淺談微積分思想及其在經濟學中的應用

許天慧

（渤海大學數理學院，遼寧 錦州 121000）

數學作為科學的語言，不僅有著嚴謹的理論性，還具有較強的實踐性。隨著數學學科的發展，其諸多的理論、原理和公式等已經被廣泛地應用到了經濟學、管理學、天文學、理學、工學、醫學等領域，為各個領域和學科的發展提供了科學的分析方法。微積分作為高等數學重要組成部分，在經濟領域中也已得到了廣泛地應用，在幫助經濟主體實現成本最低化、利潤最大化、貯存最優化等方面發揮出了重要作用。在本文中，即以微積分思想為研究出發點，對其在經濟學中的重要性及典型應用案例進行了分析。

1 微積分思想概述

微積分是高等數學中研究函數的微分和積分以及相關概念的一個重要分支部分，同時，微積分也是高等數學中支撐其他分支學科、為其他學科提供計算方法的重要基礎。微積分建立在實數、函數和極限等概念的基礎之上，主要包括極限連續、可微分和積分等研究內容。微積分思想核心是“微元”和“無限逼近”。其中，微分學的核心思想是“無限細分”，積分學的核心思想是“無限求和”。

1.1 微分的基本思想

微分是對函數的局部變化率的一種線性描述，其基本思想的核心在于分析函數在足夠小的范圍內，能否來用線性函數來進行近似等同表示。其幾何意義可以這樣表述：設y=f（x）為是實函數，△x是函數中點A在橫坐標上的增量，于此對應的△y為點A在縱坐標上的增量，dy是函數在點A的切線對應△x在縱坐標上的增量，當|△x|取值足夠小時，|△y-dy|要比|△y|得多（高階無窮小），因此在點 A 附近，就可以用切線段拉近似替代函數曲線。

從簡單直觀的角度來看，微分思想指的是：如果函數在足夠小的范圍內，可以用其他的線性函數來表示的話，那么函數在這個足夠小的范圍內的函數圖形就可以近似看作成一段直線。通過微分能夠使線性函數的數值計算結果座位原函數的數值近似值，這就是運用微分方法進行近似計算的基本思想?？梢哉f，借助微分的近似代替，使對復雜函數的研究在局部上得到了簡化。

1.2 積分的基本思想

微分是對函數的求導運算，而積分則可以看作是微分的逆運算，即他它是在得知函數的導函數的基礎之上求解原函數的過程，積分分為不定積分和定積分兩個基本類別。

1.2.1 不定積分：假設 F（x）是函數 f（x）的一個原函數，則函數f（x）對應的所有原函數則為F（x）+C（C 為任意常數），這個式子叫做f（x）的不定積分，求解原函數的過程，即為積分的過程，記作為：∫f（x）dx=F（x）+C。

1.2.2 定積分：假設實函數在區間［a，b］上連續可積，則其定積分可以表示為：，如果在區間［a，b］，函數 f（x）始終取值為正的話，那么可以將函數在這一區間上的定積分看作是：在坐標平面上，由（x，f（x））所構成的曲線與x軸，以及x=a和x=b這兩直線所圍成的面積。

2 微積分思想在經濟學中的重要性

在經濟學眾多問題的分析中，微積分都扮演著重要的工具角色。微積分通過分析求解變量的變化規律，來使經濟學問題的研究更為地簡化，它不僅使經濟學的研究范圍變得更寬擴，還為經濟學研究提供了深刻的思考方式和科學的分析方法，在當前分析經濟問題研究中發揮出來愈來愈重要的作用。

2.1 拓寬了經濟學的研究范圍

經濟學是一門講求實踐性的學科，研究的內容十分豐富。然而，任何學科的研究只有在其特定的領域中運用特定的方法才能依據實際情況或者假設條件得出準確的結論，超出這一范圍，便會影響結論的準確性和科學性。在以往大多數經濟學問題中，大多是從經濟學特有的研究視角出發去研究，缺乏學科交叉性，由此得出的解決和作出的決策存在一定的局限性，而將微積分的理論引入到經濟學之中，不僅會使經濟學的研究范圍得到有效拓寬，也能夠借助數學工具，與其他學科建立起研究橋梁，實現更加深層次地交叉研究，進而通過微積分的分析來把握經濟活動的本質和規律。

2.2 為經濟學提供了科學的分析方法

在經濟學中，常常需要為企業分析資源最佳資源配置、經濟效益最大化等問題，在過去，大多依靠企業管理者憑借個人經驗作出選擇。而隨著微積分思想與經濟學的交叉發展，經濟學中的這些問題都可以轉化為相應的數學問題。例如，在經濟學的最優化問題中，從經濟學角度相當于經濟活動偏離“頂峰”位置時，所獲得的效益就會下降，而將一問題轉化為微積分的問題后，就滿足了費馬定理的運用條件，即可以將“頂峰”位置作為極值點，在其上的導數為零，這樣就可以順利的求解。

