應用于波束域的改進TOFS算法?

(國防科技大學自動目標識別重點實驗室,湖南長沙410073)

0 引言

信號波達方向(Direction-of-Arrival,DOA)估計是陣列信號處理的重要研究課題之一,廣泛應用于雷達、移動通信、聲納、導航等各個領域[1-3]。作為現代高分辨DOA估計算法中的經典代表,多重信號分類(Multiple Signal Classification,MUSIC)算法[4]30年來得到了迅速的發展[5-7]。但是,常規的陣元域MUSIC算法不能處理相干信號,并且只局限于窄帶信號處理范圍。而現代電磁環境更加復雜,信號愈加密集,同時由于多徑傳輸等因素的影響,實際場合中存在大量的寬帶相干信號,怎樣去除多徑效應是波達方向估計領域的重要課題[8],傳統的窄帶高分辨測向算法已經不能滿足需要,所以研究寬帶相干信號環境下的目標方位估計問題具有實際意義。

比較經典的寬帶信號高分辨算法主要有兩種:非相干信號子空間(Incoherent Signal-Subspace Method,ISM)方位估計方法和相干信號子空間(Coherent Signal-Subspace Method,CSM)方位估計方法[9]。ISM算法是最基本的寬帶空間譜估計算法,CSM算法在其基礎上增加了聚焦的過程,雖然提高了低信噪比條件下的估計性能,但聚焦矩陣的構造需要預先估計目標方位,預估角度的偏差對精度影響較大。投影子空間正交性測試(Test of Orthogonality of Projected Subspace,TOPS)方法[10]是一種無需預估過程的寬帶信號空間譜估計方法,但其參考頻點上信號子空間估計的不準確性會影響整個算法的性能[11]。為解決該問題,文獻[12]提出了一種頻域子空間正交性測試(Test of Orthogonality of Frequency Subspace,TOFS)算法,該方法通過角度和頻率構造向量,判斷該向量和各個不同頻點上噪聲子空間的正交性程度來進行角度估計,因為該方法利用了每個頻點上的信息,所以避免了TOPS算法中由于參考頻點的估計誤差而給整個算法帶來的影響。雖然TOPS與TOFS算法都不用事先預估角度,但它們都不能對相干信號進行有效估計。本文將矩陣共軛重構算法引入到TOFS算法中,提出了一種改進的TOFS算法,從而實現寬帶相干信號環境下的DOA估計,并且具有較好的分辨性能。

前文提及的寬帶信號空間譜估計算法都是建立在陣元空間基礎上的,存在運算量大的缺點,對于大陣列數目、小信源數目的情況,可以采用波束空間DOA估計算法,將信號從陣元空間變換到波束空間中進行處理,從而降低運算復雜度。本文在對TOFS算法改進的基礎上,將其從陣元域變換到波束域中,降低了運算量,并且未影響其在相干信號環境下的估計精度。

1 均勻線陣下的信號接收模型

假設接收基陣是陣元數目為M的均勻線陣(ULA),且各陣元是各向同性的,陣元間距d為入射信號最高頻率對應波長的一半,空間中有P個信號入射到此線陣上,入射方位角分別為θ1,θ2,…,θP,第m個陣元的接收數據可表示為

式中,nm(t)為第m個陣元的空間白噪聲,τm,i為信號si(t)到達第m個陣元相對于其到達參考陣元的時延,表達式如下:

將接收數據分為K段,對每段進行J點的DFT變換,則陣列輸出在頻域上可表示為

式中,Xk(fj),Sk(fj),Nk(fj)分別為頻率fj處對應的接收數據、信號和噪聲的頻域,A(fj)為M×P維的陣列流形矩陣,表達式為

綜上分析,式(3)即為寬帶信號均勻線陣下的接收模型。

2 正交性測試方法

2.1 TOPS算法

下面首先引入兩個引理和一個定理[10]。

引理一:對于導向向量a(fi,θi),存在矩陣Φ(fj,θj),使得a(fk,θk)=Φ(fj,θj)a(fi,θi)成立,并且頻率和角度滿足式(6):

其中,Φ(fj,θj)為對角矩陣,第m個元素可表示為

引理一表明,不管頻率和角度值為多少,任意一個陣列流形矢量都能通過轉換矩陣變換到指定頻率上,尤其是當θi=θj時,θk=θi=θj成立,也就是說如果選取一個角度與信號入射方向相同的轉換矩陣,那么可以在不改變信號來向的條件下將陣列流形矢量從一個頻率搬移到另一頻率上。

引理二:當Δf=fj-fi時,下式等號兩邊的值域空間相同:

