基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化的魯棒模型預(yù)測控制

梁 肖， 崔寶同 ， 樓旭陽

(江南大學(xué) 物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院，江蘇 無錫214122)

模型預(yù)測控制是20 世紀(jì)70 年代后期發(fā)展起來的一類新型計算機(jī)控制方法。它對系統(tǒng)模型要求低、魯棒性好、抗干擾能力強(qiáng)，且其特有的滾動時域控制策略，使之在處理系統(tǒng)約束的問題上顯示出巨大的吸引力，故被廣泛應(yīng)用于工業(yè)過程控制中，尤其是在煉油、化工、食品、鋼鐵等重要領(lǐng)域［1］。模型預(yù)測控制算法主要由3 部分組成，即預(yù)測模型、滾動優(yōu)化和反饋校正，其控制性能在很大程度上依賴于預(yù)測模型的精度。但是在工業(yè)生產(chǎn)過程中，由于實(shí)際系統(tǒng)與過程模型之間的模型失配以及外部擾動等因素引起的模型不確定性，往往使模型預(yù)測控制的性能變差，甚至造成系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此，研究模型預(yù)測控制的魯棒性具有重要的現(xiàn)實(shí)意義［2］。

魯棒模型預(yù)測控制(Robust Model Predictive Control，RMPC)是一種在模型預(yù)測控制的框架內(nèi)處理模型不確定性的控制方法，它融合了魯棒控制和預(yù)測控制的優(yōu)點(diǎn)，其研究內(nèi)容主要包括預(yù)測控制算法的魯棒性分析和魯棒控制綜合兩個方面［3］。前者是指當(dāng)系統(tǒng)存在不確定性和外部擾動時，對系統(tǒng)穩(wěn)定性和動態(tài)性能的分析;后者是指如何獲得有效的控制律，并在保證閉環(huán)系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的條件下，滿足系統(tǒng)的魯棒性能。RMPC 獲取最優(yōu)控制律的方法一般分為兩類:一是H∞控制［4-8］，即在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的同時能將擾動對系統(tǒng)性能的影響抑制在一定的水平下;另一類是引入min-max 優(yōu)化技術(shù)求解最優(yōu)控制律［9-12］。通常采用最糟情況下的性能指標(biāo)函數(shù)?；诓蛔兗碚?，運(yùn)用線性矩陣不等式(LMI)設(shè)計RMPC 的控制器，將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成一個LMI化問題，求解預(yù)測控制律。

模型預(yù)測控制算法在每一個采樣時刻都要求解最優(yōu)化問題，這將導(dǎo)致在線計算量很大。特別地，當(dāng)在魯棒模型預(yù)測控制中考慮多面體不確定性時，其在線計算量將隨著不確定集的頂點(diǎn)個數(shù)的增長而增長。近年來，由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在大規(guī)模并行處理和快速優(yōu)化方面的顯著優(yōu)勢，為降低在線MPC 計算量大的問題，多種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型被提出并用于模型預(yù)測控制問題的優(yōu)化求解，如離散神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、雙重遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，簡化對偶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和廣義投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型等［13-17］。PAN Yunpeng 等［13］針對系統(tǒng)存在有界不確定性干擾問題，提出一種離散神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型優(yōu)化魯棒模型預(yù)測控制問題，在保證系統(tǒng)魯棒性的前提下，提高了在線優(yōu)化速度，易于電路實(shí)現(xiàn);WANG Jun 等［14］提出一種雙重遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解連續(xù)攪拌反應(yīng)釜系統(tǒng)的非線性魯棒模型預(yù)測控制問題，改善了產(chǎn)品質(zhì)量，提高了生產(chǎn)效率。

文中在文獻(xiàn)［14］的基礎(chǔ)上，針對有界輸入擾動系統(tǒng)，提出一種新的投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化魯棒模型預(yù)測控制問題，在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的情況下，求解預(yù)測控制律。

