有關分形市場假說的理論認識

馮磊 趙守國

摘要：本文簡要介紹了分形市場假說的理論背景，對比了有效市場假說和分形市場假說的區別與聯系。在回顧了國內外對于分形市場假說的相關研究成果后，發現實證研究成果表明分形市場假說在全世界范圍的各個資本市場內均成立。但目前為止還未有基于分形市場假說發展的資產定價工具。這也是未來進一步研究的重點。

關鍵詞：有效市場假說;分形市場假說;資產定價

一、導言

在資本市場理論中，有效市場假說一直占據著主流地位。在此基礎上，資產組合理論，資本資產定價模型，套利定價理論，BSM期權定價模型應運而生。可以說，有效市場假說是現代金融理論這座大廈的根基。但人們在長期實踐中發現，這座大廈并不如想象中的那么穩固，2010年歐債危機、2008年美國次貸危機、2001年的網絡股泡沫、1998年美國長期資本管理公司（LTCM）倒閉、1987年“黑色星期一”，這些層出不窮，大約10年一個周期的危機使現代金融這座大廈搖搖欲墜，也是人們對有效市場假說的正確性產生了懷疑。

有效市場假說的假定市場是無摩擦的、完全競爭的，投資者可以無障礙獲取有關信息且所有投資者對某一證券價格具有相同的理性預期，并可無摩擦地調整自己持有的證券。在這些假定條件下，有效市場假說認為在一個有效的資本市場中資產的價格變化呈現出一種隨機游走（Random Walk）的現象。在有效市場假說的理論框架下，證券的價格被認為是被簡單的線性微分方程所驅動，價格處于布朗運動（隨機游走）的狀態。

有效市場假說假定市場理想的，是對現實復雜環境的理想化、線性化，這就導致有效市場假說的結論和現實情況并不能完全相符，存在一定的認識偏差。在有效市場假說誕生后，許多相關學者對其進行了實證研究，其結果表明有效市場假說并不能準確地描述出市場的特征，資產的價格變化并非是單純的隨機游走。而通過線性微分方程對復雜的市場進行柏拉圖化也使有效市場假說對許多現象無法解釋。

有效市場假說存在的種種問題使人們開始思考是否存在一種能更好地刻畫出市場規律的新理論，在這個背景下，分形市場假說應運而生。

二、分形市場假說

相比有效市場假說，分形市場假說不對市場進行任何假定和理想化，而是著重強調了市場中流動性和不同類型投資者對市場中價格變化的作用。具體而言，分形市場假說的主要觀點是：

1.資產價格變化呈現出有偏的隨機游走（分形布朗運動）的狀態

2.當各種不同類型的投資者共同存在于市場時，此時市場是穩定的

3.市場內的信息在短期內使資產價格變化呈現出技術性變化的現象。

4.若新信息使基本分析的根基——基礎信息發生改變，依照基本分析進行投資的長期投資者在可能停止交易，或依照短期信息進行技術性交易

5.價格變化是技術分析和基本分析的相互影響共同作用的產物

6.若該資產與經濟周期無關的話，則其價格變化就不會有長期趨勢和周期性變化，流動性和短期信息將在資產價格的決定中占主導地位。

三、分析方法

在驗證市場的分形特征時，主要采用R/S分析法。

R/S分析法，也稱重標極差分析法，是由Hurst提出，用以判斷時間序列是遵循隨機游走或有偏隨機游走的方法。

該方法具體操作如下：

對時間序列Xt（1.2.3…n），其均值為Xn=1n∑ni=1Xi，累計離差為Yn=∑ni=1（Xi-X）

定義時間序列的極差為其累計離差的最大值減去最小值：

Rn=maxi∈[1，n]

Yn-mini∈[1，n]

