基于動態(tài)利率模型的利率衍生品定價分析

周闖洋

(浙江大學 經(jīng)濟學院，杭州 310027)

0 引言

利率衍生品是指價格依賴利率變動的金融產(chǎn)品，其價值主要依賴于利率變動。關(guān)于利率衍生品定價的核心問題在于如何計算利率的變動，而隨機過程能夠?qū)⒗实膭討B(tài)估算過程轉(zhuǎn)變?yōu)楝F(xiàn)實，方便利率衍生品定價。利率衍生品是控制和管理利率風險的重要工具，有利于維護利率穩(wěn)定，加快了我國利率市場化進程。因此，研究利率衍生品的定價具有一定的現(xiàn)實意義。

國內(nèi)一些學者現(xiàn)在采用動態(tài)利率模型對利率衍生品進行定價預(yù)測常用的就是BDT模型，雖然BDT模型在利率衍生品定價過程中反映了動態(tài)性，但是該模型本身就對利率變動做了假設(shè)，即受單一期限的短期利率影響，這就難免使利率波動過程受到特征約束。基于此，筆者嘗試構(gòu)建新的動態(tài)利率模型，對利率衍生品的定價進行定量分析。本文主要在BDT模型的基礎(chǔ)上，采用Hull和White（1993）的Hull-White模型，引入一種依賴于時間變化的參數(shù)變量，對利率衍生品進行定價分析。

1 動態(tài)利率模型的設(shè)計

1.1 BDT模型

BDT模型的先前假設(shè)條件是短期利率的波動情況隨著時間的變化而發(fā)生變化，反映利率變化趨勢的變量也受到當前利率水平的影響。于是，BDT模型具有反映利率期限結(jié)構(gòu)瞬時波動特征的優(yōu)勢，其模型的思想為：設(shè)一組到期期限不盡相同的零利息國債的初始期限結(jié)構(gòu)是給定的，即到期收益率和波動率給定，根據(jù)這些數(shù)值來測算未來短期利率的變動趨勢。BDT模型還具有下列假設(shè)：任意債券價格的變動受單一期限的短期利率影響，且這個利率服從正態(tài)分布；任意債券的單期期望收益率相同；不存在交易費用；每一期利率的上升轉(zhuǎn)移概率都是1/2。

根據(jù)上述假設(shè)，BDT模型表示如下：

其中，σ’表示后一期的短期利率r在瞬時的標準差；σ’/σ表示局部波動率，即短期利率的波動率隨著時間的變動而發(fā)生變化；θ(t)表示由當期的無風險利率收益率決定的成分；dw則表示標準化后的正態(tài)隨機擾動項。

BDT模型一般具有二叉樹的結(jié)構(gòu)特征，具體如圖1所示。

圖1 BDT模型的二叉樹結(jié)構(gòu)

1.2 Hull-White模型

Hull和White于1993年提出了一種擴展的短期利率結(jié)構(gòu)模型，通過引入一類動態(tài)性參數(shù)變量，使得模型對于利率波動性能夠較好地反映出來。本文對該模型進行適當修正，主要思想是在短期利率模型的基礎(chǔ)上引入一種依賴于時間的參數(shù)變量，使得模型具備均值回復(fù)的特征。如此，Hull-White模型便能夠更好地對利率期限結(jié)構(gòu)進行擬合。

Hull-White模型可表示如下：

其中，θ(t)表示均值的回復(fù)水平，由當期的無風險利率曲線所決定；α表示均值回復(fù)的速率大小，r(t)表示在t期的瞬時利率，dz表示標準化后的正態(tài)隨機擾動項，σ表示波動率。根據(jù)式（2）可知，該模型的波動結(jié)構(gòu)由均值的回復(fù)速率以及波動率兩個變量決定，由此，利用該模型可以反映短期的利率波動結(jié)構(gòu)特征。根據(jù)Hull和White的方法，可以得到債券價格的微分方程，從而得出期限為T的債券在t期的價格為：

