基于CATIA的葉片曲面造型技術研究

劉國田，宋瑞東，李 松，閻長罡

(大連交通大學 機械工程學院，遼寧 大連 116028)

0 引言

隨著船舶、航空、汽車和軍事工業等領域的發展，各類透平機械發揮著至關重要的作用。整體葉輪是透平機械中重要組成部件，其葉片型面通常是直紋面形式，結構復雜，種類繁多。葉片中工作型面的設計涉及到空氣動力學等多個學科，而且曲面造型質量、加工方式等都對葉輪性能參數有很大的影響。在各種透平機械中，葉輪類零件是一類具有代表性的多曲面復雜零件，但其幾何結構與曲面形狀的復雜性，導致了在數控加工中的難度。因此，葉片曲面幾何造型仿真的精確度是葉輪數控加工的必要前提，研究葉輪葉片曲面的實體造型具有重要意義［1］。其中在設計和加工葉輪葉片曲面時，首先遇到的問題是如何用數學模型來表示曲線曲面。經過幾十年的發展，針對這種葉輪類自由曲面己經形成了一個比較完善的曲面和實體表達的理論體系，而且很多理論已經被用在商業化的軟件當中，并取得了很好的效果，其中包括Bezier方法、B樣條和非均勻有理B樣條方法［2］。通過文獻［2］的分析比較本文決定采用B樣條方法。

1 B樣條曲線

現代工程設計中，B樣條曲線曲面被廣泛應用于汽車、飛機、輪船等各個領域的設計。B樣條方法采用控制頂點定義曲線，不僅具有貝齊爾方法的一切優點，而且具有表示與設計自由型曲面的強大功能，是目前較為流行的數學描述之一。B樣條的理論最初是由Schoenberg于40年代中提出來的［3-4］，具有多種不同的表達方式，但實質是相同的。B樣條具有很多優良的性質，首先應用于CAD/CAM技術的空間曲線與曲面的設計和構造，參數形式的B樣條與普通樣條相比有如下的優點:a)適合對三維以上數據的插值和擬合;b)所采用的方法與坐標系的選取無關，對于形狀比較復雜的曲線、曲面也能進行插值或擬合;c)選擇參數具有一定的靈活性。一般地，選用參數要求是單調連續變化的。

在實際工作中，只需構造的曲線盡可能逼近復雜的外形，保證一定的光順性即可。在多數情況下，三次B樣條曲線已經能夠滿足工程實際的需求，因而被廣泛應用。

2 三次B樣條插值

CAGD(計算機輔助幾何設計)實踐中，要構造的插值曲線或插值曲面須在給定的允差內，來表示曲線曲面的形狀。目前所討論的都是根據特征多邊形計算B樣條曲線，而實際工作中需根據給定的型值點計算多邊形的頂點，即為B樣條曲線的插值，也稱反算問題［5］。

2.1 三次均勻B樣條曲線

通常情況下，三次均勻B樣條就可以表達較復雜的曲線，實踐中廣泛采用C2連續的三次均勻B樣條曲線作為插值曲線。下面是三次均勻B樣條曲線的矩陣表達式［6］:

式中 u 為參數，u∈[0，1];Vi，Vi+1，Vi+2和 Vi+3為特征多邊形頂點;Bj，3(u)，j=0，1，2，3 分別為三次均勻B樣條基函數，其表達式分別為:

式(3)中所表達的基函數分屬四個B樣條，但處于相同節點區間內，而且全部是均勻B樣條，故可將其拼接成一條完整的B樣條曲線。

2.2 反算控制頂點

根據2.1節中的(1)式，可導出曲線首、末兩端點的切矢和法矢，進而可知三次均勻B樣條曲線的首、末端點均不通過控制多邊形首、末頂點的幾何特性。但實際上，要求設計的三次均勻B曲線應在給定點起始或終止，且具有確定的切線方向，滿足邊界條件。因此，本小節利用兩端為k+1重節點(k=3)的節點矢量來定義B樣條基函數，以便構造三次準均勻B樣條曲線，讓其通過控制多邊形的首、末頂點與首、末邊相切。

最終利用四重節點構造三次準均勻B樣條插值曲線方程如下:

根據(4)式和已知的葉片中性面上的軸盤和蓋盤兩組空間曲線的離散數據點(也稱為型值點)以及相應點的厚度值［7］相結合，利用計算機編程語言Matlab編程如下:

