蔗糖蒸發(fā)結(jié)晶過(guò)程的數(shù)學(xué)建模

楊丹丹

（國(guó)家知識(shí)產(chǎn)權(quán)局專利局專利審查協(xié)作廣東中心，廣東 廣州 510530）

0 前言

煮糖過(guò)程的目的是盡可能充分析出糖膏中的糖分，獲得符合國(guó)家白砂糖標(biāo)準(zhǔn)［1］的粒度均勻、潔白干燥的蔗糖晶體。因此煮糖過(guò)程操作的好壞不僅會(huì)影響到蔗糖產(chǎn)品的質(zhì)量和數(shù)量，而且還將影響到整個(gè)生產(chǎn)系統(tǒng)有關(guān)物料的平衡［2］。煮糖過(guò)程［3，4］是利用在煮糖結(jié)晶罐中糖膏在不同過(guò)飽和度下的特性，控制過(guò)飽和度在適當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)，糖膏中結(jié)晶逐漸析出蔗糖晶體的過(guò)程。煮糖結(jié)晶過(guò)程是一個(gè)包含錘度、粘度、溫度、過(guò)飽和度、真空度等多個(gè)因素的生產(chǎn)過(guò)程［5，6］。目前國(guó)外對(duì)蔗糖蒸發(fā)結(jié)晶過(guò)程的數(shù)學(xué)建模的研究較深入［7～11］，相比之下，國(guó)內(nèi)相關(guān)研究非常少。

在本文中研究蔗糖蒸發(fā)結(jié)晶過(guò)程的數(shù)學(xué)模型，包括蔗糖結(jié)晶顆粒粒度、結(jié)晶糖量、濃度、晶體生長(zhǎng)速度在煮糖過(guò)程中呈現(xiàn)的特性。蔗糖晶體生長(zhǎng)的動(dòng)力學(xué)研究對(duì)于工業(yè)結(jié)晶罐的設(shè)計(jì)與管理起著非常重要的作用。實(shí)驗(yàn)用的動(dòng)力學(xué)數(shù)據(jù)以后也可能應(yīng)用于工業(yè)實(shí)際中。本文的研究?jī)?nèi)容打開了新的見(jiàn)解與思路，能夠更好的了解蔗糖結(jié)晶過(guò)程。

1 蔗糖結(jié)晶顆粒CSD的數(shù)學(xué)模型

1.1 建立CSD的數(shù)學(xué)模型

結(jié)合CSD的直方圖密度分布圖與累積分布圖，建立CSD的對(duì)數(shù)正態(tài)分布的數(shù)學(xué)模型。蔗糖結(jié)晶顆粒CSD概率密度分布函數(shù)q0（Deq）與累積分布函數(shù)Q0（Deq）的數(shù)學(xué)模型分別為式（1.1.1）、（1.1.2）、（1.1.3）：erf（·）為誤差函數(shù)。

1.2 CSD數(shù)學(xué)模型的仿真結(jié)果

對(duì)CSD數(shù)學(xué)模型的仿真結(jié)果見(jiàn)圖1，包括直方圖、密度分布曲線、累積分布曲線的仿真結(jié)果。從圖1可以看出，提出的蔗糖結(jié)晶顆粒CSD的概率密度分布函數(shù)與累積分布函數(shù)的數(shù)學(xué)模型很好地?cái)M合了真實(shí)的CSD。

圖1 CSD數(shù)學(xué)模型的仿真圖 （a）直方圖仿真 （b）密度分布仿真 （c）累積分布仿真

2 結(jié)晶糖量與表面積當(dāng)量直徑關(guān)系的數(shù)學(xué)模型

為了研究粒度、結(jié)晶糖量對(duì)煮糖過(guò)程的影響，采用質(zhì)量平衡方法與圖像分析方法來(lái)對(duì)晶體表面積當(dāng)量直徑與結(jié)晶糖量之間數(shù)理關(guān)系進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，能夠更好的了解蔗糖結(jié)晶過(guò)程。

2.1 質(zhì)量平衡法與圖像分析法

2.1.1 質(zhì)量平衡法

根據(jù)質(zhì)量平衡方法［12～14］，蔗糖晶體的表面積當(dāng)量直徑與質(zhì)量之間的關(guān)系為（α取值為0.75）：

結(jié)晶罐內(nèi)的晶體數(shù)量計(jì)算如下［12,13］（α取值為0.31）：

ms/kg為種糖質(zhì)量，L0為種子晶粒體積當(dāng)量直徑，取值為13.33μm。ms=52g，N=7.25×105粒。質(zhì)量平衡法對(duì)Deq與mc之間數(shù)理關(guān)系的數(shù)學(xué)模型為式（2.1.3）：