1 問題描述

考慮如下輸入受限有界輸入擾動模型［13］:

系統(tǒng)約束如下:

式中:k 為當(dāng)前采樣時刻;A，B，C 分別為相應(yīng)的狀態(tài)輸入、輸出矩陣;ω(k)∈Rn為有界不確定向量。u(k)∈Rm，x(k)∈Rn，y(k)∈Rp分別為系統(tǒng)輸入增量的輸入矩陣、狀態(tài)矩陣和輸出矩陣;umin，umax，Δumin，Δumax，ymin，ymax，ωmin，ωmax為各向量的約束值。

模型預(yù)測控制優(yōu)化過程是一個滾動優(yōu)化的過程。在每一個采樣時刻，測量系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)，通過在線求解模型預(yù)測控制優(yōu)化問題的最優(yōu)解，獲得最優(yōu)的控制輸入向量。當(dāng)系統(tǒng)受到不確定性干擾，且干擾有界的情況下，魯棒模型預(yù)測控制律可以通過在系統(tǒng)干擾最大情況下，求解系統(tǒng)最優(yōu)問題的最小值獲得。最優(yōu)問題J(Δu，ω)為有限控制時域范圍內(nèi)最糟性能指標(biāo)函數(shù)。即

系統(tǒng)滿足約束式(2)。式中:y(k + i/k)，u(k + i/k)，Δu(k +i/k)，r(k+i/k)分別為k 時刻預(yù)測的k+i 時刻的輸出、輸入、輸入增量和期望輸出;N，Nu為預(yù)測時域和控制時域，且N ≥Nu;Q，P 為相應(yīng)的輸出權(quán)重矩陣和控制權(quán)重矩陣;系統(tǒng)控制增量Δu(k)滿足如下關(guān)系式:

Nu時刻以后的控制作用保持不變。

由式(1)可知系統(tǒng)未來輸出為

I ∈Rm×m表示單位矩陣。定義變量:

則系統(tǒng)輸入增量和控制輸入間關(guān)系滿足:

因系統(tǒng)期望輸出是已知的，干擾項是有界的，則由式(4)、式(5)得系統(tǒng)預(yù)測輸出表達(dá)式可轉(zhuǎn)化為

式中

將式(6)代入性能指標(biāo)函數(shù)式(3)得

其中

定義向量:v = ΔU(k)，代入并簡化式(7)。魯棒模型預(yù)測控制最優(yōu)化問題可描述成min-max 問題，形式如下:

式中，相應(yīng)矩陣和向量分別為

由上可知，系數(shù)矩陣W，M 是對稱正定矩陣。因此，含約束和有界不確定干擾系統(tǒng)的魯棒模型預(yù)測控制問題，可轉(zhuǎn)化成一個受約束的凸二次min-max問題，故通過求解min-max 問題即可獲得RMPC 的最優(yōu)控制律。

2 投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)因其內(nèi)在大規(guī)模并行運(yùn)算、分布式處理和快速收斂等特性，使得神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在處理優(yōu)化問題的實(shí)時求解上表現(xiàn)出巨大潛力，使得優(yōu)化計算可以在通用計算機(jī)上執(zhí)行，且優(yōu)化時間提高了一個數(shù)量級。因此，近年來許多學(xué)者努力開發(fā)多種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型求解優(yōu)化問題［13-21］，尤其是運(yùn)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解min-max 優(yōu)化問題的研究結(jié)果成效顯著［18-21］。這些網(wǎng)絡(luò)模型在保證模型收斂的情況下能精確求解優(yōu)化問題，且網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)易于電路實(shí)現(xiàn)。

文中基于文獻(xiàn)［18］的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化模型，提出將投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于魯棒模型預(yù)測控制優(yōu)化問題的求解。

式(8)可轉(zhuǎn)化成如下變分不等式LVI 形式:

