基于剪力橋路建立不同載荷與應變的力學方程*

雷曉波，張 強，劉 濤，郭海東

(中國飛行試驗研究院 發動機所，陜西 西安 710089)

0 引言

在航空工程上，存在大量的圓軸、薄壁圓筒，這些軸類零件承受著彎矩、扭矩以及軸向拉壓力等復雜載荷［1］。在軸類零件強度校核以及測量各種載荷的大小時，需要在軸表面貼應變片來測量對應的載荷大小。在航空發動機推力銷標定試驗時，需要精確測量彎矩載荷、剪力載荷、拉壓載荷甚至扭轉載荷［2］，如何組橋精準的測量不同載荷、建立應變與載荷方程是應變載荷測量中需要解決的問題［3-4］。

1 不同載荷下直角應變花應變正負判斷

如圖1所示，假設圓軸同時受到拉力P、彎矩M、扭矩T和剪切力F四種常見載荷，由于測量扭矩和剪切力的需要，需要取2對直角應變花，每支應變片沿與軸線成45°方向粘貼，并位于圓軸的對面，如圖1所示。

圖1 圓軸復雜載荷下受力示意圖

在應變組橋時，正確判斷應變片的應變正負是重要的環節，本文對工程上常用到的拉壓、扭轉、剪切力和彎矩載荷引起的應力應變正負進行分析總結。

1.1 拉力引起的應變正負判斷

假設P為拉力，則軸向應變為正(伸長)，分解到 a、b、c、d 應變片上則有 a、b、c、d 應變均為正，記作 +εp。

1.2 扭矩引起的應變正負判斷

圖2 a、b、c、d應變片扭矩應變正負判斷

首先判斷同一側a、b應變片的正負。如圖2(a)所示，在應變片附近建立一微單元體，進行平面狀態下的應力應變分析。其x軸正向指向紙面右側，y軸正向指向垂直向上。在扭矩的作用下單元體左側面會產生向下的剪切應力τxy，根據切應力互等定理，可以判斷出左右上下四個面的切應力方向，其中a方向將沿應變片伸長，記作+εT，b方向將沿應變片壓縮，則為-εT。

c、d應變片的正負可以以圖2(b)來說明。由于從紙里往之外看和之外往紙里看會不同，導致理解混淆，為了便于工程上貼片組橋，經實踐發現從紙外往紙里看便于理解。從紙外往紙里看，由受力變形分析可以看到:d應變片線應變為負，記作-εT，c線應變為正，記作+εT。

1.3 剪切力引起的應變正負判斷

純剪力F引起的應變與扭矩具有相似性，都會產生切應變，但正負會出現區別，本文依然利用微單元對應變正負進行判斷。

當微單元左側受到向下的剪力時，根據切應力互等定理有圖3(a)受力圖，可知a應變片將會伸長，記作+εF，b應變片則為-εF。依然從紙外往紙里看，可以得到圖3(b)所示的受力圖，微單元左側受向下剪力，則可以得到四個剪力的方向，d應變片為正應變，記作+εF，c應變片為負，記作-εF。

圖3 a、b、c、d應變片剪切應變正負判斷

1.4 彎矩引起的應變正負判斷

為了精準測量彎矩，應該在遠離中型層的表面貼應變片，其中a和b應變片位于中性層凸面側(變形時)，c和d應變片位于凹面側。彎矩M引起的應變表現為線應變伸長壓縮，其中位于中性層凸面側表現為伸長，凹面側表現為受壓［5］。容易得知a和b應變片應變為正，記作+εM，b和c應變片應變為負，記作-εM。

根據上面的統計，現將各載荷應變正負列舉如表1。

表1 各載荷下應變正負判斷表

2 利用應力摩爾圓推導載荷表達式

2.1 建立拉壓力與應變關系式

根據表1的正負關系，利用全橋來測量拉力P的大小。將a和b應變片串聯接入到AB端，將c和d應變片串聯接入到CD端，這樣可以同時消除扭矩、剪力和彎矩的影響，同時全橋可以消除溫度的影響。

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下面來分析拉力與線應變之間的物理關系，在分析應變與物理量之間的數學關系時，利用應力摩爾圓分析，形象且較容易得出關系式，而利用應變摩爾圓則麻煩，這是因為橫向效應或者泊松比的存在，會導致互相垂直方向的線應變出現干擾［6-7］。

繪制摩爾圓最關鍵的是要找到2個不同方向上(一般找互相垂直的方向)線應變及切應變的比值。在拉力作用下軸向方向(x方向)是主應力方向，應力坐標為(σP，0)，平行截面方向(y方向)上主應力為零，且無切應力存在，應力坐標為(0，0)。根據應力坐標可以得到圖4的摩爾圓。

