基于GARCH模型對上證指數(shù)收益風(fēng)險波動的實證分析

王旋 余顯賓 周漫桐

摘要：金融市場的不確定性導(dǎo)致價格波動的隨機(jī)性，而研究波動的隨機(jī)性不僅可以支持金融理論，也對金融實踐有重大意義。本文以上證指數(shù)的日收益率為研究對象，采用EVIEWS通過建立ARCH類模型對上證指數(shù)日收益率進(jìn)行實證分析，淺釋股指收益率與風(fēng)險之間的關(guān)系。結(jié)果表明，GARCH（1，1）模型能夠較好的擬合上證股票收益率的波動特征，如“高峰厚尾”、集聚等現(xiàn)象，而GARCH（1，1）-M模型在一定程度上能較好的表現(xiàn)出風(fēng)險與收益率之間的關(guān)系。同時也驗證了滬市在中長期內(nèi)不存在杠桿效應(yīng)。

關(guān)鍵詞：GARCH模型;GARCH-M模型;上證指數(shù);杠桿效應(yīng)

1.引言

本文以上證指數(shù)的日收益率為研究對象，通過建立ARCH類模型對上證指數(shù)日收益率進(jìn)行實證分析，淺釋股指收益率與風(fēng)險之間的關(guān)系。結(jié)果表明，GARCH（1，1）模型能夠較好的擬合上證股票收益率的波動特征，而GARCH（1，1）-M模型在一定程度上能較好的表現(xiàn)出風(fēng)險與收益率之間的關(guān)系。同時也驗證了滬市在中長期內(nèi)不存在杠桿效應(yīng)。

2.樣本選擇與處理

上證綜合指數(shù)能反映上證指數(shù)的概貌和運行狀況，能作為投資評價尺度及金融衍生產(chǎn)品基礎(chǔ)的基準(zhǔn)指數(shù)。故本文選取上證綜合指數(shù)作為研究對象，截取自2005年1月至2012年12月共計1939個樣本點，以每日收盤價計算其對數(shù)收益率如下：

Rt=100×（lnpt-lnpt-1）

其中，pt，pt-1分別表示上證指數(shù)在t和t-1天的指數(shù)值，Rt表示第t天的對數(shù)收益率。以p代表上證綜合指數(shù)的每日收盤價，對指數(shù)取對數(shù)記作：lnp，對數(shù)一階差分（收益率）記作：R。

本文數(shù)據(jù)來源于“搜狐證券”每日收盤指數(shù)，計量分析工具為EVIEWS6.0。

3.模型建立

3.1 平穩(wěn)性檢驗

從上證180指數(shù)對數(shù)收益率時間序列圖中，可觀察到對數(shù)收益率波動的“集群”現(xiàn)象：波動在一些時間段內(nèi)較小（例如從第500個觀測值到第700個觀測值），在有的時間段內(nèi)非常大（例如從第100個數(shù)據(jù)到第250個數(shù)據(jù)）。

圖1上證180指數(shù)對數(shù)收益率時間序列圖

在現(xiàn)代資本市場理論的基本假設(shè)中，一個核心假設(shè)是收益率序列式平穩(wěn)的且服從正態(tài)分布[6]。如果收益率序列非平穩(wěn)或非正態(tài)，根據(jù)統(tǒng)計方法做出的分析和預(yù)測具有很大的偏差。因此，保證股票收益率序列的平穩(wěn)性正態(tài)性和具有重大意義。

利用Eviews6.0得到收益率序列的正態(tài)分布檢驗結(jié)果（圖2）：

圖2正態(tài)性檢驗結(jié)果

由圖可知，上證指數(shù)對數(shù)收益率序列均值（Mean）為0.031064，標(biāo)準(zhǔn)差（Std.Dev.）為1.785656，偏度（Skewness）為-0.310143，小于0，說明序列分布有長的左拖尾。峰度（Kurtosis）為6.175179，高于于正態(tài)分布的峰度值3，說明收益率序列具有尖峰和厚尾的特征。Jarque-Bera統(tǒng)計量為845.1714，P值為0.00000，拒絕該對數(shù)收益率序列服從正態(tài)分布的假設(shè)。