式中,?為假設的信號方位角度,Fj為頻點fj處的信號子空間,角度^θ的取值與?有關。

定理:當2P≤M,K≥P+1時,定義M×P的矩陣U(fj,?)如下:

式中,Δfj=fj-f0,F0為參考頻點f0處的信號子空間,定義Gj為頻點fj處的噪聲子空間,接著構造一個P×J(M-P)的矩陣:

那么:

a)當假定的信號入射角度?與真實入射角度θ相等時,D(?)將缺秩;

b)當假定的信號入射角度?與真實入射角度θ不相等時,D(?)將滿秩。

只有在入射信號完全不相關的條件下,上述定理才成立,當信號相干時,信號子空間的維數會降低,此時,無論假定信號是否等于真實入射角,D(?)都將缺秩,TOPS算法無法正常工作。但是由于噪聲的存在,子空間估計會出現一定的誤差,因而D(?)一般情況下不會出現缺秩的情況,通常采用對D(?)進行奇異值分解的辦法來判斷D(?)缺秩的程度,進行角度搜索的公式如下:

式中,σmin(?)為矩陣D(?)最小的奇異值,θ為信號的方位估計值。

在實際應用中,為了減少信號子空間泄露到噪聲子空間,采用投影方法減小D(?)的估計誤差,令陣列流形矢量a(fj,?)的投影矩陣P(fj,?)為

再根據式(10)形成新的矩陣D(?),用U′(fj,?)代替原來的U(fj,?):

2.2 TOFS算法

由上文所述,因為TOPS算法構造矩陣D(?)的過程是基于某一參考頻點上的信號子空間F0,在低信噪比時,參考頻點上的信號子空間估計將會存在較大的誤差,從而影響整個算法的估計性能。文獻[12]對TOPS算法進行改進,提出了T OFS算法,避免了出現偽峰的情況。

與其他經典寬帶高分辨算法類似,TOFS算法先對各個頻點上的協方差矩陣進行特征值分解,得到各個頻點處的噪聲子空間Gj,j=1,2,…,J。再由頻率和假定的信號方位角度構造導向向量a(fj,?),根據子空間理論,當?為信號方向時,有aH(fj,?)Gj=0。

因而可以構造標量函數U(fj,?)如下:

但是由于受噪聲的影響,式(14)的結果不一定會為零,但可以根據其距離0的程度來判斷信號方向。接著,將這J個標量U(fj,?)構成一個新的向量:

對?進行一維角度搜索得到信號的方位估計值:

式中,σ(?)表示向量D(?)的二范數,也就是D(?)中元素平方和的平方根。

雖然TOFS算法能消除偽峰,但其低信噪比條件下難以對相干信號進行有效估計。鑒于此,本文第3節將提出一種改進的TOFS算法,使其能夠估計相干信號的波達角,同時將改進的算法應用于波束空間來降低算法的運算量。

3 改進的TOFS算法及在波束域的應用

3.1 TOFS算法改進

將矩陣共軛重構算法與TOFS算法結合來處理相干信號,可以得到改進的TOFS方法。設Xk(fj)是頻點fj處的接收數據的頻域表示,使,其中,JM為M階矩陣,除了反對角線上的元素為1以外,其余元素為0,具體表示如下:

那么可以求得Yk(fj)的自相關矩陣為

令矩陣D為

式中,ωi=dfjsin(θi)/c,則有下式成立:

對于非相干信號,Rs為實對角陣,再將式(20)代入式(18),由J2=I及D?D=I可得

再令

上式中的矩陣R即為解相干以后的協方差矩陣,共軛重構本質上是前后向空間平滑,但實際只構造了一個子陣,并且子陣的陣元數與陣列陣元總數相等,也就是說子陣與原陣完全一樣,因而不會損失陣列孔徑。空間平滑消除了因信號相干而導致的協方差矩陣Rx的奇異性,所以采用矩陣R作為后續估計的協方差矩陣能夠對相干信號進行有效估計。此外,對單個信號進行到達角估計時,由于協方差矩陣Rx和Ry是采用有限次快拍進行估計的,在信噪比較低和快拍數較少時,誤差較大,而采用R進行估計,具有平均的意義,因此可以提高估計的性能,后續仿真也驗證了這一結論。

3.2 基于波束空間的改進TOFS算法

雖然改進后的TOFS算法已經具備良好的寬帶相干信號處理能力,但其運算量較大,因而會限制其在實際應用中的發展。在陣元數多,信源數少的條件下,可以采用波束域處理的方法[13-14]來降低運算復雜度,即先構造一個波束形成矩陣,以波束域代替陣元域,接著在該波束范圍內進行處理。一般情況下,需要形成的波束個數比陣列個數小得多,所以可以采用波束域處理的方法來降低傳統陣元域寬帶信號空間譜估計算法的運算維度。

