參數空間中非自治四階發展方程全局吸引子的存在性

徐海平， 李曉軍 ， 周康寶

(河海大學 理學院，江蘇 南京210098)

1 引言及預備知識

考慮下面非自治四階發展方程:

其中I = (0，1)，W(p)= (p2－1)2，f(x)∈H10(I)，ε(t)∈C1(I)為一非負有界遞減函數滿足:

且存在L ＞0，使得

此方程在彈性原理、相轉換、圖像處理等領域有著廣泛的應用。當ε(t)= 0 時，系統是一個簡單的模型描述了來自固-固相變在特定彈性晶體上的微結構，當ε(t)是不依賴于時間t 的常數時，在文獻［1-3］中作者研究了(1.1)～(1.3)全局吸引子的存在性。文中考查系統(1.1)～(1.3)中ε(t)與時間t 有關，且由于ε(t)在無窮遠處衰減為0，從而方程帶有奇異性。這在運用經典的方法得到吸收集及吸引子的存在性時帶來一定困難。為得到時間導數項或－Δ 項依賴于時間參數的波方程的全局吸引子的存在性，Temam 等人分別在文獻［4-5］中將時間參數并入過程所定義的空間，給出在依賴于參數t的空間中全局吸引子的存在性。文中應用文獻［4-5］中的理論，考察式(1.1)～(1.3)依賴于時間t 的全局吸引子的存在性。

對于任意的u ∈H2(I)∩)，令‖·‖表示L2(I)范數，內積為＜·，·＞。則有

首先給出關于含參數空間的一些概念。對于每個對t ∈R，令Xt是一族依賴于時間t 的賦范空間，稱雙參數映射U(t，τ):Xτ→Xt是一個過程，若它滿足:

1)U(t，τ)= U(t，r)U(r，τ)，?τ ≤r ≤t;

2)U(τ，τ)是Xτ上的恒同映射。

令

設A，B 的Hausdorff 半距離為

若對任意的t ∈R，存在Rt，使得Ct?Bt(Rt)成立，則稱集族C = {Ct}t∈R在Xt中是有界的。

定義1.1 稱有界的一族集合{Bt}t∈R是拉回吸收集，如果對任意的R ＞0，都存在t0= t0(t，R)≤t，使得

稱過程U(t，τ)是耗散的，若其擁有一拉回吸收集。定義1.2 稱集族{Kt}t∈R，Kt?Xt，是拉回吸引的，若對任意的ε ＞0，集族{(Kt)}t∈R是拉回吸收的，其中(Kt)是Kt在Xt中的ε-鄰域。若過程U(t，τ)擁有一個非空緊的拉回吸引集，即{Kt}t∈R是拉回吸引的，Kt?Xt是Xt中的緊集，則稱U(t，τ)是漸近緊的。

定義1.3 稱{At}t∈R是過程U(t，τ)依賴于時間的全局吸引子，如果{At}t∈R是拉回吸引的，At?Xt是緊集。

為保證吸引子的不變特性，引入下面定義。定義1.4 稱U(t，τ):Xτ→Xt是閉的，若對任意給定的t ≥τ，{xn}?Xτ，

則有U(t，τ)x = ξ。

若對固定的T ＞0，U(t，t － T)是閉的，則稱U(t，τ)是T-閉的。

由上述定義可知，連續過程，強弱連續過程，閉過程都是T-閉的。下面給出關于依賴時間的全局吸引子存在性的抽象結果，證明如同文獻［6-8］。

定理1.1 假定過程U(t，τ):Xτ→Xt是漸近緊的，則存在依賴于時間的全局吸引子{At}t∈R，At?Xt。進一步假設U(t，τ)是T-閉的，則{At}t∈R滿足不變特性:

注:上定理給出的全局吸引子沒有唯一性，若過程U(t，τ)擁有一個一致有界的緊的拉回吸收集，則定理1.1 中所描述的全局吸引子在吸引意義下是唯一的。

2 主要結果

對于系統(1.1)～(1.3)，令空間Xt為含參數的L2(I)，定義空間Xt的范數為

同理定義空間Yt= H2(Ω)×(Ω)，范數為

由ε(t)的假設可知，空間Xt與Xτ等價，空間Yt與Yτ等價，當t →+ ∞時，等價常數爆破。

由標準的Galerkin 方法(如見文獻［9-14］)，有如下結果。

定理2.1 假設式(1.2)～(1.5)成立，那么問題(1.1)～(1.3)在L2(I)中適定，即對任意的τ ∈R，任意的初值uτ∈L2(I)和任意的T ≥0，方程(1.1)～ (1.3)存在唯一的弱解u ∈C(［τ，t］;L2(I))，且該解連續地依賴于初值。

由上述定理可知，在Xt中可以定義過程U(t，τ):

其中u(t)是系統(1.1)～(1.3)的解。

引理2.1 假設式(1.2)～(1.5)成立，則對Xτ中的任何有界集B = Bτ(R)，存在τ0= τ0(B，t)＞0，使得

證 對式(1.1)兩邊用ε(t)u 在L2(I)中作內積，可得

由ε(t)的假設，從上式可得

應用函數W 的假設，從式(2.2)可以得到

故由上式得

應用式(1.6)于式(2.4)并運用Gronwall 引理可得

這里，用到ε(t)的假設。令τ →－∞時，由上式可得

由引理2.1 可知，過程U(t，τ)存在一個有界的拉回吸收集{Bt}t∈R，其中

令初值u(τ，x)屬于Bτ。應用引理2.1，并對式(2.4)在(t，t +1)上積分可得

令‖·‖4表示L4(I)的范數。由式(2.3)可得

對式(2.7)在(t，t +1)上積分可得

應用式(2.6)于由式(2.8)可得

因此

引理2.2 假設式(1.2)～式(1.5)成立，則對任意的uτ∈Bτ，存在τ0= τ0(t，Bτ)＞0，使得

證 用－ ε(t)uxx對式(1.1)在L2(I)中做內積可得

由此可以推導出

對式(2.11)在(s，t + 1)上積分，且s ∈(t，t +

1)，可得

對式(2.12)再關于s 在(t，t +1)積分得

此外，重新估計式(2.10)可得

固有

對上式在(t，t +1)上積分可得

引理2.3 假設式(1.2)～(1.5)成立，則對任意的uτ∈Bτ，有

其中Ci，i = 1，2，3，為正常數。

證 用ut對式(1.1)在L2(I)中做內積可得

對式(2.15)在(s，t +1)積分，且t ≤s ≤t +1，可得

對上式再關于s 在(t，t +1)上積分得

結合式(2.6)和式(2.9)可得

定理2.2 假設式(1.2)～式(1.5)成立，則式(1.1)～式(1.3)所對應的過程在Xt中有依賴于時間的全局吸引子{At}存在，且At于Yt中有界。

證 由引理2.1 可得過程在Xt中有一個依賴于時間的吸收集。由引理2.2 ～2.3 可得系統所對應的過程在Xt中是漸近緊的。利用定理2.1 及定理2.2，可以得到過程在Xt中有依賴于時間的全局吸引子{At}t∈R存在。

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