圖4 拉力應力摩爾圓

a和d應變片方向與x軸正向夾角為45°，且為逆時針旋轉，那么在摩爾圓上從σmax上逆時針旋轉90°，即為a和d應變片處應力大小，可以看出正應力為σP/2，同理c、d都與軸向呈45°夾角，正應力也為σP/2，帶入平面胡克定理有如下公式:

其中E為楊氏模量，μ為泊松比，A為截面面積。同理 εPb、εPc、εPd都可表述為式(1)。

2.2 建立扭矩與應變關系式

根據表1可以得知，將 a、b、c、d依次接入 AB、BC、CD、DA端可以將拉力、剪切力和彎矩的效應抵消，只反映扭矩的變化。

圖5 扭矩應力摩爾圓

取a和b應變片貼片處的微單元，由于扭矩產生純剪切，在軸向方向和平行截面方向無正應力存在，只存在成對的切應力。根據圖2可知，軸向方向的G點應力坐標為(0，-τT)，平行截面方向處應力坐標為(0，τT)，根據兩點可以繪制出摩爾圓，如圖5所示。G點逆時針旋轉90°即可得到a應變片的應變坐標(τT，0)，G點順時針旋轉即可得到b應變片的應變坐標(-τT，0)。c和d應變片貼片處的微單元也如圖2所示，其中在軸向方向處的S點應力坐標為(0，τT)，S點順時針旋轉90°即可得到c點的應變坐標(τT，0)，S點逆時針旋轉90°即可得到d點的應力坐標(-τT，0)。

根據胡克定理有

其中Wp為軸抗扭截面模量。

2.3 建立剪切力與應變關系式

可以由表 1得知，將 a、b、c、d依次接入 AB，BC，DA和CD橋路中，組成全橋，即可消除拉力、扭矩和彎矩的影響。

圖6 剪切力應力摩爾圓

依照扭矩摩爾圓的繪制原理可以得到圖6所示的剪切力的摩爾圓，容易得到a/d的應力坐標(τF，0)，b/c的應力坐標為(-τF，0)。

根據胡克定理有:

帶入剪切力與切應力公式最終可得到剪切力為:

其中AF為剪切面積。

2.4 建立彎矩與應變關系式

為了精準測量彎矩，應該在遠離中型層的表面貼應變片，其中a和b應變片位于拉伸側，c和d應變片位于壓縮側。測量彎矩的橋路較多，在本文半橋采用直角片組成全橋，以便對摩爾圓有深入理解。將a和b應變片串聯接入AB線路，c和d應變片串聯接入BC線路，由于在遠離中性層貼片，剪切力造成的應變為零。

彎矩造成的應力與單向拉伸應力相同，如圖7所示，由拉伸側摩爾圓主應力方向逆時針旋轉90°即可得到a應變片的應力坐標(σM/2，τ)，順時針旋轉90°即可得到b應變片的應力坐標(σM/2，-τ)，壓縮側應力摩爾圓如圖7左側所示，壓縮側主應力方向順時針旋轉90°即可得到c應變片的應力坐標(-σM/2，τ)，逆時針旋轉90°即可得到d應變片的應力坐標(-σM/2，-τ)。

圖7 彎矩應力摩爾圓

根據廣義胡克定理可得:

其中:Wz為軸抗彎截面模量。

最終計算出來的彎矩為:

3 結論

本文詳細的分析了各種載荷下直角應變片應變的正負問題，并對復雜載荷下如何搭組橋路，消除其他載荷的影響，精確測量出單一載荷大小進行了詳細分析;在此基礎上利用應力摩爾圓建立起應變與物理量之間的力學關系，對摩爾圓的繪制做了詳細的說明。這些經驗總結對于應力應變測量研究具有重要的應用意義。

［1］ 湯阿妮，周占廷，曹景濤.起落架載荷實測應變校準技術［C］.第27屆ICAS國際航空技術大會，2010

［2］ 張福澤.飛機載荷譜編制的新方法研究［J］.航空學報，1998，19(5):518-524

［3］ 蔣祖國.飛機載荷—環境譜的編制［J］.航空學報，1994，1:76-81

［4］ 雷曉波，張強，張永峰.航空發動機推力銷載荷計算及應變分析［J］.機械研究與應用，2014，27(4):32-34

［5］ 茍文選.材料力學(Ⅰ)［M］.西安:西北工業大學，2000

［6］ 李其漢，胡璧剛.航空發動機強度振動測試技術［M］.北京:北京航空航天大學出版社，1986

［7］ 鄭秀瑗，謝大吉.應力應變電測技術［M］.北京:國防工業出版社，1985