Yn

序列Xt（t=1.2.3…n）的標準差為

Sn=1n∑ni=1（Xi-X）2

則其重標極差為Qn=RnSn

Hurst對序列的重標極差建立了如下關系：

lnQn=lnc+Hlnn

其中c為常數，n為序列的觀測值個數，H既為Hurst

指數。可以發現，利用OLS可對上述方程進行估計并得到Hurst指數。

Hurst指數具有如下的性質：

1.對于均值回復過程，其Hurst指數小于0.5。

2.對于白噪聲（零均值，同有限方差，不相關）過程，其Hurst指數等于0.5。

3.對于有偏隨機游走過程，其Hurst指數大于0.5。

由此，我們可以根據一個序列Hurst指數大小來判別該序列分別屬于何類過程。

四、國外研究成果

最初提出分形理論的Mandelbrot在研究芝加哥期貨交易所棉花的價格序列時發現棉花價格波動在一個交易日內十分劇烈。但他將日內交易價格曲線和每日收盤價格曲線進行對比后發現，兩種曲線卻又十分形似，這就是“分形”概念的提出。在此基礎上，他建立了“分形幾何學”，并提出資產價格變化可以用分形分布結構來描述，并解釋了資本市場中存在的無法用有效市場假說分析的難題。

Mandelbrot（1968、1972、1975、1982）在研究股票價格的變化規律時發現相比有效市場假說中的正態分布假定，真實世界中股票價格序列呈現出典型的尖峰肥尾的特性，他進一步假定價格序列遵循一種有偏隨機游走。

Peters（1991，1994，1999）從驗證有效市場假說中資產價格變化的正態性假定入手，使用R/S分析法，得到了資產價格變化符合分形布朗運動的結果。其結論表明，美國、英國、德國和日本的金融市場均具有比較明顯的分形特征，是一種非線性的動力系統。

在研究市場的分形特征時，常用R/S分析法進行研究，許多學者運用此方法對本國的金融市場進行了研究并得到了相關結論。Ding （1996）對美國標準普爾500指數的收益率序列進行分析，發現其存在長記憶特性。Forge（2000）研究了巴西股票市場，發現巴西股票市場價格的波動存在長期記憶性。Michael（2001）研究了澳大利亞股票市場，他發現澳大利亞股票市場有長記憶性，其周期分別是3年，6年和12年。Golake（2001）發現了印度股票市場中股票價格變化存在的長期相關性。Marco（2001）對全球的外匯市場進行了研究，發現不論是即期外匯市場還是遠期外匯市場中匯價的變化均體現出長期相關性，故在理論上可以通過長記憶性預測未來匯價變化以確定出長期獲利策略。Kim和Yoon （2003）發現韓元兌美元和日元兌美元的匯價序列也具有長期記憶性。

五、國內研究成果

徐龍炳和陸蓉（1999）對上證綜合指數和深證成分指數的收盤指數序列進行了R/S分析。通過分析上證綜指1990.12.19至1998.10.5的收盤指數和深證成指1991.4.3至1998.9.24的收盤指數，分別得到了滬深兩市的Hurst指數。其中，滬市的Hurst指數為0.661，而深市的Hurst指數為0.643。并得出結論，上證綜指的統計循環周期為大約195天，而深圳成指則無統計循環周期。滬深兩市均存在著持續性的價格狀態，波動呈現出集群性，指數收盤價所構成的時間序列是非線性的。

史永東（2000）利用R/S分析法對上證綜合指數的周收盤指數數據進行分析，計算出上證綜指周收盤指數序列的Hurst指數為0.697，統計循環周期為20周。

而葉中行和曹奕劍（2001）不僅對上證綜指的分形特征進行分析，而且對滬市的5只個股也進行了R/S分析，發現不僅股票指數存在著分形特征，股票價格變動也不遵循隨機游走的狀態，這說明有效市場假說在股票指數層面和個股層面均不成立。

徐迪、吳世農（2002）將分析樣本數據擴展到2001年，對上證綜合指數日收盤指數進行了R/S分析，結論是滬市的Husrt指數為0.61，分形維是1.64，統計循環周期大約為350天。

