振動試驗中削波信號功率譜密度補償*

嚴魯濤，楊志鵬，高 飛，劉 潔（北京強度環境研究所 北京，100076）

振動試驗中削波信號功率譜密度補償*

嚴魯濤，楊志鵬，高 飛，劉 潔
（北京強度環境研究所 北京，100076）

振動試驗過程中削波會引起信號的功率譜密度下降，局部頻率點對應的功率譜密度誤差過大將導致試驗結果的可信度降低，尤其對于模態試驗，輸入信號削波可能導致信號譜型局部“下凹”，甚至產生錯誤的試驗結果。從偏斜度、峭度、概率分布和功率譜密度等方面分析了高斯信號及非高斯信號的特性，介紹了功率譜密度補償的頻譜均衡及比例-積分-微分（proportion-integration-differentiation，簡稱PID）兩種算法，并對比了這兩種算法的補償效果。結果表明：對于高斯信號，兩種算法從迭代次數及最小誤差對比區別不大，且均能滿足均衡要求；對于非高斯信號，PID算法實現較小誤差的同時，迭代次數少，具有一定優勢。

削波；高斯信號；非高斯信號；頻譜均衡；比例-微分-積分控制

引 言

隨機振動試驗是振動試驗的一個重要分支，對產品在運輸及使用中經受的振動環境進行模擬［1］。由于隨機信號可能產生幾率很小但幅值較大的值，因此需要進行限幅處理以保護振動試驗系統。對于液壓振動試驗系統，其推力取決于供油壓力及活塞幾何參數，最大推力一般不可調整，大幅值信號可能導致系統無法正常工作。現有振動控制方法多采用對驅動信號削波來避免功率放大器、振動臺等器件超限工作［2］。然而，削波是將超限的信號幅值降低，直接導致信號的功率譜密度變化。

對于模態試驗，尤其是基于環境激勵的模態試驗，一般需要平直譜白噪聲作為輸入［3-4］。削波后的白噪聲信號會引發對應頻率點功率譜密度的“下凹”，而試驗中一般將削波信號直接輸入，并未計算削波后的功率譜密度，致使利用響應信號功率譜密度研究結構動態特性的方法存在一定誤差。

目前隨機振動試驗中，信號主要為高斯及非高斯兩種形式。削波信號使信號功率下降，即環境激勵減弱，可能引發“欠試驗”，在一定程度上降低了試驗結果可信度［5］。此外，產品在實際使用和運輸過程中經受的隨機振動也不完全服從高斯分布，而是呈現一定的非高斯性，模擬非高斯分布的隨機振動與實際振動環境會更加相近［6-7］。非高斯信號的代表特征是峰值較高，概率密度中心區域較窄，且有較長長的拖尾，有一部分信號值超出3σ的范圍，甚至達到6σ，使用削波處理對功率譜密度的影響更大。

在振動試驗過程中，現有的控制算法為傳統的頻譜均衡。其基本原理是根據控制響應譜與參考譜之間的比較，獲取對驅動譜的修正信息，采用差分方法實現對驅動譜的補償，對得到的新驅動譜提取其頻譜信息，根據系統控制要求添加相位，通過快速傅里葉逆變換（fast Fourier transform，簡稱FFT）產生時域驅動信號［6，8］。文獻［9］在多輸入多輸出隨機振動試驗控制算法中引入變參數PID控制，在保證快速均衡的基礎上，有效地減小功率譜和參考譜之間的相對誤差以及加速度總均方根值的控制誤差，提高隨機振動試驗的控制精度。目前，振動試驗中削波處理后的信號一般不做補償處理。筆者以高斯信號及非高斯信號為對象，分析二者的特性參數，采用頻譜均衡及PID控制兩種方法對削波信號功率譜密度進行補償，并對比兩種方法的有效性和可適用性。

1 信號特性對比

傳統隨機振動試驗只要求進行功率譜模擬，在公開的隨機振動試驗規范中規定振動控制系統產生的隨機信號應服從高斯分布［10］。非高斯信號概率密度分布不滿足正態分布，工程中通常用偏斜度和峭度兩個參數來描述二者的區別。圖1為典型的高斯信號及非高斯信號，信號均為仿真信號，高斯信號由Matlab軟件生成，非高斯信號按照文獻［6］中提到的蘊含峭度信息的隨機信號產生方法生成，該方法得到的非高速信號滿足偏斜度、峭度要求［6-7］。由圖1看出，非高斯信號出現不規則的較大峰值數量較多，而高斯信號則相對平均。對應的概率密度分布曲線如圖2所示。非高斯信號的概率密度分布曲線不關于均值線對稱，為非正態分布。