2.1.2 圖像分析法

蔗糖晶粒的質(zhì)量與表面積的關(guān)系根據(jù)文獻(xiàn)［14］：

式中mc為每顆蔗糖晶粒的質(zhì)量，單位為mg，S為每顆蔗糖晶粒的表面積，單位為m2。經(jīng)過(guò)單位量綱之間的換算，本文的圖像分析方法對(duì)Deq與mc之間數(shù)理關(guān)系的數(shù)學(xué)模型為式（2.1.5）：

2.2 兩種數(shù)學(xué)模型的仿真結(jié)果比較

圖像分析與質(zhì)量平衡計(jì)算的結(jié)晶糖量與表面積當(dāng)量直徑之間數(shù)理關(guān)系的模型見(jiàn)圖2。兩種方法得出的曲線很相似，等同度很高。因此，圖像分析得出的結(jié)果是可靠的。數(shù)據(jù)來(lái)自樣本集P1的隨機(jī)抽樣300例。

圖2 圖像分析與質(zhì)量平衡計(jì)算的表面積當(dāng)量直徑比較

2.3 從濃度分布模型估計(jì)溶解度

通常一些有關(guān)溶解度與溫度的實(shí)驗(yàn)方程適用于大部分普通的溶液，這在制糖工業(yè)是得到普遍認(rèn)知的。在某個(gè)給定溫度的溶解度可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)獲得，使得晶體生長(zhǎng)或溶解直到飽和，測(cè)量這個(gè)溫度下的溶液濃度，但受到操作者知識(shí)與技術(shù)器材的限制。文獻(xiàn)［7］提出一個(gè)新的辦法，在正常的結(jié)晶條件下能夠快速應(yīng)用。一個(gè)典型的結(jié)晶曲線見(jiàn)圖3所示。溶液的濃度開始于Ci，并不斷下降趨近飽和，用點(diǎn)c*處的濃度來(lái)代表溶解度［7，14］。

圖3 結(jié)晶曲線［7］

以下的分析［7］基于假設(shè)水的質(zhì)量mw為恒定值，這使得含水量的自動(dòng)控制是有效的。溶液濃度c表示為溶液質(zhì)量除以水的質(zhì)量，于是濃度的變化可以很容易與晶體質(zhì)量mc、時(shí)間t聯(lián)系起來(lái)，見(jiàn)下式：

若沒(méi)有成核現(xiàn)象，則每單位面積時(shí)間下的晶體質(zhì)量增長(zhǎng)遵循生長(zhǎng)規(guī)律，通常定義為：

k與r為動(dòng)力學(xué)參數(shù)，r=2。結(jié)合以上兩個(gè)式子得出：

這個(gè)方程在獲得晶體表面積A與時(shí)間t的關(guān)系后可以得到數(shù)值解。不過(guò)更為方便的方式為用解析解來(lái)擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到c*。出于這個(gè)目的，用一個(gè)生長(zhǎng)周期內(nèi)的恒定平均晶體表面積 來(lái)簡(jiǎn)化式子。簡(jiǎn)化式子如下：

得出濃度分布曲線如式：

建立煮糖過(guò)程濃度與時(shí)間的數(shù)學(xué)模型如式（2.2.7）：

模型擬合結(jié)果見(jiàn)圖4。從結(jié)果中看出，開始濃度ci=（301.5kg蔗糖）/（100kg水）。溶解度c*=（260 kg蔗糖）/（100kg水），見(jiàn)虛線處。模型擬合結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果很相近。

圖4 濃度分布與時(shí)間數(shù)學(xué)模型仿真

2.4 晶體生長(zhǎng)動(dòng)力學(xué)的模型研究

2.4.1 晶體質(zhì)量與時(shí)間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型

采集來(lái)自實(shí)驗(yàn)研究用的50L煮糖罐的蔗糖生長(zhǎng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。見(jiàn)表1所示。

根據(jù)表1，建立晶體質(zhì)量與時(shí)間的數(shù)學(xué)模型如式（2.3.1）：

模型仿真結(jié)果如圖5所示。從圖中可以看出，模型仿真的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)量的數(shù)據(jù)分布擬合效果較好，模型的分析是可靠的。

