非線性分數(shù)階發(fā)展方程耦合系統(tǒng)的非局部柯西問題

武旭藝

【摘 要】在任意的～Banach～空間中， 研究了非線性分數(shù)階發(fā)展方程耦合系統(tǒng)非局部柯西問題的適應性. 基于某些條件下的 Banach 壓縮定理， 非線性交錯Leray-Schauder型 Schaefer 不動點定理， 得到了非線性分數(shù)階發(fā)展方程耦合系統(tǒng)柯西問題存在唯一mild解.

【關(guān)鍵詞】不動點定理；耦合系統(tǒng)；分數(shù)階發(fā)展方程；mild解

Nonlocal Cauchy Problem for Coupled Systems of Nonlinear Fractional Evolution Equations

WU Xu-yi

（School of Materials & Metallurgy， Northeastern University， Yinchuan Ningxia 750000， China）

【Abstract】In this article， we syudy the well-posedness of the nonlocal cauchy problem for coupled systems of nonlinear fractional evolution equations in an arbitrary Banach space. Relaying on Banach contraction principle， Schaefer fixed point theorem under certain conditions， wo get the existence and uniqueness of mild solutions for the coupled systems of nonlinear fractional evolution equations.

【Key words】Fixed point theorem； Coupled Systems； Fractional evolution equations； Mild solution

0 引言

本文研究了非線性分數(shù)階發(fā)展方程耦合系統(tǒng)的非局部柯西問題

D u（t）=Au（t）+f（t，v（t）），t∈（0，1）， D v（t）=Av（t）+f（t，v（t）），t∈（0，1），u（0）+w（v）=u ，v（0）+w（u）=v ，（1）

這里0

Oldham 和 Spanier[1]中系統(tǒng)的陳述了分數(shù)階微分方程的應用， 詳細請參閱 Miller 和 Ross[2]和 Kilbas 等人的[3]

分數(shù)階微分方程耦合系統(tǒng)的研究是相當重要的，很多人做了研究， 參閱參考[4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14]. 最近， Fang[15]研究了非線性分數(shù)階微分方程奇耦合系統(tǒng)正解的存在性. Su[16]討論了分數(shù)階微分方程耦合系統(tǒng)邊界值問題. Ahmad 和 Nieto[17]研究了三點邊界問題的分數(shù)階微分方程耦合系統(tǒng)存在性結(jié)果.

在本文中， 假設E是范數(shù)為|·|的 Banach 空間. 令J？奐R， C（J，E）是從J到E， 范數(shù)為||x||= |x（t）|的連續(xù)函數(shù)Banach空間， 這里x∈C（J，E）.

對于E上的任意強連續(xù)半群（即C 半群）{T（t）} ， 在E上定義算子：

Ax= ，

其定義域D（A）是所有E上極限存在的x集合，且是稠密的，A是閉的， 詳情請參閱[13].

1 預備知識

在本節(jié)中， 我們將介紹文中涉及到的空間、基本定義及用到的引理（詳見[18]）

設B（E）是E到E范數(shù)為||Q|| =sup{|Q（u）|：|u|=1}的所有有界線性算子構(gòu)成的空間， 這里Q∈B（E），u∈E.全文中， 設A是E中一致有界算子C 半群{T（t）} 上的無窮小生成元. 明顯的，

M：= ||T（t）|| <∞.（2）

定義1.1 函數(shù)的次數(shù)為α， 極限為0的分數(shù)階積分定義如下：

I f（t）= ds，t>0，0<α<1，

假設右邊是定義在[0，∞）上的點態(tài)， 其中？祝（·）是 gamma 函數(shù).

定義1.2 下界為0的階數(shù)為α函數(shù)f∈AC[0，∞）的 Riemann-Liouville 導數(shù)能夠被寫為：

D f（t）= ds，t>0，0<α<1.

定義：1.3 階數(shù)為α函數(shù)f∈AC[0，∞）的 Caputo 導數(shù)表示為：

D f（t）= D （f（t）-f（0）），t>0，0<α<1.

注記1.1 （1） 如果f（t）∈C [0，∞）， 則：

D f（t）= ds=I f′（t），t>0，0<α<1

（2）常數(shù)的 Caputo 導數(shù)等于0；

（3）如果f是值域在E的抽象函數(shù)， 則 ：1.1—1.3中積分定義是在 Bochner意義下得到的.

假設J？奐R，1≤p≤∞， 對于可測函數(shù)m：J→R，定義范數(shù)

||m|| =（ |m（t）| dt） ， 1≤p<∞， { |m（t）|}， p=∞， （3）

其中μ（ ）是 上的 Lebesgue 測度. 令L （J，R）是所有范數(shù)||·|| <∞的Lebesgue 可測函數(shù)m：J→R構(gòu)成的Babach 空間.

引理1.1 （H？觟lder不等式） 如果|H|是 Lebesgue 可積的， 則可測函數(shù)H：[0，a]→E是Bochner可積的.

