具有時滯的兩種群Lotka-Volterra 合作系統的穩定性

陳曉英， 韓榮玉

(1. 福州大學至誠學院 計算機工程系，福建 福州350002;2. 福州大學 數學與計算機科學學院，福建福州350108)

1 引 言

經典的兩種群Lotka-Volterra 合作系統可以表示為

由文獻［1－2］，對該系統而言，條件

足以保證系統(1)存在唯一的全局吸引的正平衡點。

近來，許多學者對合作系統的持久性及穩定性問題進行了研究，讀者可參考文獻［3－6］及其引文文獻。考慮到現實的生物數學模型不可避免地都要受到歷史狀態的影響，LIN Suqing，LU Zhengyi［3］考慮了具有時滯的合作系統，研究了如下模型:

其中ri，ai，aij，τij(i，j = 1，2)均為常數，且ai＞0，τij≥0(i，j = 1，2)，考慮條件:

文中旨在發展文獻［8－9］的研究技巧，通過構造適當的Lyapunov 泛函，得到保證系統正平衡點全局吸引的充分性條件，所得結果補充和完善了前人的結果。

2 主要結果

基于系統的生態學意義，文中恒設系統(2)滿足如下初始條件:

式中，φi(s)(i = 1，2)是［－ τ，0］上的連續函數，τ =max{τij:i，j = 1，2}。

引理1 系統(2)滿足初始條件(3)的解x1(t)＞0，x2(t)＞0(t ≥0)。

證

作為LIN Suqing，LU Zhengyi［3］定理2.2 的直接推論，關于系統(2)的持久性，有

引理2 若條件(C2)成立，系統(2)，(3)是持久的，即存在與系統的解無關的正常數m 和M 使得系統(2)的任一正解均滿足:

下面，考慮條件

證 構造Lyapunov 函數:

沿著系統(2)～(3)的解計算V1(t)的導數，有

令

計算V2(t)的導數，有

令

計算V3(t)的導數，有

定義

由式(5)，(6)，(7)可知，有

取

由條件H 則有

其中

由式(9)可知，有

令t →+ ∞，有

也就是有

注 定理表明，條件(H)足以保證系統的正平衡點的全局吸引的，注意到，條件(H)蘊含了條件(C1)和(C2)，文中結果是對已有結果LIN Suqing，LU Zhengyi［3］的補充和完善。

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