考慮荷載橫向變位時箱梁剪滯效應的解析解

白玉堂，任新建

(長沙市規劃勘測設計研究院，湖南長沙410007)

過去利用能量變分法研究剪力滯效應，都是采用對稱作用于腹板頂部的荷載進行分析，忽略了不同的荷載橫向作用位置對剪力滯效應產生的影響［1－7］。張士鐸等［8］做過該方面的研究，對箱梁翼板設定相同縱向位移差函數，分析了集中荷載橫向變位時的情況，并對簡支梁撓度進行分析，給出了最大撓度的計算方法。吳亞平等［9］通過對頂板和底板分設不同的縱向位移差函數，采用二次拋物線作為翼板縱向位移橫向分布函數，研究了均布荷載下矩形箱梁的剪力滯效應。通過分析以前研究發現，當荷載不作用在箱梁腹板處時，宜對懸翼板、頂板和底板分設不同的縱向位移差函數［9－10］。本文通過修改瑞斯納假設，考慮荷載橫向作用位置對箱梁剪力滯的影響，并對3種翼板分設不同縱向位移差函數，采用三次拋物線作為翼板縱向位移橫向分布函數，使用變分法建立微分方程，得到了帶懸臂翼板簡支箱梁剪滯效應的理論解答，并通過數值算例予以驗證。

1 基本假定

1)對稱豎向外荷載作用時，翼板的縱向位移假設［8］為

式中:i=1，2，3分別表示頂板、懸翼板和底板;zi為翼板中線豎向坐標;ui(x)為縱向位移差函數;w(x)為箱梁形心軸的撓度，其他符號意義見圖1;

圖1 箱梁橫截面尺寸符號示意圖Fig.1 Symbols of the box girder’s cross－ section

2)忽略腹板的彎剪翹曲變形;計算翼板的剪滯效應時，忽略翼板的橫向位移影響;

3)變形后箱梁截面仍與縱向纖維垂直，因此仍有豎向位移與縱向位移的關系:

2 荷載橫向變位時應力及剪滯系數公式推導

2.1 控制微分方程的推導及其理論解

根據最小勢能原理，結構體系總勢能的一階變分為0，即δΠ =δ(V+W)=0，其中V為體系應變能，W為外力勢能。

1)考慮頂板荷載橫向作用位置y1的外力勢能W表達式:

2)對于上下翼板，僅考慮截面內縱向的法向應變(正應變)εx和板內的剪切應變γxy=γ，箱梁各部分應變能表達式:

其中，i=1，2，3。

邊界條件:

將式(3)～(6)聯立消去w?后，得

式(9)解的形式為u1－u2=C1shk0x+C2chk0x+Δu*，其中Δu*為與剪力Q(x)分布有關的特解;式(10)解的形式為u2－u3=C3shk0x+C4chk0x;積分常數C1～C4由邊界條件來確定。將式(9)和(10)的解與式(8)聯立再由邊界條件即可求出各縱向位移差函數ui。

由縱向位移差函數可得翼板應力σxi、剪滯系數λi的求解公式:

式中:i為計算翼板;j和k表示其余2種翼板。

2.2 荷載橫向變位時簡支梁的應力、剪滯系數公式

任何超靜定復雜結構均可取臨近反彎點區間解體為簡支梁來處理［1］，簡支梁復雜荷載又可看作多個集中荷載的組合，可根據疊加原理由簡支梁的剪滯效應求解復雜結構在復雜力狀態下的剪滯效應。因此，本文只研究集中荷載和均布荷載橫向變位時簡支梁的剪滯效應。

2.2.1 承受集中荷載的簡支梁

已知:u2－u3=C5shk0x+C6chk0x

邊界條件:

由此可以確定縱向位移差函數ui如下:

0≤x≤a時，

a≤x≤l時，

由式(12)及(13)可以驗證當y1=b(即e=e0=0)時，

0≤x≤a 時，

a≤x≤l時，

此結果與文獻［3］中表達式一致，說明本節公式具有可靠性和一般性。

由式(11)～(13)聯立可得集中荷載作用下翼板正應力、剪滯系數的計算公式。

2.2.2 承受均布荷載的簡支梁

由2.2.1 同理得 u3=u2，

由式(14)及(15)可以驗證當y1=b(即e=e0=0)時，

此結果與文獻［3］中表達式一致，說明本節公式具有可靠性和一般性。

由式(11)、(14)、(15)聯立可得均布荷載作用下翼板正應力、剪滯系數的計算公式。

3 數值計算驗證理論推導

根據理論推導公式利用Fortran90編程分別計算簡支梁在集中力、均布力作用下的應力，并與Ansys有限元模型結果進行比較，以驗證本文計算方法的可靠性。

3.1 數值算例

本文算例采用等截面簡支箱梁模型，模型跨徑l=120 cm，泊松比 μ =0.385，彈性模量 E=3 GPa，模型斷面尺寸及計算結點布置如圖2～3所示。

圖2 模型橫斷面尺寸Fig.2 Sizes of the model’s cross－ section

圖3 模型計算結點布置圖Fig.3 Layout of the model’s computing nodes

很多文獻資料都借助于Ansys分析剪力滯效應［9－16］，結果表明，Ansys 用于分析剪力滯效應具有很高的可靠性。本文利用Solid65實體單元建模，有限元網格劃分如圖4所示。

圖4 有限元模型示意圖Fig.4 Scheme of the finite element model

3.2 結果對比

采用6種荷載工況來進行結果對比，本文變分法和Ansys有限元法結果的對比如表1所示。

1)腹板頂部(y1=±b)分別對稱加載1/3跨集中力P=0.15 kN和全跨均布力q=0.25 kN/m，對比發現頂板、懸臂翼板、底板的最大誤差分別為7.28%，5.51%，4.62%，結果吻合良好。

2)頂板(y1=±0.5b)分別對稱加載集中力P和均布力q，對比發現集中力作用時懸翼板懸臂端和頂板荷載作用點處誤差較大，這是由于集中力作用區域有較大應力集中導致結果偏差較大，其他部位均在0.06% ～7.72%范圍內，均布力時誤差范圍為0.58% ～6.69%，結果吻合良好。

3)頂板中心(y1=0)分別加載集中力2P和均布力2q，對比發現集中力作用時懸翼板懸臂端和頂板荷載作用點處誤差較大，其他部位均在6.60%以內，均布力時誤差范圍為5.82%以內，結果吻合良好。

本文解析解所得均布、集中荷載橫向變位時箱梁剪滯系數沿縱向變化規律分別如圖5和圖6所示。由圖5可知，均布荷載橫向變位時，頂板由負剪滯效應變為正剪滯效應，變化幅度較大，腹板由正剪滯效應變為負剪滯效應，變化幅度相對較小;跨中部分區域內剪滯系數變化不大，愈靠近支點增大趨勢越明顯，并在支點處達到最大。

由圖6可知，集中荷載橫向變位時，頂板由負剪滯效應變為正剪滯效應，變化幅度較大，腹板由正剪滯效應變為負剪滯效應，變化幅度相對較小，荷載位置越接近頂板中心，剪滯影響的范圍越廣;越靠近集中荷載作用局部區域，剪滯效應越明顯，遠離作用位置的區域剪滯系數接近于1，幾乎不產生剪滯效應。

表1 箱梁荷載橫向變位時不同截面的應力大小對比Table 1 Comparison of the stress when changing the lateral loading position Pa

圖5 均布荷載橫向變位時頂板中心和腹板頂部剪滯系數沿縱向變化規律Fig.5 Shear lag coefficients of the top plate and the web when the uniform load’s lateral position changes

圖6 集中荷載橫向變位時頂板中心和腹板頂部剪滯系數沿縱向變化規律Fig.6 Shear lag coefficients of the top plate and the web when the concentrated load’s lateral position changes

4 結論

1)對3種翼板分設不同縱向位移差函數，并假設縱向位移橫向分布為三次拋物線，由此推導出荷載橫向作用位置不同時簡支箱梁的應力分布函數，其計算結果與Ansys有限元模型結果吻合良好，證實了本文所作假定和理論推導的正確性。

2)本文推導的公式當y1=±b時與以往不考慮橫向變位時的公式一致，說明本文所得公式具有一般性;當外荷載向懸臂翼板橫向變位時，只需將外力勢能公式中荷載橫向作用位置和縱向位移差函數采用懸臂翼板的y2和u2，其他公式均保持不變。

3)荷載橫向變位對頂板剪滯效應影響較明顯，對腹板影響相對較小;荷載由腹板頂部向頂板中心移動時，頂板由負剪滯效應變為正剪滯效應，腹板由正剪滯效應變為負剪滯效應。

4)在集中力作用下，剪滯效應影響區域很小，在作用位置局部區域內變化劇烈，且作用點處剪滯效應最大，荷載作用點靠近頂板中心時，影響區域逐漸增大;均布力作用下，跨中部分區域剪滯效應變化不大，越靠近支點剪滯效應越大。本文所得結論對簡支箱梁設計具有指導意義，綜合考慮上述因素可使截面尺寸擬定和鋼筋布置更趨合理。

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