引理1.2 （Bochner'定理） 如果|H|是 Lebesgue 可積的， 則可測函數(shù) H：[0，1]→E是Bochner可積的.

引理1.3 （Schauder 不動點定理） 如果B是 Banach 空間E中的有界閉凸子集， F：B→B完全連續(xù)， 那么F在B內(nèi)有一個不動點.

2 主要結(jié)果

定義空間X={u（t）|u（t）∈C（[0，1]，E）}和Y={v（t）|v（t）∈C（[0，1]，E）}. 依據(jù)[15]中的結(jié)論， X和Y是 Banach 空間.

對（u，v）∈X×Y令

||（u，v）|| =max{||u|| ，||v|| }，

顯然（X×Y，||·|| ）是一個 Banach 空間.

基于以上的論證， 給出方程組（1.1）mild解的定義.

定義2.1 若非局部的柯西問題（1.1）的解（u，v）∈X×Y滿足下式：

u（t）= h （θ）T（t θ）（u -w（v））dθ +p θ（t-s） h （θ）T（（t-s） θ）f（s，v（s））dθds，t∈（0，1）v（t）= h （θ）T（t θ）（v -w（u））dθ +q θ（t-s） h （θ）T（（t-s） θ）g（s，u（s））dθds，t∈（0，1）

稱（u，v）是方程組（1.1） 的mild解.

定義算子F：X×Y→X×Y，

F（u，v）（t）=（F v（t），F(xiàn) u（t）），（4）

其中

F v（t）= h （θ）T（t θ）（u -w（v））dθ

+p θ（t-s） h （θ）T（（t-s） θ）f（s，v（s））dθds，t∈（0，1），

F u（t）= h （θ）T（t θ）（v -w（u））dθ

+q θ（t-s） h （θ）T（（t-s） θ）g（s，u（s））dθds，t∈（0，1），

（5）

對任意的常數(shù)k，設：

U ={（u，v）∈X×Y：||（u（t），v（t））||≤k，t∈I}.

顯然U 在Banach 空間X×Y中是有界閉凸子集.

在證明主要結(jié)果之前，先介紹下面的假設.

（H ）對任意t>0，T（t）是一個緊算子；

（H ）對每個t∈[0，1]函數(shù)f（t，·）：X→X和g（t，·）：Y→Y是連續(xù)的， 任意（u，v）∈X×Y函數(shù)f（·，u）：[0，1]→E和g（·，v）：[0，1]→E是強可測的；

（H ）對所有的（u，v）∈X×Y和幾乎所有t∈[0，1]， 存在常數(shù)p ∈[0，p）和q ∈[0，q） ，m ∈L 和m ∈L 使得|f（t，u）|≤m （t）和|g（t，v）| ≤m （t）成立；

（H ） w：C（[0，1]，E）→E是一致連續(xù)， 以及對所有x∈C（[0，1]，E）， 存在正常數(shù)L ，L 使得|w（x）|≤L ||x||+L .

以下非局部柯西問題（1）的存在性結(jié)果是以Schauder 不動點定理為基礎.

定理1

定理2.1 如果（H ）-（H ）滿足，ML<1， 那么方程組（1）有mild解.

證明：對任意（u，v）∈U ， 由于sup =M，于是：

| h （θ）T（t θ）（u -w（v））dθ|≤M（|u |+L k+L ）（6）

h （θ）T（t θ）（v -w（u））dθ|≤M（|v |+L k+L ）（7）

直接計算得到（t-s） ∈L [0，1]，（t-s） ∈L [0，1]， 當t∈[0，1]和p ∈[0，p）， 令：

b = ∈（-1，0），M =||m ||

b = ∈（-1，0），M =||m ||

利用引理：1.1（H？觟lder不等式）和（H ），當t∈[0，1]， 得到：

| θ（t-s） h （θ）T（（t-s） θ）f（s，v（s））dθ|ds

≤M θ|（t-s） h （θ）f（s，v（s））|dθds

= |（t-s） f（s，v（s））|ds（8）

≤ （ θ（t-s） ） ||m ||

≤ ，（9）

類似的， 有：

| θ（t-s） h （θ）T（（t-s） θ）g（s，u（s））dθ|ds

≤ ，（10）

因此， 對所有t∈[0，1]， 當s∈[0，t]，| θ（t-s） h （θ）T（（t-s） θ）f（s，v（s））dθ和 θ（t-s） h （θ）T（（t-s） θ）f（s，v（s））dθ|是 Lebesgue 可積的. 由引理1.2（Bochner'定理）， 對所有的t∈[0，1]，s∈[0，t]， 可知 θ（t-s） h （θ）T（（t-s） θ）f（s，v（s））dθ和 θ（t-s） h （θ）T（（t-s） θ）f（s，v（s））dθ是 Bochner 可積的.

接下來用Schauder 不動點定理， 證明結(jié)果.

定義

U ={（u，v）∈X×Y：||（u（t），v（t））||≤k ，t∈I}，

其中

k =max{M +

M + }

觀察，U 顯然是Banach 空間X×Y中的有界閉的凸子集.

