，也得到了更高的計算效率。

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