在“做課題”中引導學生產生數學問題的探討

楊莉秋

（浙江省杭州市蕭山區戴村鎮初級中學）

一、問題研究的背景與所要解決的主要問題

提出問題的過程就是對教學內容初步感知和整體把握的過程，隨著學生問題的提出，課堂的主人也由教師變成了學生；教師備課也由主觀分析教學中的重點、難點，演變成尋找教學中產生的問題；教學反思也由反思教學行為轉變為反思學生提出的問題。這樣的課堂將成為隨著學生知識結構變化量身定做的新課堂。但在實際教學中，學生主動質疑有所欠缺，導致我們一系列的想法和理念無法完整的實現。

學生欠缺主動質疑，歸根到底是缺少促使他思考的條件。

小組合作是按照學生的優劣搭配分組，不同層次的學生混搭在一起，導致有些學生由于沒有同等的學生激發他思考的動力，有些學生又覺得自己和組內人相差太多，不敢提問。

面對全體學生，老師提出的問題的難度讓一部分學生覺得不解渴，另一部分學生又感覺太難。

課堂的時間有限，我們讓學生小組合作，但討論和解決問題的時間很短，根本沒有給學生自己思考和提出問題的余地。

學生缺乏提問題的能力與熱情，沒有養成提出問題、反思問題的習慣。

二、引導學生發現并提出數學問題的策略研究

（一）概念的界定

1.問題

問題是要求人們去完成一個任務，依他們的經驗，沒有一個現成的可供使用的完成任務的策略。

2.質疑能力

質疑能力是指學生在自主學習過程中，讀書、發問、探究的一種學習能力，它是以讀書為啟端，以提問為軸心，以探究為中心點的自主學習策略。

（二）培養學生產生問題和提出問題的有效策略

以往我們對學生產生問題、提出問題的培養都局限于兩個方面：時間上局限于課堂；問題產生的范圍局限于書本，實質上是在培養學生如何去解決一個數學問題，而不是去產生數學問題。

那么，如何培養學生產生數學問題呢？最好的辦法，是讓學生做課題，可以從小課題開始，按學生的實際情況，拉長時間，策略上適宜安排即可。

1.課題的選擇原則

（1）可操作原則。課題的選擇一定要有可操作性，可以是學生通過社會調查尋求解決問題的方法、動手操作能發現解決問題的方案、通過生活經驗能提出課題的問題所在等。

（2）重要性原則。課題要能給學生產生問題的空間，激起學生解決問題的欲望。可以選擇教科書后的閱讀材料或設計材料，也可以選擇課本中已刪節但對解決初中數學問題又非常重要的內容，也可以選擇課本中的重、難點延伸出的問題。

（3）分層原則。新課標中規定課堂教學要尊重學生的個體差異，滿足學生多樣化的需求，因此，對于不同層次的學生，老師要引導他們選擇不同層次的課題，比如，層次好的學生按照重要性、探究性選擇課題，層次一般的學生選擇難度適宜卻有趣味性的課題。

（4）合作原則。在合作過程中能形成同學之間火花的碰撞，課題研究不同于課堂上的合作探究，因此，在分組上應以自愿組合為主，提高團隊的整體素質。

2.做課題前的準備工作

（1）恰當分組。分組要以自愿為主，能引起組內同學的共鳴，取得最大化的分組效應。

（2）選擇時間。課題的研究目的是培養學生產生問題和解決問題的能力，特別是培養學生產生問題，提出猜想的習慣，因為課堂時間有限，所以要將時間劃零為整，再統一時間做總結和規劃。

（3）確定課題。按照分組情況、自愿原則，可以選擇自己喜歡探究或具有趣味性的課題。

（4）制定課題方案。根據課題確定方案，如，我們要研究什么問題，可以把這個問題分解為幾個小問題？或者由此問題可以延伸出幾個問題？在研究過程中出現什么問題？解決問題的方法是什么？方案的確定可以以表格的形式，清晰明了，也可以以文章的形式，有理有據。