韓國文、韓海波（2003）檢驗了上證綜指每日收盤指數和深證成指每日收盤指數的正態性，計算出Hurst指數和非周期循環的天數，結果顯示滬市的非周期循環為300天，而深市的非周期循環特征并不明顯。

莊新田、莊新路、田瑩（2003）相比以前的對于股票指數或股票價格的收盤價這一“絕對值”進行分析，他們轉而對“波動率”這一相對值進行了R/S分析，其利用波動率（年化收益率的標準差）的時間序列對Hurst指數進行改進，并將其應用于對股票指數的研究。其結果表明： 滬深股指的收益率序列不服從隨機游走，而利用改進后方法計算出的Hurst指數也大于0.5，說明滬深股市均是存在分形特征的市場。

黃治蓉（2004）通過對滬深股指收盤指數的尺度函數、廣義Hurst指數和多重分形譜等分形特征進行分析，驗證了分形市場假說在滬深市場均成立，且滬深市場均存在多重分形特征，并對其產生的原因進行了理論解釋。

盧方元（2005）以滬深股指的收益率為樣本。發現滬深股指的收益率序列不服從正態分布，其分布體現出典型的尖峰厚尾特征，且序列具有長期記憶性。滬市的波動性大于深市的波動性，滬市的杠桿效應大于深市的杠桿效應，多重分形結構在兩市均存在。

陳永忠（2005）對上海綜合指數和深圳成分指數的非線性特征進行了實證研究，通過對指數進行非線性判定、定量分析和分形分析，發現滬深兩市股指的指數序列和收益率序列均存在非線性的特征，從而認為分形市場假說在我國股市成立。

李錟、齊中英和牛洪源（2005） 采用R/S分析方法研究期貨市場價格的非線性特征。他們對日、周、月數據的研究發現，其Hurst指數均大于0.5，說明期貨價格波動并不遵循隨機游走，有效市場假說在期貨市場也不成立。在期貨市場中，每日收盤價格相比每周和每周收盤價格的波動率更大，而滬銅期貨價格也存在著一個長度大約為510天的非周期循環。期貨市場中價格波動也是非隨機的，價格的變動體現出長期趨勢性特征。

黃光曉和陳國進（2006）采用傳統的R/S分析，以1993-2004年LME三月銅期貨價格的日、周、月度收盤價數據為例，分析了期貨市場存在的非線性特征。銅期貨價格序列具有顯著地分形特征，其Hurst指數為0.563，非周期性循環長度為200周。

康彬飛（2006）選取的上證綜合指數和深圳成分指數的日收盤指數為1993年1月4日至2006年8月31日的，對其也進行了正態性檢驗和R/S分析，得到的結論和上述文章相似：滬深股指的變動并不服從正態分布，其分布特征呈現出尖峰厚尾的特征。但他得到兩市的Hurst指數相比許多學者的研究結論較小，其分別為0.545和0.586，說明我國的證券市場具有一定的分形特征，但隨著資本市場愈加完善，市場效率瑜伽提升，市場的分形特征有減弱的趨勢。總體而言，股指的收益率服從長記憶性的有偏隨機游走過程。

胡彥梅、張衛國、陳建忠（2006）分別分析了我國滬、深兩市的日收益率序列和每日收盤價差序列，其結論顯示在0.05的顯著性水平下兩市的日收益率序列無長記憶性，但每日價差序列具有較強的長記憶性，這和大部分學者的研究結論沖突。

苑瑩，莊新田（2008）采用分形分布參數估計、盒維數以及多重分形分析等方法對我國滬銅期貨價格時間序列進行了實證研究。發現滬銅期貨價格不服從正態分布，價格之間存在長記憶性。

六、結論和展望

從上述文獻中可以發現，針對分形市場理論的相關研究以實證研究為主，多數是采用R/S分析法及其改進方法分析某一資本市場是否符合分形市場的特征。從國內外的相關研究成果可以發現，所有的實證檢驗都支持分形市場假說成立，資本市場都有長記憶性，資產價格的波動也是有偏的。