由鞍點(diǎn)定理［22-23］知，若存在z*=使得J(v，ˉω)滿足

則點(diǎn)(v*)T為)的鞍點(diǎn)。顯然，(v*，)T也是問題(8)的最優(yōu)解。

由式(9)得

根據(jù)投影定理和式(10)得

其中，α，β ?0 為網(wǎng)絡(luò)規(guī)模參數(shù);Pv(·)，Pˉw(·)為分段投影函數(shù)，滿足:

根據(jù)投影定理和式(11)，構(gòu)建投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型如下:

由網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)構(gòu)知，該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)簡單，易于電路實(shí)現(xiàn)，僅含有一個隱藏層。

3 數(shù)值分析

以文獻(xiàn)［24］中描述的雙輸入單輸出GLCC 流量計液閥-氣閥-液位系統(tǒng)為例，驗(yàn)證文中所述方法的有效性，GLCC 多相流量計結(jié)構(gòu)如圖1 所示。

以k 時刻液、氣位閥門的開啟度作為系統(tǒng)控制量u(k)，分離器內(nèi)部液位量高度為系統(tǒng)輸出y(k)，系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型系統(tǒng)參數(shù)及約束如下:

因?yàn)橐何槐３忠欢ǖ母叨仁窍到y(tǒng)保持穩(wěn)定的必要條件，假定:采樣周期t = 0.1 s，采樣100 次;預(yù)測范圍和控制范圍N，Nu分別為10，5，權(quán)重矩陣Q =0.1I，P = 0.5I。期望輸出液位r = 3，有界不確定性干擾滿足:－0.2 ≤ω(k)≤0.3，GLCC 多相計量機(jī)系統(tǒng)狀態(tài)變量x(k)可由狀態(tài)觀測器測量得到，設(shè)備開啟前系統(tǒng)氣相控制閥門和液相控制閥門開度為10% 和30%，氣、液相閥門控制量及其增量和液位約束滿足如下條件(單位:%):

圖1 GLCC 多相流計量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of the GLCC multiphase flow metering system

圖2 為某一采樣時刻雙層投影遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)。

由圖2 可以推出，在任一采樣時刻，投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型是全局穩(wěn)定且收斂的，因此，文中所提方案是可行的，是能滿足系統(tǒng)優(yōu)化需要的。

圖2 投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)軌跡Fig.2 State variable trajectory of the projection neural network

圖3 為達(dá)到期望液位高度時多相流量計的氣、液相閥門的最優(yōu)開度，即最優(yōu)控制輸入量，氣、液相閥門的開度。圖4 為達(dá)到期望液位高度時多相流量計的氣、液相閥門的最優(yōu)開度變化量，即最優(yōu)控制輸入增量。

圖3 GLCC 氣液閥最優(yōu)輸入Fig.3 Optimal input signal curves of the GLCC gap-liquid control valve

圖4 GLCC 氣液閥最優(yōu)輸入增量Fig.4 Optimal input increment signal curves of the GLCC gap-liquid control valve

由圖3 ～圖4 可知，在采樣次數(shù)20 －30 之間，魯棒模型預(yù)測控制系統(tǒng)在約束范圍內(nèi)能追蹤期望液位軌跡并保持穩(wěn)定狀態(tài)，說明文中提出的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化算法，在有界不確定干擾下，控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的，并能達(dá)到理想的控制效果，保證了控制系統(tǒng)的魯棒性，解決了在外界干擾情況下GLCC 多相流量計的液位控制問題。

4 結(jié) 語

文中利用min-max 優(yōu)化方法和線性矩陣不等式技術(shù)，將難以求解的魯棒模型預(yù)測控制最優(yōu)化問題通過LVI 轉(zhuǎn)化成帶有約束的min-max 凸優(yōu)化問題，從而獲得了求解魯棒模型預(yù)測控制器的途徑。通過GLCC 多相流量計的仿真實(shí)驗(yàn)，證明了所提控制算法的可行性和閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性。

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