平穩(wěn)性檢驗的方法主要有非參數(shù)檢驗、自相關(guān)檢驗以及單位根檢驗。單位根檢驗（ADF）是時間序列分析中檢驗序列平穩(wěn)性的有效方法之一，在金融實證分析中也被廣泛運用。本文運用ADF檢驗法來檢驗上證指數(shù)收益率序列的平穩(wěn)性（見表1）。

表1上證指數(shù)收益率r序列單位根檢驗結(jié)果

t-StatisticProb.*

Augmented Dickey-Fuller test statistic

-43.863410.0001

Test critical values：1% level-2.566156

5% level-1.940987

10% level-1.616589

從表1看出，在1%的顯著性水平下，ADF檢驗的t統(tǒng)計量遠(yuǎn)小于臨界值，因此拒絕原假設(shè)，即表明上證指數(shù)收益率序列不存在單位根，因而是平穩(wěn)序列。

3.2 均值方程的確定

ARCH類模型主要是由兩部分構(gòu)成：均值方程和條件方差方程。因此，對均值方程的設(shè)定是進(jìn)行ARCH模型估計的第一步。首先對上證股票收益率樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，確定均值方程。從表2可以看出，序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)均落入兩倍的估計標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)，前幾期的滯后Q-統(tǒng)計量的對應(yīng)的p值均大于置信度0.05，故序列在5%的顯著性水平上不存在顯著的相關(guān)性。但在滯后4期后，序列的相關(guān)性顯著增強(qiáng)。因此，拒絕自相關(guān)系數(shù)為零的假設(shè)。可以對序列建立自回歸移動平均模型，經(jīng)反復(fù)篩選，對收益率可建立以下序列模型：

Rt=aRt-6+bRt-11+cRt-13+dRt-15+εt

其中，rt為上證股票收益率，a、b、c、d為常數(shù)，εt為隨機(jī)擾動項。利用最小二乘估計可得：

Rt=-0.055825Rt-6+0.053562Rt-11+0.051711Rt-13+

0.064831Rt-15+εt

R2=0.011047DW=1.994449AIC=3.993

SC=3.997259

圖3殘差自相關(guān)圖

圖4上證指數(shù)股票收益率回歸方程的殘差

上述模型的各個統(tǒng)計檢驗都顯著通過，再對殘差序列進(jìn)行分析。由圖3的自相關(guān)圖發(fā)現(xiàn)殘差序列已不存在序列自相關(guān)。因此，用上述模型描述收益率序列的自相關(guān)性是恰當(dāng)?shù)摹Ｓ^察回歸方程的殘差圖（如圖4所示），發(fā)現(xiàn)波動的“成群”現(xiàn)象：波動在一段時間內(nèi)較小，在另一段時間內(nèi)波動又非常大，這說明誤差項可能具有條件異方差性。

3.3 ARCH效應(yīng)的檢驗

在考慮運用ARCH類模型建模前，先檢驗序列是否存在條件異方差。那就需要對均值方程的殘差序列進(jìn)行ARCH-LM檢驗，以驗證收益率序列是否具有ARCH效應(yīng)。檢驗結(jié)果見表2

表2殘差A(yù)RCH效應(yīng)檢驗

F-statistic26.56271Prob.F（3，1916）

0.0000

Obs*R-squared76.66588Prob.Chi-Square（3）0.0000

可以看出，檢驗即使在q=3時，殘差序列的相伴概率也都為0.0000，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于顯著性水平，說明序列都存在高階ARCH（q）效應(yīng)。一個高階的ARCH模型可以用一個低階的GARCH模型代替，此時可考慮采用GARCH（p，q）模型。