3.在課題研究中產生數學問題的實例（按重要性原則，以探究組為例）

（1）確定課題名稱：1.5 圖形的平移課后設計題的探究。

（2）課題要研究的問題：如圖1 所示，直線L1，L2表示一條河的兩岸，且L1∥L2，現要在這條河上建一座橋，橋建在何處才能使村莊A 經橋過河到村莊B 的路程最短？

圖1

課本中出現這一題目時，學生感覺此題不難，出現的答案有兩種：一是直接連接AB，二是在L1上隨便找了個點C 連接BC，作CD⊥L2，再連接DA。這兩種答案都是不對的，答案一的學生知道“兩點之間線段最短”，答案二的學生知道河上造橋要垂直于河。兩者都有可取之處，但又存在問題，如何解決這些問題，本題是有一定的難度，因此，有一小組選擇了這一課題。在學生的初步討論過程中，他們把問題分解成為兩個小問題：

①我們曾經學習過的路程最短問題有哪些？是采用什么方法解決的？

②聯系生活實際，如果我們自己從A 村到B 村路程最短，會怎么走？

這個過程就是問題產生的過程，也是分步解決問題的過程。

（3）解決問題的方法。數學方法：數形結合法，回憶討論法。實踐方法：聯想生活實際，畫出適宜草圖，作圖上分析。

（4）小組人員的分工：

徐嘉偉：負責人員分工，時間安排，討論環節的組織，結論的生成。

張丹、張小芬：負責查閱課本及作業本、導學、試卷，整理與路程最短相關的題目。

徐晨孟茜、胡同：負責畫出符合題意的草圖，并進行圖上分析，找出分析過程中存在的問題。

（5）綜合結論：利用一節數學綜合課，小組人員齊聚討論：

與最短距離相關的題X：一段筆直的公路L 的同側有兩村莊A，B，它們之間的距離為13 千米，A，B 與公路L 的垂直距離AD=8.5 千米，BC=3.5 千米，要在公路上修一車站P，使車站P 到兩村莊A，B 的距離的和為最短，最短距離為多少？

分析時出現的問題：如何能使線段（AD+BC）的長度最短？

根據題X 的解法，學生過點B 作L1的垂線并延長相等的距離得點B1，連接AB1與L2相交于點D，過D 作CD⊥L1，路徑BCCD-DA 為所求。

圖2

學生認為自己做的是對的，我問：誰能找到一個辦法反駁這個做法？

學生再次去研究，胡同提出：如果是從點A 作L2的垂線開始，其他作法不變，那么，得到的路徑和剛剛得到的路徑就不同，本題的最短路程是唯一的一條路，不會是兩個答案，因此，方法不能服眾。

從這個過程，我們發現，學生缺乏的就是提出問題的能力，他們自以為問題已經解決了。此時，張丹提出一個想法：為什么題X的解法用在此題上不行呢？

我表揚了張丹，學生能自己提出問題非常好，并讓學生分析一下原因。

張孝芬提出：題X 中A，B 兩點在L 的同側，而本題A，B 兩點在直線的兩側。

胡同提出：題X 中只有一條直線，而本題中有兩條直線。（這都是問題的所在，學生放棄了題X，開始尋找新的出路，無果）

我建議學生不要放棄，因為我們現在所學的路徑最短問題只有兩種解決方法：兩點之間線段最短和垂線段最短，所以，還是要著手于題X。請學生再觀察一下我們研究過的所有問題。

張丹：如果我們能把本題中的點A，B 放在一條直線的同側，那可能就解決問題了。

胡同馬上問：怎么把A，B 放一條直線的同側？放哪條直線的同側？

這兩個問題交給學生繼續研究，現在已經接近下課，接下來需要他們零散進行，另找時間交流想法。

再觀察圖2，他們雖然沒有找到辦法把A，B 放在一條直線的同側，但他們發現，如果圖中的BC=B1D，那么，（BC+AD）的長度就是（AD+B1D）的長度，根據兩點之間線段最短。路徑（BC+CD+DA）的長度為最短。他們又提出了兩個問題：如何使BC=B1D？如何使點A，D，B1在同一條直線上？