圖5 晶體質(zhì)量與時(shí)間數(shù)學(xué)模型仿真

2.4.2 晶體質(zhì)量生長(zhǎng)速度與過(guò)飽和度關(guān)系的數(shù)學(xué)模型

煮糖過(guò)程中的過(guò)飽和度［7，14］需要預(yù)先知道溶液溶解度的情況，由于非蔗糖混合物的數(shù)量及其變化范圍之廣使得準(zhǔn)確測(cè)量過(guò)飽和度存在困難。蔗糖晶體生長(zhǎng)的動(dòng)力學(xué)研究對(duì)于工業(yè)結(jié)晶罐的設(shè)計(jì)與管理起著非常重要的作用。實(shí)驗(yàn)用的動(dòng)力學(xué)數(shù)據(jù)以后有可能應(yīng)用于工業(yè)中。在本小節(jié)中研究晶體生長(zhǎng)動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)模型。其中，溶液濃度、晶體質(zhì)量隨著時(shí)間而改變的信息必須是可用的，其他的先驗(yàn)知識(shí)包括蔗糖溶解度、晶體參數(shù)例如顆粒個(gè)數(shù)與形狀因子等等。

蔗糖晶體的質(zhì)量生長(zhǎng)速度Rg通常定義為在單位時(shí)間和單位晶體面積內(nèi)的質(zhì)量改變量［7］：

現(xiàn)在計(jì)算生長(zhǎng)速度的實(shí)驗(yàn)方法采用在一個(gè)很小的時(shí)間區(qū)間△t內(nèi)質(zhì)量的增長(zhǎng)量△mc來(lái)計(jì)算Rg。在這種情況下，晶體表面積需要假設(shè)在這個(gè)時(shí)間段內(nèi)維持常量或者用平均表面積來(lái)代替。晶體表面積表示為［7］：

代入式（2.3.2），得到［7］：

歸納為式（2.3.5）［7，13］：（α=0.64［13］，β=4.52［13］，pc=1590kg/m3［7，13，14］）：

在這里，過(guò)飽和度定義為S=c-c*，c*為前面的溶解度。根據(jù)蔗糖質(zhì)量與時(shí)間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，濃度分布數(shù)學(xué)模型，得到：

因此建立蔗糖晶體質(zhì)量生長(zhǎng)速度與過(guò)飽和度之間的數(shù)學(xué)模型，見(jiàn)式（2.3.8）：

質(zhì)量生長(zhǎng)速度值為2.2（×105kg/（m2·s））。模型仿真的曲線如圖6所示。這個(gè)動(dòng)力學(xué)曲線代表了過(guò)飽和度對(duì)晶體質(zhì)量生長(zhǎng)速度的影響。

圖6 晶體質(zhì)量生長(zhǎng)速度與過(guò)飽和度數(shù)學(xué)模型仿真

2.4.3 晶體線性生長(zhǎng)速度與過(guò)飽和度關(guān)系的數(shù)學(xué)模型

線性生長(zhǎng)速度G與質(zhì)量生長(zhǎng)速度Rg之間存在這樣的關(guān)系［7］：

建立線性生長(zhǎng)速度與過(guò)飽和度之間的數(shù)學(xué)模型如式（2.3.10）：

線性生長(zhǎng)速度為117（μm/h）。模型仿真結(jié)果見(jiàn)圖7。這個(gè)動(dòng)力學(xué)曲線代表了過(guò)飽和度對(duì)晶體線性生長(zhǎng)速度的影響。

圖7 線性生長(zhǎng)速度與過(guò)飽和度數(shù)學(xué)模型仿真

在閱讀外國(guó)相關(guān)文獻(xiàn)后，統(tǒng)計(jì)不同文獻(xiàn)中蔗糖蒸發(fā)結(jié)晶過(guò)程中蔗糖晶體的線性生長(zhǎng)速度與質(zhì)量生長(zhǎng)速度值，見(jiàn)表2。從表中可以看出，本文提出的模型計(jì)算得出的線性生長(zhǎng)速度與質(zhì)量生長(zhǎng)速度值與其他國(guó)外文獻(xiàn)值是一致的，證明了兩種模型的仿真結(jié)果是有效可靠的。

表2 不同文獻(xiàn)中蔗糖蒸發(fā)結(jié)晶過(guò)程線性生長(zhǎng)速度與質(zhì)量生長(zhǎng)速度值［7］

3 小結(jié)