2 利率衍生品定價的實證分析

2.1 中國銀行間市場和交易所市場國債定價的實證分析

首先，分別采用BDT模型和Hull-White模型對我國銀行間和交易所市場的國債進行定價，然后通過對比定價結(jié)果，分析利率期限結(jié)構(gòu)的選擇情況。

（1）樣本數(shù)據(jù)選取

首先，對當前的初始利率結(jié)構(gòu)進行確定。考慮到當前國內(nèi)債券市場的分離程度較高，銀行間市場即便在衍生品品種和規(guī)模方面都有優(yōu)勢，但柜臺交易方式受債券市場分離的約束，導(dǎo)致利率期限結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)存在失真可能。所以，本文將分別對銀行間市場交易的國債和交易所市場交易的國債進行定價，而且利率期限結(jié)構(gòu)的選擇方面，采用相應(yīng)債券分離出的利率期限結(jié)構(gòu)。

本文從銀行間市場和交易所市場2014年1月10日的債券中選擇交易次數(shù)和交易數(shù)量較占優(yōu)的10支債券作為目標債券，其中銀行間與交易所市場各五支。根據(jù)BDT模型和Hull-White模型，對銀行間市場國債定價選用銀行間國債收益率曲線，對交易所市場國債定價選用交易所國債收益率曲線進行分析，具體數(shù)據(jù)見表1。

表1 銀行間市場、交易所市場2014年1月10日定價目標債券

（2）模型參數(shù)設(shè)定

利用BDT模型與Hull-White模型進行參數(shù)設(shè)定，其中BDT模型需要確定與利率期限結(jié)構(gòu)相匹配的收益波動率期限結(jié)構(gòu)，而Hull-White模型的參數(shù)估計需要確定瞬時利率均值α回復(fù)變量及波動率σ。根據(jù)中國債券信息網(wǎng)及貨幣市場交易情況統(tǒng)計數(shù)據(jù)，7天回購利率在成交量以及參與率等方面都有一定得比較優(yōu)勢，且保持一定的動態(tài)特征。本文基于這一點，選擇2014年1月1日以前的322個交易日的7天回購利率，同時排除未有交易的數(shù)據(jù)，最后得到298個數(shù)據(jù)。通過極大似然估計，得到BDT模型和Hull-White模型的參數(shù)設(shè)定結(jié)果如表2所示。

表2 BDT模型和Hull-White模型的參數(shù)設(shè)定結(jié)果

（3）利率三叉樹的構(gòu)造

在確定利率期限結(jié)構(gòu)及相關(guān)參數(shù)后，利用Hull-White模型來構(gòu)建利率三叉樹。假定利率三叉樹的時間間隔為Δt，利率間隔為Δr，節(jié)點(i,j)分別表示 t=iΔt和 r=r0+j Δr。一般情況下，當滿足Δr=σ(3*Δt)1/2時，誤差達到最小。通過分析可知，利率三叉樹可能出現(xiàn)三種結(jié)構(gòu)，具體的利率三叉樹結(jié)構(gòu)及相應(yīng)的概率分布見圖2。由于利率大小存在邊界，不可能無限擴大，因此這里根據(jù)模型參數(shù)，設(shè)定j的上邊界為0.168/(aΔt)。

圖2 Hull-White利率三叉樹結(jié)構(gòu)

（4）實證結(jié)果

根據(jù)以上數(shù)據(jù)及參數(shù)，分別采用BDT模型與Hull-White模型對銀行間市場、交易所市場的5種債券進行定價估計，其中定價過程由Matlab 7.0編程計算，結(jié)果如表3所示。