4.ARCH類模型的建立及其波動性分析

通過以上ARCH效應(yīng)的檢驗，得知在上證指數(shù)日收益率序列的均值方程（AR模型）的殘差平方序列均存在高階的自相關(guān)。故本文在均值方程（AR模型）的基礎(chǔ)上通過低階的GARCH（p，q）模型來刻畫收益率。其中p是GARCH項的階數(shù)，q是ARCH項的階數(shù)，p，q的選擇是通過赤池信息準(zhǔn)則（Akaike Information Criterion，即AIC）來確定，這里選擇最高階數(shù)為2。表3為滬市各類GARCH（p，q）模型的AIC檢驗。

根據(jù)AIC準(zhǔn)則，GARCH（1，1）的AIC值最小，ARCH項系數(shù)均為正數(shù)，符合GARCH模型建立的基本要求，GARCH（1，1）模型在5%顯著性水平下各參數(shù)檢驗均顯著，故最終選擇GARCH（1，1），認(rèn)為GARCH（1，1）模型可以較好的描述我國上證股票收益率的波動情況，因而建立GARCH（1，1）模型：

xt=mt+εt

εt=htet

ht=ω+αε2t-1+βht-1

et～i.i.d;et～N（0，1）

對該模型進(jìn)行殘差檢驗，從殘差自相關(guān)圖中可以看到，殘差序列不存在自相關(guān)問題。而從ARCH檢驗中看到在滯后12階的情況下p值顯著大于0，故說明殘差序列不存在ARCH效應(yīng)。從圖5 Q-Q圖可看出，殘差序列不服從正態(tài)分布。因此，需要對殘差序列進(jìn)行比較正確的分布描述。一般情況下，當(dāng)大樣本時，t分布給出的概率比正態(tài)分布給出的概率要大。因此，我們用t分布來估計GARCH模型。

圖5Q-Q圖

從圖5（右）可見，除個別觀察值外，殘差序列服從t分布。

在GRACH（1，1）模型建立的基礎(chǔ)上，考慮能否進(jìn)一步進(jìn)行TGARCH或EGARCH模型進(jìn)行建模，考慮是否存在杠桿效應(yīng)。經(jīng)過檢驗后，發(fā)現(xiàn)參數(shù)檢驗不顯著，故說明不存在杠桿效應(yīng)。

5.上證指數(shù)收益風(fēng)險模型分析

金融理論表明具有可觀測到的較高風(fēng)險的資產(chǎn)可以獲得較高的平均收益 [6]。Engle等人提出了GARCH—M模型，用以描述風(fēng)險與收益之間的聯(lián)系。它將條件均值作為條件方差的函數(shù)，也就是作為基礎(chǔ)變量的滯后值的自回歸函數(shù)。在原始ARCH模型基礎(chǔ)上推廣的GARCH模型形式如下：

ri=α0+α1ht+∑airi+εt

εt=htet

ht=ω+αε2t-1+βht-1

et～i.i.d;et～N（0，1）

考慮到股市存在風(fēng)險與收益，故嘗試擬合殘差服從t分布的GARCH（1，1）-M模型，將受益率波動狀況擬合更好，達(dá)到最優(yōu)狀態(tài)。

有表4可知，模型擬合各參數(shù)檢驗均顯著。同時，該模型的AIC值也明顯小于GARCH（1，1）（見附錄），因此，本文可建立的關(guān)于上證股票收益率波動情況的最終模型為GRACH（1，1）-M，殘差服從t分布。估計回歸結(jié)果如下：