本章對(duì)蔗糖蒸發(fā)結(jié)晶過(guò)程進(jìn)行數(shù)學(xué)建模研究。結(jié)合前面章節(jié)中提出的圖像分析方法與本章的數(shù)學(xué)建模方法打開了新的見(jiàn)解與思路，能夠更好的了解蔗糖結(jié)晶過(guò)程。首先建立蔗糖結(jié)晶顆粒CSD的對(duì)數(shù)常態(tài)分布數(shù)學(xué)模型并對(duì)真實(shí)的樣本進(jìn)行擬合，并通過(guò)模型進(jìn)行原點(diǎn)矩與置信區(qū)間的計(jì)算，通過(guò)仿真結(jié)果、對(duì)顆粒粒度的MA、CV、總長(zhǎng)、總表面積、總質(zhì)量等參數(shù)結(jié)果的比較，本文建立的CSD模型逼近真實(shí)的CSD。然后分別用質(zhì)量平衡法與本文中的圖像分析法建立結(jié)晶糖量與表面積當(dāng)量直徑關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。通過(guò)兩種仿真結(jié)果比較，圖像分析法建立的模型與質(zhì)量平衡法建立的模型等同度高，模型可靠。最后，對(duì)煮糖過(guò)程中溶解度及其生長(zhǎng)動(dòng)力學(xué)相關(guān)參數(shù)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究。在濃度分布模型中估計(jì)出溶解度、從質(zhì)量平衡中估計(jì)質(zhì)量與時(shí)間關(guān)系的模型的基礎(chǔ)上，分別對(duì)晶體質(zhì)量生長(zhǎng)速度、線性生長(zhǎng)速度與過(guò)飽和度之間關(guān)系的模型進(jìn)行研究。計(jì)算出線性生長(zhǎng)速度與質(zhì)量生長(zhǎng)速度值，在國(guó)外相關(guān)文獻(xiàn)計(jì)算的值的范圍之內(nèi)，證明了建立的動(dòng)力學(xué)模型是可靠的。

［1］ GB317-2006，白砂糖［S］.

［2］ 李琳.蔗糖結(jié)晶連續(xù)化的問(wèn)題與措施［J］.甜菜糖業(yè)，1990（1）：22-27.

［3］ 蔗糖結(jié)晶與煮煉系統(tǒng)［DB/OL］.中國(guó)糖業(yè)交易網(wǎng)，http：//www.ec-sugar.com/web/index.jsp.

［4］ 黃銓章，李爾煊.微機(jī)煮糖與“五一”煮糖法［J］.甘蔗糖業(yè)，1984（3）：1-4.

［5］ 黃春俠.間歇煮糖自動(dòng)化控制的研究［D］.蘭州：蘭州理工大學(xué)，2007.5.

［6］ 魏立.基于自適應(yīng)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)方法的蔗糖結(jié)晶過(guò)程的優(yōu)化控制［D］.南寧：廣西大學(xué)，2009.6.

［7］ Pedro M.Martins&Fernando A.Rocha.Modeling Sucrose Evaporative Crystallization.Part 2.Investigation into Crystal Growth Kinetics and Solubility ［J］.Ind.Eng.Chem.Res.2005，44，8865-8872.

［8］ P.Quintana-Herna’ndez.Mathematical Modeling and Kinetic Parameter Estimation in Batch Crystallization，2004 American Institute of Chemical Engineers［J］.AIChE Journal July 2004 Vol.50，No.7：1407-1417.

［9］ N.Faria&S.Feyo de Azevedo.Modelling agglomeration degree in sucrose crystallization ［J］.Chemical Engineering and Processing 47（2008）1666-1677.

［10］Wright，P.G.Pan and Pan Stage Control［J］.Sugar Technol.Rev.1983，10，39-76.

［11］Miller，K.F.Broadfoot，R.Crystal Growth Rates in High Grade Massecuite Boilings［J］.Proc.Int.Soc.Sugar Cane Technol.（Australia）1997，441-447.

［12］Pedro M.Martins&Fernando A.Rocha.Modeling Sucrose Evaporative Crystallization.Part 1.Vacuum Pan Monitoring by Mass Balance and Image Analysis Methods［J］.Ind.Eng.Chem.Res.2005，44，8858-8864.

［13］A.Ferreira&N.Faria.Using an Online Image Analysis Technique to Characterize Sucrose Crystal Morphology during a Crystallization Run ［J］.Ind.Eng.Chem.Res.2011，50：6990-7002，ACS Publications@2011 American Chemical Society.

［14］陳維鈞，許斯欣等.甘蔗制糖原理與技術(shù)第四分冊(cè)蔗糖結(jié)晶與成糖［M］.北京，中國(guó)輕工業(yè)出版社，2001.

［15］G.R.E.Lionnet.An Interfacial Model for The Transfer of Impurities Into The Sucrose crystal ［J］.Institution of Chemical Engineers，Trans IChemE，1998（76），Part A.