根據此程序可得到所需的控制頂點，如表1所示，這為葉輪葉片曲面造型提供數據依據。

表1 中性面上兩條邊界B樣條曲線控制點 mm

依據表1數據進而得到控制多邊形和三次準均勻B樣條插值的圖形如圖1、圖2。

圖1 控制多邊形

圖2 三次準均勻B樣條插值

從圖2中可以看出葉片型面上的離散控制點通過三次準均勻B樣條插值，所設計的曲線經過控制多邊形的首、末頂點并具有確定的切線方向。

3 葉片曲面造型

3.1 葉輪葉片數學模型的建立

直紋面是由直線的軌跡所組成的曲面，這些直線被稱為直紋面的直母線［8］。形成直紋面的幾何要素有兩個:一是直母線，另一個是引導直母線運動的導線。直紋面又分為可展直紋面和非可展直紋面，而本文所研究的葉輪葉片的幾何模型為非可展直紋面。設曲線C是導線，它的方程是a=a( v)。設過導線C的直母線的幺矢為b( v)，u為直母線上一點P( u，v)到導線C的距離(圖3)。則直紋面的參數方程表達式為:

在上式，直紋面的曲線坐標u( v=常數 )是直母線，坐標v( u=常數 )是與導線C平行的曲線。

圖3 直紋面

3.2 CATIA建模

隨著計算機輔助設計—CAD技術的發展，CATIA V5作為一種高端三維CAD軟件，越來越受到工程技術人員的青睞。其強大的造型功能模塊和曲面造型模塊主要應用于航空航天工業和汽車工業。尤其是CATIA V5在曲線曲面造型中，采用B樣條曲線曲面為數學基礎，且為了使數據的操作更為簡潔，CATIA V5中使用和創建的B樣條有一些特殊的性質。在CATIA V5中決定B樣條曲線曲面的形狀和特性包含方向、節點、控制點等。

1)方向 當曲線生成放樣曲面時，方向非常重要。一般方向箭頭在沿曲線長度的3/4處顯示出來。

2)節點曲線上兩個跨度相連接的位置。

3)控制點小區域內影響及約束曲線形狀的數學上的點。多數情況下，控制點數量多少有優缺點之分，太少的控制點有可能讓曲線丟失所需的形狀，而過多的控制點則使曲線產生變形。

通過上述所了解到的并結合針對本文所研究的葉輪葉片直紋面，需要在CATIA V5中對其采用拉伸手段生成，然后再通過填充方法生成中間過渡面，如圖4、圖5所示。圖4是根據表1中的數據在CATIA V5中生成的圖形，圖5是求解中性面上軸盤曲線和蓋盤曲線各控制點處的單位法矢并在圖4的基礎上結合文獻［7］中相應點的厚度值得到的圖形。

圖4 葉片曲面

圖5 中性曲面

4 結論

針對葉片曲面，本文利用三次準均勻B樣條方法進行插值反算，在Matlab中編程得到葉片曲面線上的控制點，并在CATIA V5環境下繪制了直紋面形式的葉片曲面和中性曲面圖形。結果表明將理論分析和幾何仿真技術相結合，是構造葉片曲面的有效途徑，這也為以后回轉面刀具側銑葉輪葉片曲面的刀位規劃研究提供了重要計算依據和理論基礎。

［1］ S.S.Makhanov，S.A.Ivanenko.Grid generation as applied to optimize cutting operations of the five-axis milling machining.Applied Numerical Mathematics.46(2003):331-351

［2］ 李發致，衛原平，普令濤.曲面造型方法在工程中的應用［J］.計算機輔助設計與制造，2008(2):15-18

［3］ Riesenfeld，R.F..Applications of B-spline approximation to geometric problems of CAD.Ph.D Thesis，Syracuse University，1998

［4］ Gordon，W.J.and Riesenfeld R.F..Bernstein-Bezier methods for the computer-aided design of free-form curves and surfaces.Journal of the Association for Computing Machinery，Vol.21，No.2，1999:293-310

［5］ 施法中.計算機輔助幾何設計與非均勻有理B樣條［M］.北京:高等教育出版社，2001:212-214

［6］ 朱心雄.自由曲線曲面造型技術［M］.北京:科學出版社，2000:122-128

［7］ 閻長罡，賈國高.基于UGNX4_0整體葉輪的曲面造型研究［J］.大連交通大學學報，2009，30(9):6-10

［8］ Gerald Farin.CAGD曲線曲面［M］.北京:科學出版社，2006:235