兩種信號的參數對比如表1所示。由于受點數的限制，高斯信號的偏斜度接近于0，峭度接近于3，而非高斯信號的偏斜度和峭度與高斯信號差距較大。從概率分布來看，隨著置信區間范圍的擴大，其內信號的概率逐漸增加。相對而言，同樣區間內，非高斯信號的不規則超限信號出現概率更高。與之對應，置信區間內信號的功率譜密度所占比例隨置信區間范圍的增加而增加，非高斯信號不規則信號的能量比重更大。

圖1 高斯信號及非高斯信號Fig.1 Gaussian and non-Gaussian signals

圖2 高斯信號及非高斯信號的概率密度曲線Fig.2 Probability density of Gaussian and non-Gaussian signals

表1 高斯信號及非高斯信號參數Tab.1 Parameters of Gaussian and non-Gaussian signals

2 計算算法

2.1 頻譜均衡算法

隨機振動試驗過程中的功率譜均衡是影響試驗的關鍵，筆者分析的隨機信號為有限長度的驅動信號，且隨機信號強調相位的隨機性，實現其頻譜的一致即可滿足條件。頻譜均衡控制流程如圖3所示。通過FFT計算削波前后的信號頻譜，并留存相位信息。計算頻譜的誤差，未達到目標誤差值ε時，通過頻譜均衡對隨機信號頻譜修正，經過逆快速傅里葉變換（inverse fast Fourier transform，簡稱IFFT）即可再次生成隨機信號。修正的目的在于降低削波前后信號功率譜密度曲線的偏差，保證兩曲線的相近程度，此處誤差e取削波前后信號頻譜誤差的最大值

其中：Y0（f）為初始信號的頻譜；Yσ（f）為削波信號頻譜。

圖3 頻譜均衡算法控制流程Fig.3 Power spectrum equalization control flow

2.2 PID算法

PID算法由于其算法簡單、魯棒性好且可靠性高，被廣泛應用于時域控制過程中［11］。頻域內PID控制算法的構造過程［9］如下。

如式（2）～（4）所示，將均衡前后的頻譜記作乘積形式，對等式兩端取對數，記誤差Ek（f）的對數為本次循環的誤差Δ（k），并引入PID系數Kp，Ki，Kd。定義修正量U，如式（5）所示，按式（6）修正式（2），構成PID算法。

其中：Yk+1（f）為本次循環的頻譜；Yk（f）為上次循環的頻譜；Ek（f）為頻譜傳遞；Δ（k）為迭代誤差。

其中：Δp，Δi和Δd分別為比例、積分和微分修正環節誤差；Kp，Ki和Kd分別為比例、積分和微分系數。

PID控制算法中Kp，Ki和Kd3個參數并非獨立對系統產生影響，而是相互匹配的。筆者采用單變量優化方法，依次對Kp，Ki和Kd3個參數優化，并最終獲得優化參數。

3 計算結果及討論

3.1 頻譜均衡算法結果及討論

3.1.1 高斯信號

使用頻譜均衡算法對高斯信號削波后功率譜密度的修正結果如圖4所示，其中，削波因子K=2.5。高斯信號滿足正態分布，在削波限以外的點數較少、能量較低，故削波前后引起的功率譜密度變化不大。經一次均衡計算后，削波后所得信號的功率譜密度與原始信號的功率譜密度較為接近。迭代總次數選為10次，其中第3次的最大誤差最小，比一次均衡的結果更為接近。從曲線整體形狀來看，削波對高斯信號的功率譜密度曲線影響不大，但某些頻率點的差距不容忽視（圖4中100 Hz處）。可見，對于振動試驗而言，一般功率譜密度曲線要求在±3 dB以內，可不考慮削波的影響；但對于模態試驗而言，某些頻率容易出現“下凹”，為追求試驗結果的精度，需要對削波前后功率譜密度進行修正。