用GARCH（1，1）-M模型擬合后得到殘差的ARCH-LM檢驗結(jié)果，F(xiàn)統(tǒng)計量值為0.041184，P值為0.9889，R2值為0.123801，P值為0.9888。因此可以看出收益率序列殘差不存在ARCH效應(yīng)。在GARCH（1，1）-M模型中的ARCH項和GARCH項系數(shù)大于0，滿足模型的非負(fù)約束。其之和（α+β）為0.995328滿足模型是平穩(wěn)的過程。α反映了外部沖擊對股市波動的影響程度，β值大表明波動性對市場走勢變動反映較快，從而傾向于更發(fā)散;則反映了股市波動自身的記憶性，當(dāng)0<β<1時，β值越大說明波動性消減越緩慢且將持續(xù)存在，當(dāng)β>1時，系統(tǒng)本身將會放大前期波動。通常α值會小一些，而β值較大。αβ之和則反映了外來沖擊對系統(tǒng)整體波動的影響的持續(xù)性[7]。

在收益率方程中要包含ht項，是為了在收益率的生成過程中融入風(fēng)險溢價，這是許多資產(chǎn)定價理論模型的基礎(chǔ)。因為預(yù)期較大值的條件標(biāo)準(zhǔn)差與高收益率相聯(lián)系，在這種情況下，ht的系數(shù)應(yīng)該是正數(shù)，上述實證結(jié)果也正如此。在上海股票市場的收益率方程中ht的系數(shù)為0.048584，表明當(dāng)市場中的預(yù)期風(fēng)險每增加一個百分點時，就會導(dǎo)致收益率也相應(yīng)增加0.048584個百分點。這與傳統(tǒng)的風(fēng)險與收益關(guān)系的認(rèn)識相，即上證指數(shù)收益率與風(fēng)險是同向變動的，存在顯著的風(fēng)險獎勵，高風(fēng)險要求高收益，說明投資者對市場關(guān)注程度較高，信息傳遞較快，隨著風(fēng)險的變化，會對收益率產(chǎn)生影響，體現(xiàn)出投資者一定程度的風(fēng)險偏好。

6.結(jié)論

借助GARCH類模型對上證指數(shù)進(jìn)行以上分析可知：

1.使用帶厚尾分布（student-t）的GARCH族模型的對上證指數(shù)收益率的擬合要優(yōu)于帶正態(tài)分布的GARCH模型。通過EGARCH和TARCH模型系數(shù)的估計可知，上證指數(shù)不存在杠桿效應(yīng)，這可能與我國股市的交易機(jī)制有關(guān)，另一方面也說明我國股民在股票投資方面不夠成熟，大多數(shù)為風(fēng)險偏好型。

2.上證指數(shù)具有很強(qiáng)的波動集聚性和持續(xù)性。我國上證指數(shù)存在明顯的ARCH效應(yīng)，GARCH模型適合于擬合滬市日收益率序列，這與文獻(xiàn)[9]中的結(jié)論是一致的。由GARCH模型估計的上海綜合指數(shù)的條件方差序列表明上海

股市波動具有典型的時變性、簇集特征，這表明在波動的內(nèi)在傳導(dǎo)過程中，過去的股價變動對未來的股價波動有強(qiáng)烈的影響。

3.股票價格波動的短期記憶性及波動與風(fēng)險存在正相關(guān)。在GARCH（1，1）-M模型中，ARCH項和GARCH項系數(shù)之和（α+β）為0.995328，滿足參數(shù)約束的條件。同時系數(shù)之和非常接近1，表明條件方差所受的沖擊是持久的，β值較大，這意味著上證指數(shù)的波動性的持續(xù)性越高，當(dāng)證券收益一旦受到?jīng)_擊出現(xiàn)異常波動，則在短期內(nèi)很難得以消除;由這種波動的長記憶性可以看出沖擊對未來所有預(yù)測都起重要作用。同時模型能很好的擬合上海股市風(fēng)險與收益率之間的關(guān)系，實證結(jié)果表明上海股市的收益與波動之間存在一定的正相關(guān)關(guān)系，說明在這段檢驗時間內(nèi)，我國上證指數(shù)的理性程度越來越高，理性投資已經(jīng)逐步占據(jù)主要地位。

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