相對實證研究的豐富和完善，有關分形市場假說的規范研究則稍顯薄弱，特別是其理論成因和實際結果之間的聯系并不緊密。從實證檢驗中也可以看出R/S分析法側重于對市場中“分形”特征的檢驗，而對于造成“分形”市場的因素卻沒有相關的實證研究。

除了理論性稍顯薄弱之外，分形市場假說也存在一定的應用缺陷。基于有效市場假說發展起來的資本資產定價模型、套利定價理論和期權定價模型已經形成了一套完整的理論體系和實踐方法，對于資產定價方面的貢獻相當巨大。而分形市場假說雖在理論性上更勝一籌，但目前仍沒有基于此發展出來的資產定價工具，這是阻礙分形市場假說進一步發展的一大瓶頸，相信也將會是未來進一步發展的重點。

參考文獻：

[1]MandelbrotBB.，Fractional brow nian motions： fractional noises and Application[J].SIAMReview，1968.

[2]MandelbrotB.B.，The Fractal Geometry of Nature[J].San Francisco Freeman，1982（3）.

[3]MandelbrotB.B.，Statistical Methodology for Non一Periodic Cycles： From Covariance to R/S Analysis [J].Annals of Economic and Social Measurement，1972（1）.

[4]Edgar E.Peters，Chaos and Order in the Capital Markets-a new view of Cycles Prices and Market Volatility[J].John Wiley&Sons Inc，NewYork，1991.

[5]Edgar E.Peters，Fractal Structure in the Capital Market [J].Financial Analysis Joumal，July/August，1989（2）.

[6]Edgar E.Peters，Fractal Market Analysis： Applying Chaos Theory to Investment and Economics [R].Inc NewYork，1994.

[7]Edgar E.Peters，Chaotic Attractor for the S&P500 [J].Financial AnalysisJoumal，1991（3）.

[8]BaillieR.T.BollerslevT.H.Mikkelsen，Fractionally integrated generalized auto regressive conditional heteroskedasticity [J].Journal of Eeonomerties，1996（74）.

[9]Miehael D.Mckenzie，Non-Periodic Australian Stoke Market Cycles： Evidence from Resealed Range Analysis [J].The Economic Record，2001（11）.

[10]徐龍炳、陸蓉，R/S分析探索中國股票市場的非線性[J].預測，1999（2）.

[11]史永東，上海證券市場的分形結構[J].預測，2000（5）.

[12]葉中行，曹奕劍，Hurst指數在股票市場有效性分析中的應用[J].系統工程，2001（3）.

[13]徐迪，吳世農.上海股票市場的分形結構分析[J].中國經濟問題.2002（01）.

[14]韓國文，韓海波，分形市場理論與我國證券市場實證分析[J].中國經濟評論，2003（3）.

[15]莊新田，莊新路，田瑩.Hurst指數及股市的分形結構[J].東北大學學報.2003（09）.

[16]黃詒蓉.中國股市分形結構的理論研究與實證分析[D].廈門大學 2004.

[17]盧方元.中國股市收益率波動性研究[D].西南交通大學 2005.

[18]陳永忠.我國股市非線性時間序列分析[D].華中科技大學 2004.

[19]李錟，齊中英，牛洪源.滬銅期貨價格時間序列R/S分析[J].管理科學學報.2005，6（3）：87-92.

[20]黃光曉，陳國進.基于分形市場理論的期銅價格R/S分析[J].當代財經.2006（03）.

[21]康彬飛.基于分形市場理論的我國證券市場實證分析及其啟示[D].江西財經大學 2006.

[22]胡彥梅，張衛國，陳建忠.中國股市長記憶的修正R/S分析[J].數理統計與管理.2006（01）.

[23]苑瑩，莊新田.我國滬銅期貨價格的分形統計[J].東北大學學報（自然科學版）.2008（01）.

[24]高路.基于分形市場理論的中國證券市場實證分析[D].東北財經大學.2010