質量均勻分布天體的內部壓強

許叢易

（江蘇省濱海中學，江蘇 濱海 224500）

1 引言

圖1

在天體運動教學中，經常用到質量均勻分布的天體的一些重要結論，比如對其他天體的引力計算可以等效成質量集中在中心，質量均勻分布的球殼內部空腔任意一點引力合力為0.合力雖然為零，但是放在那里的物體會感受到向四周拉扯的引力.如圖1.

過A點作兩個圓錐，頂角取得極其小，它們的母線長分別為r1、r2，由于相似，它們取到的殼上的面積之比為

由（1）式知，這兩個力大小相等，方向又相反，所以抵消，因此任意一塊小面積引力都有對應小面積引力和它抵消，總體來說，合力為0.進而可以推廣到任意厚度的殼，只要把它想象成由無數多的薄殼疊加起來的，就顯而易見了.

圖2

例1.一星球質量為M，半徑為R，求處于內部半徑為r的地方重力加速度是多少？

可見，內部重力加速度正比于半徑，越靠近地心，加速度越小.但要注意，由于外部重力導致的壓強卻并不小，我們下面來求出壓力隨半徑的表達式.

2 兩種計算方案

圖3

方案1：如圖3求出小立體角ΔΩ對應的半徑r之外的總重力，再除以立體角ΔΩ對應的半徑r處的表面積即可，但是要注意，由于重力加速度不是常量了，不能用總質量直接求出來，需要積分.

可見隨著r的減小，壓強在增大，在中心處變成了無窮大.因為中心處面積為0，而總重力不為0，壓在上面壓強自然為無窮大.

再乘以面積4πx2，得

兩種方案，給出了兩個答案，哪一個才是合理的呢？另一個方案的問題出在哪里？

3 討論

圖4

我們看如圖4所示的兩部分，在計算重力的時候用了當地的重力加速度，而這當地的重力加速度是考慮了B對A的引力了.但是在計算它們對面積S產生的壓強時，B對A的引力是它們整體的內力，不應該考慮到計算中去，方案1的模型計算了AB間的引力，所以計算結果會偏大.即

可見此題，內力只能部分地計算進去，這是一個困難的地方，不容易理解的地方，方案2的微元法沒有這些困擾，是正確的.

致謝：感謝江蘇省濱海中學物理組的全體成員，本論文的寫作緣起于競賽輔導課中學生的提問，當時第一感覺應該比較容易得出答案，但是結果卻是錯誤的，于是就想專門把幾種解法都剖析一下.

1 盧德馨.大學物理學（第2版）［M］.北京：高等教育出版社，2003.