圖4 頻譜均衡算法對高斯信號削波功率譜修正Fig.4 Power spectrum equalization

經頻譜均衡算法修正后，削波前后的信號如圖5所示。削波后信號幅值均在2.5σ以內，避免了不規則信號對振動臺的影響。

3.1.2 非高斯信號

頻譜均衡算法非高斯信號削波功率譜密度的修正效果如圖6所示。對比圖4，非高斯信號一次削波后能量損失更為明顯，在部分頻率點（如30，140 和250 Hz等），曲線“下凹”現象較為明顯。由圖6可知，一次均衡的效果并不理想，雖然大部分頻率點的功率譜密度均趨近于初始信號功率譜密度，但曲線的形狀差別較大。部分頻率點差別十分明顯，如170 Hz和620 Hz等，尤其在620 Hz處，誤差甚至超過了3 d B。最小偏差曲線在第7次迭代后獲得，曲線形狀與初始信號功率譜密度曲線較為接近，修正效果較好。

圖5 高斯信號削波前后波形Fig.5 Pre-and post treatment with clipping of Gaussian signal

圖6 頻譜均衡算法對非高斯信號削波功率譜修正效果Fig.6 Power spectral density compensation of non-Gaussian signal under power spectrum equalization

經修正后，非高斯信號削波前后的波形如圖7所示，削波后信號的幅值均在初始信號2.5倍均方差以內。經計算，削波后信號的偏斜度及峭度分別為-0.018 0及2.939 1。對比表1，頻譜均衡后削波信號的峭度變化較大。雖然對于功率譜等價原則的振動試驗影響不大，但仍然不可忽視非高斯信號的不確定性對試驗件性能的影響。尤其是以窄帶和低頻波形為主的車輛道路模擬和地震模擬等試驗，目前研究較多的是基于時域控制的時域波形再現技術［12-13］。此外，針對非高斯隨機振動試驗控制中功率譜均衡與峭度均衡相互干涉影響控制精度的問題，文獻［6］提出了非高斯隨機振動試驗并行控制策略。

圖7 非高斯信號削波前后波形Fig.7 Pre-and post treatment with clipping of non-Gaussian signal

3.2 PID算法結果及討論

3.2.1 高斯信號

圖8 Kp值對PID算法功率譜密度補償的影響（高斯信號，Ki=0.06，Kd=0.1）Fig.8 The effect of Kpon power spectral density compensation by PID control strategy（Gaussian signal，Ki=0.06，Kd=0.1）

如圖8所示，對于高斯信號削波，PID算法對功率譜密度的補償受Kp值的影響。在Kp值取較小值時（小于1），隨著迭代次數的增加，誤差逐漸減小且趨于恒定。隨著Kp值的增加，到達最小誤差所需的迭代步數減少，在Kp取0.8時，僅需3次迭代誤差達到最小值。當Kp值大于1時，隨迭代步數的增加，誤差出現大幅振蕩，且遠超過期望誤差。其主要原因在于，比例環節成比例地反映控制系統的偏差，一般情況下Kp增大偏差減小，但過大時可能導致閉環系統不穩定。

不同Ki值對PID算法補償過程的影響如圖9所示。在Ki值小于0.18時，迭代過程較為接近，如圖9（a）所示。當Ki值大于0.21時，隨迭代次數的增加，最大誤差迭代過程不穩定的情況如圖9（b）所示。Kd值的影響如圖10所示，與Ki的影響較為類似，Kd值較小時收斂過程較為一致，但過大時系統誤差出現振蕩。

圖9 Ki值對PID算法補償的影響（高斯信號，Kp=0.8，Kd=0.1）Fig.9 The effect of Kion power spectral density compensation by PID control strategy（Gaussian signal，Kp=0.8，Kd=0.1）

由此可知，PID算法的控制需要適當的調整3個參數，以實現快速穩定的控制。對比兩種不同算法對高斯信號削波功率譜密度補償的影響，圖4中最小誤差對應功率譜密度曲線與初始信號功率功率譜密度曲線的最大偏差為0.005 5，而使用PID算法的最大偏差也為0.005 5（Kp=0.8，Ki=0.06，Kd=0.2），迭代次數均為3次，說明對于高斯信號削波的功率譜補償兩種算法差別不大，PID算法的優化參數可以確定為Kp=0.8，Ki=0.06，Kd=0.2。

