函數的單調性與導數之含參問題教學設計

許小華 鄭婧婧

導數在新課標卷中以壓軸題的形式考查，涉及函數的切線、單調性、極值、最值、含參問題的分類討論、求參數的取值范圍等問題，其中以含參問題求函數單調性和最值為學生的難點和困擾點。因此，在新課學習中，學生學習了運用導數求函數的單調性之后，筆者設計了一節含參函數的單調性問題，以此來引導學生加深對導數的理解并且掌握含參問題的解決。

一、教學背景與教學目標

學生在學習集合與函數章節時經常遇到含參問題，需要進行分類討論，因此對含有參數的一類問題并不陌生，但是對于含有參數的單調性問題，何時需要分類討論，以及如何進行分類討論并做到不重不漏并不清楚，也沒有形成解題系統，因此有必要針對性強化。

本節是在學生學習掌握了運用導數判斷函數的單調性的基礎上，引導學生運用導數對含有參數的函數求解其單調性，使學生掌握解決一類問題的思想方法并鞏固已學知識。

二、教學設計

1.復習回顧

求下列函數的單調性，畫出導函數的圖象，并說出導函數與函數的單調性的關系

（1）y=x3+3x （2）y=sinx-x，x∈（0，π）

（3）y=x2-2x+4 （4）y=x3-x2-x （5）y=x-lnx

設計意圖：復習上節課的內容，強化利用導函數圖象分析原函數單調性的能力，為含參問題的解決做鋪墊

2.探究新知

問題1：求下列函數的單調性

① ②f（x）=x3-3ax

③f（x）=x3-3ax2 ④f（x）= 1-x -alnx

設計意圖：在復習回顧的基礎上，學生能夠自然想到遇到參數何時需要分類討論，并且如何進行分類討論，使學生在處理分類討論問題時能夠自然地解決，而不是死記硬背。

以其中一個的解決過程為例：

由題知，函數的定義域為（0，+∞），

當a≥0時，f'（x）<0，可知函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減

當a<0時，函數f（x）在（0，- 1-a ）上單調遞減;在（- 1-a ，+∞）上單調遞增

歸納：解決含參問題的函數單調性問題時，注意結合導函數的圖象，從而清楚何時需要分類討論以及如何分類討論，對參數的討論要做到不重不漏。

3.鞏固提升

（2013浙江）已知a∈R，

函數f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax.

若a=1，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程.

若|a|>1，求f（x）在閉區間[0，2|a|]上的最小值.

三、教學反思

本節課是在學生基本掌握運用導數分析函數單調性的基礎上進行的拓展學習，一方面為后續的含參問題作出基礎的鋪墊，另一方面鞏固強化學生利用圖形解決抽象問題的能力。在實際教學中，遇到不少學生對含有參數的問題比較懼怕，一方面是經驗比較少，另一方面學生沒有好的方法來應對這類問題，因此在教學過程中要根據考試的要求適當地進行含有參數問題的解題教學，重在培養學生掌握數形結合思想和分類討論思想，弱化學生對參數問題的懼怕心理，強化學生用自然的思路思考和解決數學問題的能力。

作者簡介：

許小華（1983～），男，陜西漢中人，研究方向：高中數學。