經過幾天的討論，探究，學生得出結論：過點B 做BB1⊥L1且BB1=CD（CD 為河寬，長度可得）連接AB1與L2相交于點D，過D作CD 垂直于L1，與L1交于點C。

圖3

師問：你們怎么知道所做的就是最短路徑呢？

生答：老師，我們也這樣問過自己，您看：

我隨便畫了個路徑BC1-C1D1-D1A，∵BC1=B1D1，∴BC1+D1A=B1D1+AD1，又∵BC=B1D，∴BC+AD=B1D+AD=AB1。在△AD1B1中，∵AD1+B1D1＞AB1C1D1=CD，∴BC+CD+AD＜BC1+C1D1+D1A。

學生講得有理有據，這倒激起了我對學生思維過程的好奇，于是，我提了問題：在你們的作圖過程中，沒有做過BC=B1D 呀？

有學生搶著說：因為我們作了BB1⊥L1，CD 也垂直L1，所以BB1∥CD，又因為我們作了BB1=CD，按照平移性質（一個圖形和它經過平移所得的圖形中，兩組對應點的連線平行且相等）的逆原理，那么B1D 就應該是BC 平移以后的線段，圖形的平移不改變它的形狀和大小，所以，BC=B1D。

學生在沒有學過平行四邊形的情況下，能利用平移性質的逆運用來解決問題，雖然，還需進一步探究，但我覺得，可以適可而止了，畢竟在這個過程中，我們達到了做課題的根本目的——讓學生善于提問，從而促進思考。

接著，學生完成了最后一步，總結：

①綜合結論：河流的寬度不變，所以，CD 的長度不變，（BC+AD）的長度最短即解決問題；長度最短問題利用的數學原理：兩點之間線段最短；平移可以將兩點兩線問題轉化為兩點一線問題；利用平移性質的逆用，得圖3 中BC=B1D。

②研究過程中出現的問題：按題X 的方法解決本題出現了結論上的矛盾；點A，B 無法移到一條直線的同側；平移的性質的逆用可以解決問題，但平移性質逆用的正確性尚需證明。

③反思。反思包括對解題過程的反思和對生成結論的反思，反思對我們未來解決問題有指導性作用。

過程性反思：數形結合是一種非常重要的思想方法，解決本題，畫一個符合題意的草圖起到了決定性的作用；沒有問題，就沒有思考。

結論性反思：我們平時都忽略了對結論正確性的驗證，只知道解方程時將結果代入原方程，使方程左右兩邊相等，一定是方程的解，而實際上，不僅是方程，很多題目都有它自身的檢驗結論是否正確的方法，我們在解題時還需關注。

在學生做課題的過程中，作為老師，我也進行了適時的反思。大學問家朱熹曾說過：讀書，始讀，不疑；其次，漸疑；中則節節是疑。后，疑漸釋，以致無疑，是為學。而我們在日常教學過程中，通常是教師呈現問題，學生探究結果，這就把設疑和解疑分隔開了，學生之所以解決不了問題，很大程度上是因為不會通過設疑來尋求解題的思路和判斷結果的確定性。因此，培養學生提出問題的能力是很重要的。

這種能力的培養不是一朝一夕的，也不是在課堂上有限的時間里就可以解決的，因此，我們要確定培養的對象、時間、方式。我們的目的不是單單地讓學生解決一個問題，而是讓學生養成提問的習慣和熱情，那么，采用做分層課題的形式，給學生提問的空間和動力，利用閑散時間，給學生自由選擇的權利，未嘗不是一個好的方式。當然，在操作過程中，會有很多不盡如人意之處，老師則要做適當的推動、指導和反思，逐步完善這一過程。我想，很多同行已更早地讓學生進行做課題的活動了吧？也希望能得到其他老師的建議與指點。

［1］邱學華，蘇春景.邱學華與嘗試教學法［M］.北京：中國青年出版社，2001.

［2］裴娣娜.教育創新與學校課堂教學改革論綱［J］.課程·教材·教法，2012（02）.