非線性分數階發展方程耦合系統的非局部柯西問題

武旭藝

（中國礦業大學銀川學院，寧夏 銀川750000)

0 引言

本文研究了非線性分數階發展方程耦合系統的非局部柯西問題

這里 0＜p，q＜1，cDp，cDq是兩個分數階導數,f，g：[0，∞）×E→E]和w：C （[0，∞）×E）→E 是已知的滿足假設條件的函數,u0，v0是 Banach空間E中的元素.

Oldham和 Spanier[1]中系統的陳述了分數階微分方程的應用,詳細請參閱 Miller和 Ross[2]和 Kilbas等人的[3]

分數階微分方程耦合系統的研究是相當重要的,很多人做了研究,參閱參考[4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14].最近,Fang[15]研究了非線性分數階微分方程奇耦合系統正解的存在性.Su[16]討論了分數階微分方程耦合系統邊界值問題.Ahmad和Nieto[17]研究了三點邊界問題的分數階微分方程耦合系統存在性結果.

在本文中,假設 E 是范數為|·|的 Banach 空間.令 J?R,C（J，E）是從J到E,范數為|的連續函數 Banach 空間,這里 x∈C（J，E）.

對于 E 上的任意強連續半群(即C0半群){T（t）}t≥0,在 E 上定義算子：

其定義域D（A）是所有E上極限存在的x集合,且是稠密的,A是閉的,詳情請參閱[13].

1 預備知識

在本節中,我們將介紹文中涉及到的空間、基本定義及用到的引理（詳見[18]）

設 B（E）是 E 到 E 范數為||Q||B（E）=sup{|Q（u）|：|u|=1}的所有有界線性算子構成的空間,這里Q∈B（E），u∈E.全文中,設A是E中一致有界算子 C0半群{T（t）}t≥0上的無窮小生成元.明顯的,

定義1.1函數的次數為α,極限為0的分數階積分定義如下：

假設右邊是定義在[0，∞）上的點態,其中Γ(·)是 gamma函數.

定義 1.2 下界為0的階數為α函數f∈AC[0，∞)的Riemann-Liouville導數能夠被寫為：

定義：1.3 階數為α函數f∈AC[0，∞)的 Caputo導數表示為：

注記 1.1(1)如果 f（t）∈C[0，∞),則：

(2)常數的 Caputo導數等于0；

(3)如果f是值域在E的抽象函數,則：1.1—1.3中積分定義是在Bochner意義下得到的.

假設J?R，1≤p≤∞，對于可測函數m：J→R，定義范數

其中 μ（Jˉ）是Jˉ上的 Lebesgue 測度.令Lp（J，R）是所有范數||·||LpJ＜∞的Lebesgue可測函數m：J→R構成的Babach空間.

引理1.1 (H?lder不等式)如果|H|是 Lebesgue可積的,則可測函數 H：[0，a]→E 是 Bochner可積的.

引理1.2(Bochner'定理)如果|H|是 Lebesgue可積的,則可測函數H：[0，1]→E 是 Bochner可積的.

引理1.3(Schauder不動點定理)如果B是Banach空間E中的有界閉凸子集,F：B→B完全連續,那么F在B內有一個不動點.

2 主要結果

定義空間 X={u（t）|u（t）∈C（[0，1]，E）}和 Y={v（t）|v（t）∈C（[0，1]，E）}.依據[15]中的結論,X和Y是 Banach空間.

對（u，v）∈X×Y 令

||（u，v）||X×Y=max{||u||X，||v||Y}，

顯然（X×Y，||·||X×Y）是一個 Banach 空間.

基于以上的論證,給出方程組(1.1)mild解的定義.

定義2.1若非局部的柯西問題(1.1)的解（u，v）∈X×Y滿足下式：

稱（u，v）是方程組(1.1)的 mild解.

定義算子 F：X×Y→X×Y,

其中

對任意的常數k,設：

顯然Uk在Banach空間X×Y中是有界閉凸子集.

在證明主要結果之前,先介紹下面的假設.

（H1）對任意 t＞0，T（t）是一個緊算子；

（H2）對每個 t∈[0，1]函數 f（t，·）：X→X 和 g（t，·）：Y→Y 是連續的,任意（u，v）∈X×Y 函數 f（·，u）：[0,1]→E 和 g（·，v）：[0,1]→E 是強可測的；

（H3）對所有的（u，v）∈X×Y 和幾乎所有 t∈[0，1],存在常數 p1∈

[0，p）和 和 m使得|f（t，u）|≤m（t）和|g（t，v）|

21≤m2（t）成立；

（H4） w：C（[0，1]，E）→E 是一致連續,以及對所有 x∈C（[0，1]，E）,存在正常數 L1，L2使得|w（x）|≤L1||x||+L2.

以下非局部柯西問題（1）的存在性結果是以Schauder不動點定理為基礎.

定理1

定理 2.1 如果（H1）-（H4）滿足,ML＜1,那么方程組（1）有 mild 解.

證明：對任意（u，v）∈Uk,由于 supt∈[0，∞）||T（t）||B（E）=M,于是：

直接計算得到, 當 t∈[0，1]和 p1∈[0，p）,令：

利用引理：1.1(H?lder不等式)和（H3）,當 t∈[0，1],得到：

類似的,有：

接下來用Schauder不動點定理,證明結果.

定義

其中

觀察,Uk1顯然是Banach空間X×Y中的有界閉的凸子集.下面分兩部分證明F在Uk1內有一個不動點.

第一步：F：Uk1→Uk1.

對所有的（u，v）∈Uk1和 t∈[0，1],有：

類似的,有：

因此,對所有的（u，v）∈Uk1,有 F：Uk1→Uk1.

