向量在解決有關“距離”問題教學時的思考

新疆伊寧市第三中學 彭吉成

向量在解決有關“距離”問題教學時的思考

新疆伊寧市第三中學 彭吉成

向量在解決有關“距離”問題的優勢 ：思路簡潔,計算量少。

向量 距離 解題思路

向量是一個“數形結合體”，它在證明“平直關系”、解決平面或空間中的角的問題時非常簡便，人教版的教材對此進行了詳盡闡述，但教材對于用向量解決“距離”的問題涉及很少。而向量在解決這些問題時也有獨到之處，向量知識在許多國家的中學數學教材中早就成了一個基本的教學內容。

在我國全面實施新課程后，向量雖然已進入中學，但仍處于起步的階段。向量知識、向量觀點在數學、物理等學科的很多分支有著廣泛的應用，它具有代數形式和幾何形式的“雙重身份”，融數形于一體，與中學數學教學內容的許多主干知識綜合形成知識交匯點。而在高中數學體系中，解析幾何、立體幾何均占有很重要的地位，有些問題用常規方法解決往往比較繁雜，不妨利用向量簡化過程。但實際情況是很多學生在學習中不會應用向量解決數學問題，應用向量的意識不強。在高中數學新課程教材中，學生學習平面向量在前，學習解析幾何、立體幾何在后，而且教材中二者知識整合不多，很多學生在學習中就“平面向量”解平面向量題，不會應用平面向量解決幾何問題。正因為如此，教師自身首先要深入研究這類問題，通過教師的引領作用，教會學生這樣思考，用這樣的思路解決數學問題。

本文結合兩個具體的實例予以解釋說明向量在解決解析幾何、立體幾何問題時，所展示出的簡潔之美。

一、向量解決平面內點到直線距離的問題

示意圖

人教版必修二教材在證明這個公式時思路很簡潔，但繁瑣的計算令人望而生畏，而向量解決這個問題從思路到運算都很簡潔。

二、向量解決空間中點到直線的距離的問題

從一個具體的例子出發，其他的各種情況下思路完全相同。需要說明的一點是應用向量解決問題時，往往首先要建立平面或空間直角坐標系，有了向量的坐標，向量的威力才能充分地發揮出來。

例題：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AD=2, AA1=3,求點A到體對角線A1C的距離d。

∴λ+4λ-9+9λ=0

由此可見，因為向量具有幾何形式和代數形式的“雙重身份”，使向量與解析幾何、立體幾何之間有著密切聯系，而新課程高考則突出了對向量與幾何結合考查，這就要求我們在平時的幾何教學與復習中，應抓住時機，有效地滲透向量有關知識，樹立應用向量的意識，那么如何樹立應用向量的意識，我認為應從如下幾點考慮：

1.如何樹立應用向量的意識，在教學中應先從學生熟悉的平面幾何問題入手，讓學生體會向量的工具性。

2.如何樹立應用向量的意識，應充分挖掘課本素材，在教學中從推導有關公式、定理，例題講解入手，讓學生去品味、去領悟，在公式、定理的探索、形成中逐漸體會向量的工具性，逐漸形成應用向量的意識。

3.如何樹立應用向量的意識，在教學中還應注重引導學生善于運用一些問題的結論，加以引申，使之成為解題方法，體會向量解題的優越性。

4.如何樹立應用向量的意識，還應該有意識的要求學生比較向量方法和傳統方法，到底孰優孰劣，一旦學生體會到向量簡潔的優勢，他們就能自動形成一種自覺。

隨著教學改革的逐步深入，今后對于向量與其他知識的綜合考察不僅不會弱化，而且肯定會進一步加強，向量作為數形結合的有力工具，成為了聯系眾多知識的橋梁，因此，向量與三角、解析幾何、立體幾何的教匯仍是今后一段時間高考命題的必然趨勢，所以必須高度重視對向量的復習和演練，直到達到深刻理解、運用熟練的境地。

ISSN2095-6711/Z01-2015-08-0140