表3 銀行間市場、交易所市場各5種債券的定價結(jié)果及相對誤差

由表3結(jié)果可知，對于每一種債券而言，無論是采用BDT模型還是Hull-White模型，其最終定價估計結(jié)果的相對誤差絕對值都低于2%。對比兩個債券市場的結(jié)果可知，無論是哪種模型，銀行間市場債券定價的相對誤差總體上高于交易所市場。與此同時，采用BDT模型和Hull-White模型都能良好地實現(xiàn)國債的定價估計。對比BDT模型和Hull-White模型的估計結(jié)果又可發(fā)現(xiàn)，在10種債券中，有8種債券采用Hull-White模型的相對誤差絕對值低于采用BDT模型的相應(yīng)誤差絕對值。由此筆者認為，總體上采用Hull-White模型對我國國債進行定價要優(yōu)于BDT模型。比較兩種模型的原理可以發(fā)現(xiàn)，Hull-White模型采用的是三叉樹方法構(gòu)建利率樹，因此對瞬時利率的估計更為精準，而且Hull-White模型的均值回復(fù)速率僅取決于利率波動率，因此理論上Hull-White模型對利率衍生品的定價結(jié)果更為精確。

2.2 可回售債券定價的實證分析

可回售債券與利率波動具有密切關(guān)系，這種債券具有如下特征：當利率上升時，其價格將降低；當利率下降時，其價格將提高。近年來，國內(nèi)經(jīng)濟進入“新常態(tài)”，經(jīng)濟增長速度放緩，投資后勁呈現(xiàn)不足，央行多次采取降低利率的措施以刺激經(jīng)濟。在這種情況下，市場上降息預(yù)期較大，回售債券的行為可能不熱，由此可回售債券可能出現(xiàn)明顯跌價。因此，本文采用Hull-White模型，對國內(nèi)可回售債券進行定價，觀察是否真的存在跌價現(xiàn)象。

仍采用三叉樹方法進行估計。設(shè)PB為一般債券在某個樹節(jié)點的價值，PP為可回售債券的價格，r為當期利率水平，C為在該節(jié)點處的選擇權(quán)價值，X為債券回售的執(zhí)行價。一般理性的可回售債券持有人將根據(jù)價值最大化原則進行定價，每個節(jié)點處可回售債券的回售權(quán)價值計算如下：

本文選取了2010年以來國家開發(fā)銀行發(fā)行的5只可回售金融債券，分別是2010年第二十五期金融債券、2010年第三十四期金融債券、2011年第八期金融債券、2011年第五十二期金融債券、2011年五十五期金融債券，分別采用Hull-White模型進行定價估計。其中，模型參數(shù)的設(shè)定參照前面結(jié)果，5只可回售債券的定價估計結(jié)果如表5所示。

由表5可知，采用Hull-White模型進行定價估計，得

表4 國家開發(fā)銀行5只可回售金融債券債券的基本數(shù)據(jù)

表5 國家開發(fā)銀行5只可回售金融債券債券的定價結(jié)果

到的5只可回售債券的估計價格都非常接近100，即與原債券的發(fā)行面額基本相同。一方面，該結(jié)果驗證了采用Hull-White模型進行定價估計的可靠性；另一方面也反映了近期國內(nèi)債券市場發(fā)行的可回售債券的價格在一定程度上是趨于合理的。

3 結(jié)論

本文采用BDT模型和Hull-White模型，選取國內(nèi)債券進行定價實證分析，從而研究債券這一利率衍生品的定價問題。由于BDT模型和Hull-White模型都是基于動態(tài)利率所構(gòu)建的模型，因此都能體現(xiàn)利率的波動特性。

首先，通過對我國銀行間市場和交易所市場的幾只債券進行實證分析可知，銀行間市場債券定價的相對誤差波動總體上高于交易所市場，這體現(xiàn)了交易所市場債券定價的平穩(wěn)性；同時，采用Hull-White模型對我國國債進行定價要優(yōu)于BDT模型，這體現(xiàn)了Hull-White模型在債券定價方面的優(yōu)越性。

其次，再次采用Hull-White模型對可回售債券定價進行實證，結(jié)果反映近期國內(nèi)債券市場發(fā)行的可回售債券的價格在一定程度上是趨于合理的。即便近年來我國進入“新常態(tài)”，降息預(yù)期普遍存在，可回售債券跌價的可能性較大，但由于國內(nèi)債券市場并不發(fā)達，市場參與度不高，因此“新常態(tài)”下國內(nèi)可回售債券的跌價可能性仍然較小。

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