第二步：F是全連續算子.

首先,證明 F 在 Uk1內是連續的.對所有的（un，vn），（u，v）∈Uk1,n=1,2…,并且lim||（un，vn）-（u，v）||=0，得到當 t∈[0，1],lim un（t）=u，當 t∈

n→∞n→∞[0，1],lim vn（t）=v.因此,由假設（H2）,得到：

n→∞

當 t∈[0，1],lim f（t，vn（t））=f（t，v（t）），

n→∞

因此,推斷出：

當n→∞，sup|f（s，vn（s））-f（s，v（s））|→0.

s∈[0，1]

另一方面,當 t∈[0，1]

這意味著

因此,

當 n→∞，||（F1vn）（t）-（F1v）（t）||→0.

即F1是連續的.同樣的,得到F2也是連續的.也就是,算子F：Uk1→Uk1是連續的.

其次,證明{F（u，v），（u，v）∈Uk1}是相對緊的.這就可以證明 函數族{F（u，v），（u，v）∈Uk1}是一致有界和同等連續的.

對任意（u，v）∈Uk1有||F1v||≤k1，||F2u||≤k1,從而||F（u，v）||≤k1.因此{F（u，v），（u，v）∈Uk1}是一致有界的.在下文中,將證{F（u，v），（u，v）∈Uk1}是同等連續函數族.

對每個（u，v）∈Uk，0≤t1＜t2≤1，得到：

運用 (11)和 (12)式中類似的證明,得到：

當 t1=0，0＜t2≤1，很容易得到 I3=0.當 t1＞0,ε＞0 足夠小,當 θ∈(0,∞),有：

由于（H1）表明 T（t）（t＞0）連續,推斷出 F1是同等連續的.類似的,F2也是同等連續的,因此,F（Uk1）是同等連續的.當 t2-t1→0，與（u，v）∈Uk1無關,|（F1v）（t1）-（F1v）（t2）|趨近于零.這意味著{F（u，v），（u，v）∈Uk1}是同等連續的.

因此,由 Ascoli-Arzela 定理,{F（u，v），（u，v）∈Uk1}是相對緊的.從而,F 的連續性和{F（u，v），（u，v）∈Uk1}的相對緊性意味著 F 是完全連續算子.顯然,F映射Uk1自身到自身.因此,Schauder不動點定理 表明F在Uk1內有一個不動點,這意味著非局部柯西問題(1)有一個mild解.證畢.

［1］K.B.Oldham and J.Spanier,The Fractional Calculus,Academic Press,New York,NY,USA,1974[Z].

［2］K.S.Miller and B.Ross,An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations,John Wiley Sons,New York,NY,USA,1993[Z].

［3］A.A.Kilbas,H.M.Srivastava,and J.J.Trujillo,Theory and Applications of Fractional Differential Equations,vol.204 of North-Holland Mathematics Studies,Elsevier Science B.V.,Amsterdam,The Netherlands,2006[Z].

［4］S.D.Eidelman,A.N.Kochubei,Cauchy problem for fractional diffusion equations,[J].Differential Equations 199(2004)：211-255.

［5］M.M.El-Borai,Semigroups and some nonlinear fractional differential equations,Appl.Math.Conput.149(2004)：823-831[Z].

［6］A.M.El-Sayed,Nonlinear functional differential equations of arbitrary orders,Nonlinear Anal.33(1998)：181-186[Z].

［7］O.K.Jardat,A.Al-Omari,S.Momani,Existence of the mild solution for fractional semilenear initial value problems,Nonlinear Anal.69(9)(2008)：3153-3159[Z].

［8］V.Lakshmikantham,A.S.Vatsala,Basic theory of fractional differential equations,Nonlinear Anal.69(2008)：2677-2682[Z].

［9］M.Muslim,Existence and approximation of solutions to fractional differential equations,Math.Comput.Model.49(2009)：1164-1172[Z].

［10］W.R.Schneider,W.Wayes,Fractional diffusion and wave equation,J.Math.Phys.30(1989)：134-144[Z].

［11］Yong Zhou,Feng Jiao,Jing Li,Existence and uniqueness for p-type fractional neutral differential equations,Nonlinear Anal.71(2009)：2724-2733[Z].

［12］Yong Zhou,Feng Jiao,Nonlacal Cauchy problem for fractional evolution equations,Nonlinear Anal.11(2010)：4465-4475[Z].

［13］M.M.Meerschaert,D.A.Benson,H.Scheffler,B.Baeumer,Stochastic solution of space-time fractional diffusion equations,Phys.Rev.E 65(2002)：1103-1106[Z].

［14］R.P.Agarwal,V.Lakshmikantham,J.J.Nieto,On the concept of solution for fractional differential equations with uncertainty,Nonlinear Anal.72(2010)：2859-2862[Z].

［15］C.-Z.Bai and J.-X.Fang,The existence of a positive solution for a singular coupled system of nonlinear fractional equations of fractional equations,Applied Mathematics and Computation,vol.200,no.1-2,pp.215-225,2008[Z].

［16］X.Su,Boundary value problem for a coupled system of nonlinear fractional differential equations,Applied Mathematics Letters,vol.22,no.1,pp.64-69,2009[Z].

［17］B.Ahmad and J.J.Nieto,Existence results for a coupled system of nonlinear fractional differentail equations with three-point boundary conditions,Computers Mathematics with Applications,vol.58,no.9,pp.1838-1843,2009[Z].

［18］I.Podlubny,Fractional Differential Equations,vol.198 of Mathematics in Science and Engineering,Academic Press,San Diego,Calif,USA,1999[Z].