波束形成矩陣由B個已知指向的導向矢量來創建:

式中,a(θ)為陣列的導向矢量,B為需要形成的波束個數。

當式(23)并非一個正交矩陣時,需要利用下式對其進行正交化:

根據前文所述,陣元域的TOFS方法需要進行特征值分解的矩陣Rx(fj)的維度為M×M,因而其運算復雜度為O(M3),而波束域中的改進TOFS方法需要進行特征值分解的矩陣Rz(fj)的維度為B×B,因而其運算復雜度為O(B3),一般說來,M＞B,因此對于陣列數多、信源數小的情況,計算量會大大降低。

綜上分析,波束域的改進TOFS算法步驟如下:

① 對接收到的數據進行分段,對每一段進行DFT,得到每一頻點下的陣列協方差矩陣;

② 根據式(23)設計出B個波束,構成波束轉換矩陣;

③ 在各個頻點處用式(22)對Rx(fj)進行共軛重構處理得到R(fj),再利用式(25)將其變換到波束空間中得到Rz(fj);

④ 在每個頻率點上對波束空間的協方差矩陣Rz(fj)進行特征值分解,得到噪聲子空間;

⑤ 進行角度搜索,根據式(15)對所有可能的方向角度構造矩陣D(?)=[U(f1,?),U(f2,?),…,U(fJ,?)];

⑥ 根據式(16)估計出信號方向。

4 仿真實驗及結果分析

實驗1 算法相干處理能力的驗證

仿真條件:假設接收基陣為40陣元的均勻線陣,陣元間隔為最高頻率的半波長,噪聲為互不相關的高斯白噪聲,兩個相干信號的功率相等,入射角度為24°和26°,中心頻率為900 MHz,帶寬為600 MHz。信噪比取10 dB,采樣率為1 200 MHz,信號觀測時間為5.12μs,在時域上劃分為48段,每段作128點的FFT,得到信號帶寬內的頻點數為65個。

在驗證算法能否處理相干信號之前,首先構造波束轉換矩陣,根據3.2節的分析,將弧度換算成角度可知需要形成指向為20.1°,22.9°,25.8°,28.6°和31.5°的5個常規波束,方向圖如圖1所示。接著利用TOPS算法、TOFS算法以及本文改進的算法對信號進行到達角估計,4種算法得到的空間譜如圖2所示。從圖中可以看出,TOPS算法和TOFS算法無法分辨出兩個相干信號的方位,而改進后的TOFS算法在24°和26°兩個信號方位角形成兩個譜峰,能準確地分辨出相干信號的方位,并且將算法從陣元空間變換到波束空間中后,形成的譜峰相對前者更加尖銳。

圖1 波束方向圖

圖2 4種算法的空間譜估計結果

實驗2 算法測向精度的比較

首先進行單個信號源的測向精度的比較。仿真條件為:單個信號源,入射角度為25°,信噪比變化范圍為-20～20 dB,其他實驗條件同實驗1,進行500次蒙特卡洛仿真。為了更好地說明本文算法的優勢,文章對常用的RSS方法和TOPS算法的估計精度也進行了仿真,仿真結果如圖3所示,本文利用均方根誤差(RMSE)對算法的精度進行衡量,RMSE越小,算法精度越高。從圖中可以看出,RSS算法的估計性能比較穩定,但在信噪比較高時明顯不如TOPS算法和TOFS算法,這是由于該方法需要預估角度。同時可以看出,改進TOFS算法的測向精度比常規的TOFS算法更高,將改進后的算法應用于波束空間之后,算法估計精度略有降低,但下降幅度很小。

圖3 單個信號入射、不同信噪比情況下5種算法的均方根誤差

其次對兩個相干信號的估計精度進行比較。信號方位和信號參數與實驗1相同,信噪比變化范圍為-20～20 dB,對其進行500次蒙特卡洛仿真。由圖2可知,傳統的TOPS算法和TOFS算法沒有解相干的能力,因而這里不給出這兩種算法的估計精度。從圖4可以看出,在信噪比大于4 d B時改進后的TOFS算法性能要比RSS算法更好,當算法應用到波束空間中后,雖然估計精度略有降低,但仍優于RSS算法。