下面分兩部分證明F在U 內(nèi)有一個不動點.

第一步： F：U →U .

對所有的（u，v）∈U 和t∈[0，1]， 有：

|（F v）（t）|≤| h （θ）T（t θ）（u -w（v））dθ|

+p| θ（t-s） h （θ）T（（t-s） θ）f（s，v（s））dθds|

≤M（|u |+L k +L ）+ =k （11）

類似的， 有：

|（F u）（t）|≤| h （θ）T（t θ）（v -w（u））dθ|

+q| θ（t-s） h （θ）T（（t-s） θ）g（s，u（s））dθds|

≤M（|v |+L k +L ）+ =k （12）

因此， 對所有的（u，v）∈U ， 有F：U →U .

第二步： F是全連續(xù)算子.

首先， 證明F在U 內(nèi)是連續(xù)的. 對所有的（u ，v ），（u，v）∈U ，n=1，2…，并且 ||（u ，v ）-（u，v）||=0，得到當t∈[0，1]， u （t）=u，當t∈[0，1]， v （t）=v. 因此， 由假設（H ）， 得到：

當t∈[0，1]， f（t，v （t））=f（t，v（t）），

因此， 推斷出：

當n→∞， |f（s，v （s））-f（s，v（s））|→0.

另一方面， 當t∈[0，1]

|（F v ）（t）-（F v）（t）|≤| h （θ）T（t θ）（w（v ）-w（v））dθ|

+q| θ（t-s） h （θ）T（（t-s） θ）（f（s，v （s））-f（s，v（s））dθds|

≤ h （θ）M|（w（v ）-w（v））|dθ

+ （t-s） |f（s，v （s））-f（s，v（s））|ds

≤ML||v -v||+ |f（s，v （s））-f（s，v（s））|，

這意味著

||（F v ）（t）-（F v）（t）||≤ML||v -v||+ |f（s，v （s））-f（s，v（s））|.

因此，

當n→∞，||（F v ）（t）-（F v）（t）||→0.

即F 是連續(xù)的. 同樣的， 得到F 也是連續(xù)的. 也就是， 算子F：U →U 是連續(xù)的.

其次， 證明{F（u，v），（u，v）∈U }是相對緊的. 這就可以證明 函數(shù)族{F（u，v），（u，v）∈U }是一致有界和同等連續(xù)的.

對任意（u，v）∈U 有||F v||≤k ，||F u||≤k ， 從而||F（u，v）||≤k .因此{F（u，v），（u，v）∈U }是一致有界的. 在下文中， 將證{F（u，v），（u，v）∈U }是同等連續(xù)函數(shù)族.

對每個（u，v）∈U ，0≤t

|（F v ）（t ）-（F v）（t ）|≤| h （θ）（T（t θ）-T（t θ））（u -w（v））dθ|+

|p θ（t -s） h （θ）T（（t -s） θ）f（s，v（s））dθds

-p θ（t -s） h （θ）T（（t -s） θ）f（s，v（s））dθds|

≤M h （θ）|[T（t θ-t θ）-I]（u -w（v））|dθ+p（I +I +I ）

其中：

I =| θ（t -s） h （θ）T（（t -s） θ）f（s，v（s））dθds|

I =| θ[（t -s） -（t -s） ]h （θ）T（（t -s） θ）f（s，v（s））dθds|

I =| θ（t -s） h （θ）[T（（t -s） θ）-T（（t -s） θ）]f（s，v（s））dθds|

運用 （11） 和 （12）式中類似的證明， 得到：

I ≤ ，

I ≤ （ （（t -s） -（t -s） ） ds） ||m ||

≤ （ （（t -s） -（t -s） ） ds）

= （t -t +（t -t ） ）

≤ .

當t =0，00， ε>0足夠小，當θ∈（0，∞），有：

I ≤ θ（t -s） h （θ）||T（（t -s） θ）-T（（t -s） θ）|| |f（s，v（s））|dθds

+ θ（t -s） h （θ）||T（（t -s） θ）-T（（t -s） θ）|| |f（s，v（s））|dθds

≤ ||T（（t -s） θ）-T（（t -s） θ）||

+ ε

由于（H ）表明T（t）（t >0）連續(xù)， 推斷出F 是同等連續(xù)的. 類似的， F 也是同等連續(xù)的， 因此， F（U ）是同等連續(xù)的.當t -t →0，與（u，v）∈U 無關(guān)， |（F v）（t ）-（F v）（t ）|趨近于零. 這意味著{F（u，v），（u，v）∈U }是同等連續(xù)的.

因此， 由Ascoli-Arzela定理， {F（u，v），（u，v）∈U }是相對緊的. 從而， F的連續(xù)性和{F（u，v），（u，v）∈U }的相對緊性意味著F是完全連續(xù)算子. 顯然， F映射U 自身到自身. 因此， Schauder 不動點定理 表明F在U 內(nèi)有一個不動點， 這意味著非局部柯西問題（1）有一個mild解. 證畢.

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[責任編輯：楊玉潔]