2.3 使經濟學中的決策更加嚴謹和準確

經濟學的主要研究內容是幫助經濟體或者組織實現資源優化配置和社會效益最優化，其研究的對象常常涉及經濟制度、宏觀政策、社會心理和人們的價值觀念等等，但作為社會科學的經濟學，很難將這些研究對象進行抽象量化進而分析，而數學工具的引入，則可以為社會科學的問題分析帶來科學的模型和嚴謹的計算公式。微積分作為重要的數學工具，可以確保經濟問題在計算分析過程中的更加地嚴謹，得出的結論也更加地準確，從而使經濟學的研究更加全面和深入。

3 微積分思想在經濟學中的應用實例

隨著社會的發展，在經濟領域中所出現的問題也呈現出了多樣化和復雜化的發展趨勢，由此給經濟學的研究帶來更多的挑戰，因此，將微積分思想更深入和廣泛地運用于經濟學問題的定量分析十分地必要，這不僅能夠為經濟主體的企業經營者提供客觀、精確的數據，為企業經營者科學決策提供量化依據，還能夠促進經濟學理論的不斷發展。具體來說，在經濟學中，微積分思想被應用于許多方面問題的分析求解，下面，本文將以幾個典型的應用實例，來談談微積分思想在經濟中的應用。

3.1 微分思想在利潤最大化問題中的應用

在微分學中，通過對已知的函數進行求導后，就可以得到原函數的導數，即邊際函數。而在經濟學之中，邊際概念是十分重要的經濟學命題之一，通常在經濟學中表示經濟變量的變化率。在微觀經濟學中的理論認為，當經濟主體的產量接近或等于邊際收入和邊際成本時，企業這時所能獲得的利潤為最大。在實際的企業中，企業的管理者常常通過確定邊際成本進而來確定所需資料的成本決策。而利用微分的思想，即可將企業確定生產量而實現利潤最大化的問題轉化為微分方程計算，使問題得到簡化。

例：某生活用品生產企業的生產成本C和產量Q之間的函數關系為C（Q）=2Q+100（元），企業的收入R與產量Q函數的函數關系為R（Q）=262Q-Q2（元）。 試問，當企業生產多少件產品時，企業的利潤L（Q）能夠達到最大？

對于這個問題，可運用微分的思想來求解：

L（Q）＝R（Q）-C（Q）＝260Q-Q2-100

令 L'（Q）＝0，得 Q＝130（件）

驗證：由于 L″（Q）＝-2＜0，所以當生產 130 件時，企業將獲得最大利潤，為16800元。

3.2 積分思想在利潤最大化問題中的應用

如前文所述，積分是微分的逆運算，而在經濟學中，積分思想大多應用于通過已知函數積分來求解原函數。在如今經濟學與社會學交叉融合發展的趨勢下，諸如存款貸款問題、醫療保險問題、金融利率等問題都需要利用積分思想來進行分析和求解，積分思想的重要性越來越凸顯出來。

例：某企業生產一款產品的邊際收入函數為R'（x）=9-x（萬元/噸），固定成本為 1 萬元，邊際成本函數為（萬元/噸），求企業取得最大利潤時的產量和利潤分別是多少？

由上述分析可以得出，企業的總收入函數為：

企業的總成本函數為：

所以企業產量為4時，企業獲得最大利潤9萬元。

4 結語

在當今的學科交叉研究越來越深入的趨勢下，微積分思想與經濟學的研究也更加緊密地結合了起來，當前，微積分在經濟學領域中的應用還有很多的實例，通過微積分思想的引入，不僅將經濟學問題轉化為了量化的數學問題，使的問題的求解過程更加簡單，同時還為經濟學問題的研究有了全新的視角，拓寬了經濟學的研究領域。當然，在本文中，僅是對微積分思想進行了簡單的介紹，并對經濟學中兩個典型的實例進行了解析，在現實的生活中，這類的問題還有很多，本文僅是簡單地介紹，希望通過本文的研究能夠幫助人們了解微積分思想在經濟學中的重要作用，并且希望通過本文的研究能夠促進微積分思想在更多的學科中得到更廣泛而深入地應用。

［1］趙軍健.微積分在經濟學中應用教學探索及實例研究[J].科技風,2014(16).

［2］于河.淺談微積分在經濟分析中的應用[J].遼寧對外經貿學院,2014(20).

［3］梁海濱.微積分知識在生活中的應用[J].遼寧對外經貿學院,2013(30).