圖4 兩個相干信號入射、不同信噪比情況下3種算法的均方根誤差

實驗3 算法運算量的比較

由3.2節的分析可知,將改進后的算法變換到波束空間之后運算復雜度將大大降低,為了驗證前文的結論,文章分別記錄下不同陣元數目下TOPS算法、TOFS算法以及本文改進算法的運算時間,仿真條件與實驗1相同,波束數固定取為5。算法的處理平臺為Windows XP系統、雙核2.8 GB CPU、2 GB內存,采用Matlab2010進行算法仿真,4種算法的運算時間如表1所示。由表中可以看出,改進后的TOFS算法運算時間比常規的TOFS算法時間稍長,這是因為算法加入了共軛重構的過程,而將改進后的算法從陣元空間變換到波束空間中之后,算法的運算時間大大縮短,尤其是在陣元數目比較多的時候,優勢更為明顯。但隨著陣元數目的逐漸降低,這種優勢也越來越小,當陣元數目為10時,算法在陣元空間和波束空間中的計算時間基本相同。需要說明的是,隨著陣元數的減少,算法需要的波束數也隨之降低,以10陣元數為例,波束數為3即可滿足算法需求。因此,本文提出的在波束域中改進的TOFS算法能夠有效提高DOA估計效率。

表1 4種算法的運算時間s

5 結束語

本文將矩陣重構方法和TOFS算法相結合,提出了一種改進的TOFS算法,新方法解決了原算法不能處理相干信號的問題,并且一定程度上提高了原算法的測向精度。再將改進后的算法運用到波束空間中后,大大降低了運算量,雖然對算法精度有一定影響,但相比于運算量降低的優勢,該影響處于可接受范圍之內。與陣元域的TOFS算法相比,應用于波束域的改進TOFS算法的協方差矩陣維數明顯減小,因而對于大陣元數目、小信源數目的應用場合,計算復雜度將明顯降低,因而更適于工程應用。

[1]林波,張增輝,朱炬波.基于壓縮感知的DOA估計稀疏化模型與性能分析[J].電子與信息學報,2014,36(3):589-595.

[2]YAN F G,JIN M,QIAO X L.Source Localization Based on Symmetrical MUSIC and Its Statistical Performance Analysis[J].Science China Information Sciences,2013,56(6):1-13.

[3]蔣柏峰,呂曉德,向茂生.一種基于陣列接收信號重排的單快拍DOA估計方法[J].電子與信息學報,2014,36(6):1334-1339.

[4]SCHMIDT R O.Multiple Emitter Location and Signal Parameter Estimation[J].IEEE Trans on Antennas and Propagation,1986,34(3):276-280.

[5]ZHUANG Jie,LI Wei,MANIKAS A.An IDFTBased Root-MUSIC for Arbitrary Arrays[C]∥2010 IEEE International Conference on Acoustics,Speech and Signal Processing,Dallas,Texas,USA:IEEE,2010:2614-2617.

[6]XU X,YE Z,PENG J.Method of Direction-of-Arrival Estimation for Uncorrelated,Partially Correlated and Coherent Sources[J].IET Microwaves,Antennas&Propagation,2007,1(4):949-954.

[7]曾浩,朱自華,李慧君,等.均勻圓陣下的寬帶信號DOA估計算法[J].電路與系統學報,2013,18(1):432-436.

[8]景小榮,楊洋,張祖凡,等.均勻線陣混合信源DOA估計與互耦誤差自校正[J].系統工程與電子技術,2014,36(9):1696-1702.

[9]閆杰.寬帶相干信號DOA估計算法研究[D].重慶:重慶郵電大學,2013.

[10]YOON Y S,KAPLAN L M,McCLELLAN J H.TOPS:New DOA Estimator for Wideband Signals[J].IEEE Trans on Signal Processing,2006,54(6):1977-1989.

[11]李焜,方世良.基于波束域的子空間正交性測試寬帶DOA估計方法研究[J].信號處理,2012,28(1):131-138.

[12]YU H Q,HUANG Z T,LIU J,et al.TOFS:A New DOA Estimator for Wideband Sources[J].Journal of Astronautics,2007,28(5):1304-1308.

[13]榮佶,吳永晶,郭藝奪.波束空間的雙基地MIMO雷達定位方法[J].雷達科學與技術,2014,12(4):411-416,422.RONG Ji,WU Yong-jing,GUO Yi-duo.Target Localization Method Based on Beamspace for Bistatic MIMO Radar[J].Radar Science and Technology,2014,12(4):411-416,422.(in Chinese)

[14]FENG J,SUN C,TANG J S,et al.Beamspace DOA Estimation Algorithms with Robustness Against Signal Steering Vector Errors and Interference Nonstationarity[J].Technical Acoustics,2006,25(6):617-622.