針對(duì)一般式多變量邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法與技巧

張 輝 李 竹

（1．山西師范大學(xué)臨汾學(xué)院自然科學(xué)系，山西 臨汾 041000；2．山西師范大學(xué)物信學(xué)院，山西 臨汾 041004）

針對(duì)一般式多變量邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法與技巧

張 輝1李 竹2

（1．山西師范大學(xué)臨汾學(xué)院自然科學(xué)系，山西 臨汾 041000；2．山西師范大學(xué)物信學(xué)院，山西 臨汾 041004）

卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)是最常用的一種方法。本文針對(duì)一般式多變量邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)，提出了一種不用轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)式，而直接在卡諾圖中表示的方法，從而大大提高了化簡(jiǎn)的速度和效率。

卡諾圖；多變量；直接表示

1 函數(shù)表達(dá)式的化簡(jiǎn)及方法比較

眾所周知，在數(shù)字電路設(shè)計(jì)中，邏輯函數(shù)表達(dá)式的復(fù)雜程度決定著實(shí)際電路的穩(wěn)定性、成本高低和市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力。根據(jù)較復(fù)雜的邏輯函數(shù)表達(dá)式制造出來(lái)的實(shí)際電路成本較高，穩(wěn)定性較差，市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力不強(qiáng)。所以，邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)始終是數(shù)字電路設(shè)計(jì)中一項(xiàng)重要的工作。目前業(yè)界常用的邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)法有代數(shù)法化簡(jiǎn)和卡諾圖法化簡(jiǎn)。代數(shù)法化簡(jiǎn)必須對(duì)公式的記憶及運(yùn)用技巧達(dá)到一定的熟練程度，而且化簡(jiǎn)之后，結(jié)果是否最簡(jiǎn)，還需要有一定的判斷力才能做出決定。相比之下，卡諾圖化簡(jiǎn)法不失為一種簡(jiǎn)潔方便的化簡(jiǎn)方法，所以得到了廣泛的應(yīng)用。

2 關(guān)于卡諾圖化簡(jiǎn)法

卡諾圖化簡(jiǎn)法是1953年卡諾（Karnaugh）在維奇（W. Veitch)的圖形法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的思想上提出來(lái)的。其基本原理是代數(shù)法化簡(jiǎn)中的吸收律1，即針對(duì)兩邏輯相鄰項(xiàng)，可消去取值不同的變量，保留取值相同的變量。卡諾圖化簡(jiǎn)法的具體步驟是：

(1)將所給的邏輯函數(shù)的一般式轉(zhuǎn)化為最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)式（若所給即為最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)式，該步驟省略）；

(2)將所得的最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)式用卡諾圖表示；

(3)根據(jù)最小項(xiàng)合并規(guī)律，用圈在卡諾圖中圈住所有為“1”的方格，并在圈旁寫出每個(gè)卡諾圈的化簡(jiǎn)結(jié)果；

(4)將每個(gè)卡諾圈的化簡(jiǎn)結(jié)果“或”起來(lái)，即得化簡(jiǎn)結(jié)果。在實(shí)際操作中，卡諾圖化簡(jiǎn)法有以下注意事項(xiàng)：

(1)卡諾圖化簡(jiǎn)只適用于最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)式，所以，若所給函數(shù)不是最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)式，應(yīng)先利用代數(shù)法或真值表法將該函數(shù)轉(zhuǎn)化為最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)式。

(2)所圈卡諾圈要盡可能地大。因?yàn)楦鶕?jù)相鄰最小項(xiàng)合并規(guī)律可知，卡諾圈越大，該卡諾圈消去的變量就越多，結(jié)果中保留的變量就越少，越簡(jiǎn)單。

(3)不能出現(xiàn)多余圈。保證每個(gè)卡諾圈中至少有一個(gè)“1”未被其它圈圈住，否則，該圈就是多余圈。

(4)卡諾圈盡可能地少。每個(gè)卡諾圈都對(duì)應(yīng)一個(gè)與項(xiàng)，所以，少一個(gè)卡諾圈在結(jié)果中就少一個(gè)與項(xiàng)，實(shí)際電路就少一個(gè)與門。

3 針對(duì)一般式在卡諾圖化簡(jiǎn)法中的改進(jìn)

在上述卡諾圖法化簡(jiǎn)步驟中，我們可以看到，針對(duì)一般式，首先得把一般式轉(zhuǎn)化為最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)式才能應(yīng)用卡諾圖來(lái)化簡(jiǎn)。按照本文提出的方法，可以將一般式的各項(xiàng)直接填入卡諾圖中，不必進(jìn)行最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)式的轉(zhuǎn)化。這樣可以大大提高設(shè)計(jì)電路時(shí)的工作效率，并且降低錯(cuò)誤率。

一般式中，缺變量的與項(xiàng)在卡諾圖中填充“1”的方法：

(1)一個(gè)缺變量的與項(xiàng)在卡諾圖中填充“1”的數(shù)目為2n（n為該與項(xiàng)中所缺變量的個(gè)數(shù)）。

(2)缺變量的與項(xiàng)在卡諾圖中填充的“1”方格應(yīng)為邏輯相鄰關(guān)系。

(3)在缺變量的與項(xiàng)中，先不考慮所缺的變量，以現(xiàn)有的變量取值為依據(jù)，找出應(yīng)該填充的具體位置。

一般式中最小項(xiàng)填充“1”的方法跟標(biāo)準(zhǔn)式中最小項(xiàng)填充“1”的方法相同，此處不再贅述。

4 實(shí)用舉例

解 可以看出，該式為四變量的一般式。

第一步：按照上述方法將各與項(xiàng)在卡諾圖中相應(yīng)位置填充上“1”。D應(yīng)填充兩項(xiàng)，位置分別在m3、m11上；B應(yīng)填充四項(xiàng)，位置分別在m4、m5、m12、m13上；應(yīng)填充兩項(xiàng)，位置分別在m1、m5上；A應(yīng)填充兩項(xiàng)，位置分別在m10、m11上。如圖1所示。

圖1 填充結(jié)果

第二步：根據(jù)畫圈原則，在圖中圈住所有為“1”的方格，如圖2所示。

圖2 圈住所有為“1”的方格

第三步：根據(jù)上一步結(jié)果，寫出化簡(jiǎn)后的新函數(shù)。

5 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，針對(duì)邏輯函數(shù)一般式的卡諾圖化簡(jiǎn)，經(jīng)理論和實(shí)踐證明，采用本文提出的方法，可以省去一般式轉(zhuǎn)化為最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)式的步驟，提高了化簡(jiǎn)速度和正確率。

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[4]許斌．淺析邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法[J]．河北能源職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，(4)：82-84．．

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[6]杜海林．?dāng)?shù)字電路中邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法[J]．淮海工學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，(21)：413-414．

Methods and Skills for Simplification of the General Formula and Multivariable Logic Function

Zhang Hui1Li Zhu2

(1.Linfen College,Shanxi Normal University,Linfen 041000,Shanxi; 2.Physics and Information Engineering College,Shanxi Normal University,Linfen 041004,Shanxi)

Karnaugh map is one of the most commonly used method of logic function.In view of simplification of the general formula and multivariable logic function,this paper proposes a method that doesn't need to translate into standard type,but to represent in Karnaugh map directly,thus greatly improving the speed and efficiency of simplification.

Karnaugh map;multivariable;direct representation

TP302

A

1008-6609(2015)10-0088-02

張輝，男，山西臨猗縣人，碩士研究生，助教，研究方向：人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與智能信息處理。