異步電機數學模型與仿真分析

劉 迪

（武漢船用電力推進裝置研究所，武漢 430064）

0 引言

異步電機因其轉子轉速和定子同步轉速不同而得名。異步電機結構簡單，而且制造、使用和維護都比較方便，常用作電動機使用，是工程中最常見的電機。異步電機在啟動過程中啟動電流大是它的一大缺點。本文根據異步電機的數學模型，用 MATLAB編程對異步電機的啟動做了研究，對工程應用有一定意義。

1 基本假設

1.1 正方向假設

按照慣例，線圈正方向是線圈磁場軸線的正方向，規定電流正方向是產生正向磁鏈的電流方向，電壓正方向和電流正方向符合電動機慣例，如圖1所示，由此可知：

圖1 正方向規定

1.2 基本假設

1)定轉子三相繞組完全對稱且氣隙磁場按正弦分布；2)不考慮開槽和諧波影響；3)不計磁路飽； 4)不考慮溫度變化引起的參數變化。

2 以實際繞組軸線做參考系建立方程

定轉子三相完全對稱，定子三相繞組命名為A、B、C繞組，相位相互相差120°；轉子三相繞組命名為a、b、c繞組，同樣，相位互差120°。以各相繞組軸線建立參考坐標系，各繞組電壓電流方向按之前假設的正方向規定。即可作出三相異步電機的物理模型，如圖2所示。

圖2 異步電機定子、轉子軸線示意圖

2.1 電壓方程表達式

由于定轉子三相完全對稱，那么定子三相繞組的電阻相等，均為Rs，轉子三相繞組電阻也相等，為Rr。根據已作出的正方向規定和異步電機物理模型，可以寫出各個繞組的電壓表達式：

2.2 磁鏈方程表達式

在異步電機中，各個繞組不僅有自感，而且互相之間還存在互感，因此各繞組的磁鏈不僅與自身電流有關，還與其他繞組電流有關。那么磁鏈方程可以寫成下面的矩陣形式：

上述電感矩陣里面，對角線元素表示自感，其余的元素表示互感，電感矩陣是對稱矩陣。

2.2.1 自感系數說明

在電感矩陣中，對角線元素是自感系數，自感系數包括定子的自感系數和轉子的自感系數。在假設中已經說明了，定轉子繞組完全對稱，這樣一來定子的三相繞組自感系數都相等，轉子的三相繞組自感系數也都相等。自感是由通過氣隙的主磁通對應的主電感和不通過氣隙的漏磁通對應的漏電感組成，轉子表面是光滑的，可以想象，在轉子轉動時，對于每一相繞組的磁路而言是一樣的，因而各個繞組的自感系數都是固定值。這樣一來，自感系數表達式是：

將轉子側的量折算到定子側后，Lsδ=Lrδ記做Lm

2.2.2 互感系數說明

繞組之間的互感包括三種：定子繞組之間的互感、轉子繞組之間的互感和定轉子繞組之間的互感。由于轉子表面光滑，定子繞組之間的互感，是一個定值，它是由互漏感系數和互電感系數組成；同樣的，轉子繞組之間的互感系數也是一個定值，同樣也是由互漏感系數和互電感系數組成；對于定轉子繞組之間的互感，與漏磁通沒有關系。當轉子a相軸線與定子A相軸線之間的夾角θ=0時，兩個繞組之間的互感達到最大，當θ=90時，互感為0，當θ=180時，互感反向最大，可見，定轉子之間互感是按余弦規律變化。并且轉子各個繞組與定子各個繞組互感的最大值是相等的。根據以上分析可以寫成電感矩陣中剩余各元素。定子互感：

轉子互感：

定子與轉子互感寫成矩陣形式是：

其中行對應的分別是ABC繞組，列對應的是abc繞組。轉子與定子的互感則是矩陣A的轉置。

3 坐標變換和基值系統下方程

3.1 dq0坐標變換

在第二節里面，用實際繞組軸線建立參考坐標系，在此坐標系中，電感矩陣并不是常數矩陣，里面含有與時間相關的因素θ，進行坐標變換可以考慮將異步電機等效成同步轉速為（1-s）1ω的同步電機，其中s是轉差率，1ω是頻率為50 Hz時的同步轉速。

異步電機的定子和同步電機的定子形式是一樣的，所以只要將定子繞組進行派克變換就可以得到與轉子轉速相同的旋轉的dp0坐標系下的定子方程。設定子進行坐標變換的變換矩陣是C1。

因為是要將異步電機等效成同步轉速為（1-s）1ω的同步電機，只用旋轉三相到旋轉兩相只要進行C32變換就能夠完成，以轉子a相軸線作為d軸，q軸與d軸呈90°，且q軸超前d軸。設轉子變換矩陣是C2。

其中θ＝ωt+θ0，它是指定子 A相軸線與轉子 a相軸線的夾角，ω是轉子的轉速，θ0是θ初始角。變換矩陣C2如下：

那么經過坐標變換后的磁鏈方程為式（1），經過坐標變換后的電壓方程為式（2）。其中ω是轉子轉速。這樣進行坐標變換以后發現，電壓方程和磁鏈方程和同步電機的是一樣的，等效的兩相旋轉繞組rd和rq相當于同步電機的阻尼繞組D、Q。所得到的電感矩陣就相當于劃掉同步電機電感矩陣中勵磁繞組f和0軸所對應的行列元素所得到。

3.2 異步電機基值系統下方程

取電流基值為定子相電流的幅值Ib＝INm（ A）取電壓基值為定子相電壓的幅值Ub＝UNm（V）取時間的基值為

其它定子側基準值都可以從這三個量推導出來。轉子側各基值選取都是為使標幺值系統中電感矩陣可逆，并采用xad基值系統，則轉子側電壓電流的基準值為：轉子側的電流、電壓基值：

磁鏈方程可以寫成下面的形式：

電磁轉矩方程為：

電壓方程可以寫成下面的形式：

圖3 異步電機啟動過程轉速、定子電流變化曲線

4 仿真分析

以某電機為例，在matlab里編程，用四階龍格庫塔法解微分方程組，可以得到各個變量的變化曲線。H表示轉動慣量，圖中橫軸時間用仿真步數代替，結果見圖3，其中，u=0.5，H=16.37。

圖4 不同轉動慣量下異步電機啟動轉速變化曲線

圖5 不同啟動電壓下異步電機啟動轉速變化曲線

5 結論

1)轉動慣量對動態時間影響較大。2)轉動慣量對轉速超調影響也很大。3)啟動電壓u的取值對轉速超調有影響。4)啟動電壓u取值對啟動過程定子電流影響。啟動電壓u=0.5，定子電流在動態過程中最大可以達到額定的2倍，當u=1時，仿真結果顯示，定子電流達到額定值的4倍多。可以看出來如果電機容量比較大時，采樣全壓啟動，定子電流會非常大，這會對系統產生巨大沖擊。所以一般異步電機啟動會采取降壓啟動來減小啟動電流。

[1]馬志云著.電機瞬態分析.北京：中國電力出版社,1998.

[2]黃守道,鄧建國,羅德榮著.電機瞬態過程分析的MATLAB建模與仿真.北京：電子工業出版社,2013.

[3]辜承林,熊永前,陳喬夫著.電機學,武漢：華中科技大學出版社,2004.

[4]許實章主編.電機學,北京：機械工業出版社,1995.