圖10 Kd值對PID算法功率譜密度補償的影響（高斯信號，Kp=0.8，Ki=0.06）Fig.10 The effect of Kdon power spectral density compensation by PID control strategy（Gaussian signal，Kp=0.8，Ki=0.06）

3.2.2 非高斯信號

使用PID算法對非高斯信號削波功率譜密度補償時，Kp值的影響如圖11所示。與圖8高斯信號的功率譜密度補償一致，隨著迭代次數的增加，誤差逐漸減小且趨于穩定。隨著Kp值的增加，到達誤差最小值的迭代次數減少，如Kp為0.5時，僅需迭代4次誤差最小。當Kp值過大時，如圖11（b）所示，誤差較大，算法無法收斂。圖11（a）中Kp為0.3時，迭代第3步誤差出現突變，且略高于上一次迭代的誤差，但之后趨于穩定，說明非高斯信號的偶然性較大，因此Kp取值不宜過大。

Ki值及Kd值對非高斯信號削波功率譜密度補償的影響如圖12，13所示，二者取較小值時，對算法的影響均不大，尤其是Kd的影響更小。然而，當取較大值時，隨迭代次數的增加，算法出現不穩定，誤差出現較大波動。

采用PID算法，高斯信號的控制易于收斂較為平穩，非高斯信號易出現不穩定3個參數取值不宜過大。從誤差最小值來看，非高斯信號的誤差最小為0.028，明顯大于高斯信號的控制誤差。

對非高斯信號，采用均衡算法達到誤差最小需要迭代7次，誤差最大值為0.038（圖6），而采用PID算法需要迭代4次，誤差最大為0.028，此時也對應PID算法的最優參數，具體為Kp=0.5，Ki= 0.16，Kd=0.01。因此，采用PID算法對非高斯信號削波的功率譜密度補償更具優勢。

圖11 Kp值對PID算法對功率譜密度補償的影響（非高斯信號，Ki=0.16，Kd=0.01）Fig.11 The effect of Kpon PSD compensation by power spectral density control strategy（non-Gaussian signal，Ki=0.16，Kd=0.01）

圖12 Ki值對PID算法對功率譜密度補償的影響（非高斯信號，Kp=0.5，Kd=0.01）Fig.12 The effect of Kion power spectral density compensation by PID control strategy（non-Gaussian signal，Kp=0.5，Kd=0.01）

圖13 Kd值對PID算法對功率譜密度補償的影響（非高斯信號，Kp=0.5，Ki=0.16）Fig.13 The effect of Kdon power spectral density compensation by PID control strategy（non-Gaussian signal，Kp=0.5，Ki=0.16）

4 結 論

1）通過對高斯信號及非高斯信號的特性對比得到，非高斯信號幅值概率密度不滿足正態分布，更易產生不規則較大量級信號點，因此削波對非高斯信號的能量損失影響較大。

2）使用頻譜均衡及PID兩種算法補償因削波引起信號的功率譜密度損失，兩種算法的作用均較為明顯，可使削波后的信號與初始信號的功率譜密度較為相近。

3）由于高斯信號服從正態分布，削波引起的能量損失較小，兩種算法實現最小誤差的迭代次數及誤差大小十分接近，PID算法的優化參數為Kp= 0.8，Ki=0.06，Kd=0.2。

4）對于非高斯信號，PID算法在取得適當的比例、微分、積分系數后，可以在較少步數的情況下實現較小誤差的迭代，比頻譜均衡算法更具優勢。根據計算結果，非高斯信號的PID算法優化參數為Kp=0.5，Ki=0.16，Kd=0.01。

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TB535；O324；TH113.1

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.04.015

嚴魯濤，男，1984年2月生，工程師。主要研究方向為結構動力學、振動試驗設計及控制方法、綠色制造工藝、微機電系統。曾發表《Effects of coding air temperature on cryogenic machining of Ti-6Al-4V alloy》（《Journal of Materials Processing Technology》2011，Vol.211，No.3）等論文。

E-mail：lutaoyan@hotmail.com

*民用航天資助項目

2013-06-16；

2013-09-03