求解二維擴展Fisher-Kolmogorov方程的線性化緊差分格式

李 娟， 高廣花

(1.應天職業技術學院 基礎部，江蘇 南京210023;2.南京郵電大學 理學院，江蘇 南京210023)

考慮如下二維擴展的Fisher-Kolmogorov 方程的初邊值問題:

其中，Ω = (0，1］× (0，1］，T ＞0，f(u)= u3－ u。

當γ = 0 時，方程(1)是由Fisher 和Kolmogorov在1937 年提出的，用來描述生物的擴散與適應間的相互作用。Coullet 和Dee 發現了模型中的一些缺陷，添加了四階導數項，得到EFK 方程(1)。

EFK 方程已經有了廣泛的應用，如雙穩態系統的圖式形成、總體遺傳學、液晶中疇壁的傳播問題、反映擴散中的行波等，所以備受關注。文獻［1-4］對該方程進行了理論研究。文獻［5-11］討論EFK 方程的數值算法，但是收斂精度僅在空間、時間二階收斂，且對于二維問題的討論較少。

為了提高差分格式的收斂精度，文中討論求解問題(1)～(3)的三層線性化緊差分格式，該方法不僅能夠快速地求解方程，而且收斂精度達到時間方向二階收斂、空間方向四階收斂。

1 差分格式

取正整數M，N，記h = 1/M，τ = T/N，xi= ih，yj= jh，0 ≤i，j ≤M，tk= kτ，0 ≤k ≤N，Ωh= {(xi，yi)| 0 ≤i，j ≤M}，Ωτ= {tk| 0 ≤k ≤N}。設Uh={| 0 ≤i，j ≤M，0 ≤k ≤N}是定義在Ωh×Ωτ上的網格函數。

對任意的網格函數u ∈Uh，引入如下記號:

下面引入幾個引理。

引理1［12］記α(s)= (1 －s)3［5 －3(1 －s)2］，如果g(x)∈C6［xi－1，xi+1］，則有

引理2［13］對于任意的u，v ∈，有

令

則問題(1)～(3)等價于下面問題:

在Ωh×Ωτ上定義如下網格函數:0 ≤i，j ≤M，0 ≤k ≤N。在()處分別考慮方程(4)，(5)，并應用泰勒展式和引理1，可得

其中

且存在不依賴于h，τ 的正常數c1，使得

在(xi，tk)處分別考慮方程(4)，(5)，并應用泰勒展式和引理1，可得

且存在不依賴于h，τ 的正常數c2，使得

根據式(6)，(7)可得

在式(17)～(23)中消去vk，可得到與之等價的差分格式:

采用能量分析法，利用數學歸納法及引理2，可以證明差分格式(24)～(27)是唯一可解的，并且在L∞范數下，空間方向四階收斂，時間方向二階收斂。

定理1 差分格式(24)～(27)有唯一的解。

定理2 假設問題(1) ～ (3)的解u(x，t)∈C(6，6，3)(Ω ×［0，T］)，則差分格式(24)～(27)的解按無窮范數收斂于問題(1)～(3)的解，且收斂階為O(τ2+ h4)。

2 數值算例

在問題(1)～ (3)中取參數r = 0.1，初值u0(x，y)=［100x2(1 －x)2(x －0.5)］·［100y2(1 －y)2(y － 0.5)］。取空間和時間步長分別為h =1/20，τ = 1/ 1 000。采用高斯賽德爾迭代法求解差分格式(24)～(27)，容許誤差設定為10－12。差分格式的數值解如圖1 所示。

圖1 當T = 0.1 時差分格式(24)～(27)的數值解Fig.1 Some numerical results of (24) ～ (27)when T =0.1

由于無法計算其精確解，采用下面方式驗證差分格式空間方向四階收斂:記

若O(τp)充分小，則

記

則

在PC 機上利用Matlab 編程，驗證出差分格式(24)～(27)在空間方向上四階收斂。具體數值結果如表1 所示。

表1 當T = 0.1，τ = T/30 000 時差分格式(24)～(27)的數值結果Tab.1 Some numerical results of (24) ～ (27)when T =0.1，τ = T/30 000

3 結 語

文中給出了求解二維擴展的 Fisher-Kolmogorov 方程的三層線性化緊差分格式，并通過數值算例，說明空間方向收斂階優于目前已有的工作。文中所采用的數值算法，可以推廣到更高維的情形。

［1］Andreu F，Caselles V，Mazon J M. A Fisher-Kolmogorov equation with finite speed of propagation［J］. Journal of Differential Equations，2010，248(10):2528-2561.

［2］Kudryashov N A，Zakharchenko A S.A note on solutions of the generialized Fisher equation［J］. Applied Mathematics Letters，2014(32):53-56.

［3］馬麗蓉，徐天華，帥維成. 二維Extened Fisher-Kolmogorov 方程的全局吸引子［J］. 西南大學學報:自然科學版，2012，34(8):108-111.

MA Lirong，XU Tianhua，SHUAI Weicheng.Existence and uniqueness of solution for two dimensional extened fisher-kolmogorov equation［J］.Journal of Southwest University:Natural Science Edition，2012，34(8):108-111.(in Chinese)

［4］Juan Belmonte-Beitia，Gabriel F Calvo，Víctor M Pérez-García.Effective particle methods for Fisher-Kolmogorov equations:theory and applications to brain tumor dynamics［J］. Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2014 (19):3267-3283.

［5］JMacías-Díaz J E，Puri A.An explicit positivity-preserving finite-difference scheme for the classical Fisher-Kolmogorov-Petrovsky-Piscounov equation［J］.Applied Mathematics and Computation，2012(218):5829-5837.

［6］El-Azab M S.An approximation scheme for a nonlineardiffusion Fisher’s equation［J］.Applied Mathematics and Computation，2007(186):579-588.

［7］Danumjiaya P，Pani A K. Numerical methods for the extended Fisher-Kolmogorov equation ［J］. International Journal of Numerical Analysis and Modeling，2006，3(2):186-210.

［8］Aprahamian M，Souroujon D，Tersian S. Decreasing and fast solutions for a second-order difference equation related to Fisher-Kolmogorov’s equation［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2010，363(1):97-110.

［9］Noomen Khiari，Khaled Omrani. Finite difference discretization of the extended Fisher-Kolmogorov equation in two dimensions［J］.Computers and Mathematics with Applications，2011(62):4151-4160.

［10］Tlili Kadri，Khaled Omranib. A second-order accurate difference scheme for an extended Fisher-Kolmogorov equation［J］.Computers and Mathematics with Applications，2011(61):451-459.

［11］Macías-Díaz J E.A bounded numerical method for approximating a hyperbolic and convective generalization of Fisher’s model with nonlinear damping［J］.Applied Mathematics Letters，2012(25):946-951.

［12］SUN Zhizhong.On the compact difference scheme for heat equation with Neumann boundary conditions［J］. Numer Methods Partial Differ Equ，2009(25):1320-1341.

［13］LI Juan，SUN Zhizhong，ZHAO Xuan. A three level linearized compact difference scheme for the Cahn-Hilliard equation［J］.Science China Mathematics，2012，55(4):805-826.