孔隙水作用下的二級邊坡擋土墻被動土壓力上限研究

張亮，羅杰

(湖南省交通科學研究院，湖南長沙410015)

邊坡工程廣泛存在于各類公路及鐵路工程中，其穩定性和支護方法的研究一直是巖土工程工作者的研究重點［1－3］。在孔隙水作用下，邊坡的穩定性較差，往往需要借助擋土墻對邊坡工程進行加固。除孔隙水等外因外，邊坡穩定性還與土體的內摩擦角和黏聚力等因素有關［4－5］。目前為止，巖土工程界對邊坡穩定性的研究已經有了較多成果，但是對考慮孔隙水壓力及地震力作用下的擋土墻土壓力方面的研究仍然較少。為研究孔隙水壓力及地震力等不利因素對邊坡擋土墻被動土壓力和邊坡穩定的影響，本文建立考慮擋土墻作用的二級邊坡的對數螺旋線破壞模式，基于極限分析方法上限定理，充分考慮土體重度、豎向和橫向地震力以及孔隙水壓力等外力和邊坡破壞面上和擋土墻與墻后土體黏結力等產生的內能耗散［6－9］，采用 Bishop［10］提出的孔隙水壓力計算方法對擋土墻的被動土壓力和被動土壓力系數的上限解進行計算分析，并運用數值計算軟件對各參數對被動土壓力系數的影響進行分析［11－13］。

1 極限分析上限法

極限分析方法是目前巖土工程界采用較為廣泛的隧道和邊坡等巖土工程的穩定性分析方法，本文應用極限分析方法上限定理對二級邊坡的擋土墻被動土壓力及其系數的上限解進行求解，下面簡要介紹極限分析方法上限定理［14－15］。

根據上限定理的基本思想，采用上限定理求解的荷載和承載力比實際情況下的荷載和承載力要大，這是由于上限定理假定巖土體處在極限狀態時位移和速度已經在破壞面上發生，但是，如果位移和速度已經產生，則以為該巖土體已經發生破壞。

上限定理的正確性通過反證法不難證明，假設上限定理求得的極限荷載和承載力小于實際破壞時的荷載和承載力，此時必存在一個靜力平衡的應力場，使破壞體內的所有點的屈服函數滿足，將其代入到虛功方程:

將式(2)與式(1)相減得:

2 破壞機制

考慮擋土墻和錨桿支護作用的二級邊坡破壞模式如圖1所示，整個破壞面以點O為中心發生角速度為Ω的轉動破壞，破壞面通過邊坡坡趾B，邊坡第1階坡腳為β1，第2階坡腳為β2，AB面為邊坡的破壞面即速度間斷面，其上任意點的線速度與該點切線之間的夾角為邊坡土體的內摩擦角φ，邊坡其他各要素尺寸如圖1所示。

在圖1所示的破壞模式中包含的外力分別為:土體重力，橫向和豎向地震荷載，孔隙水壓力;內力分別為:擋土墻平衡土壓力的抗力和滑動面上的黏聚力。鑒于此，根據極限分析上限定理，本文需要計算的外力功率有:土體重力功率，橫向地震荷載功率、豎向地震荷載功率以及孔隙水壓力功率;需要計算的內能耗散功率有:速度間斷面上的內能耗散功率，擋土墻被動土壓力功率和擋土墻和墻后土體之間的黏結力所做的功率。

圖1 考慮擋土墻和錨桿作用的邊坡破壞機制Fig.1 Failure mechanism for reinforced slope

3 計算過程

本文建立的對數螺旋線形式的邊坡破壞面表達式如下:

根據圖1中幾何關系，可知:

由式(2)～(3)可得:

3.1 外部土體自重做功功率

3.1.1 土體重力和地震力荷載功率

邊坡土體重力功率時采用疊加法進行計算，即分別計算出 OAB，OAA’，OA’C’，OCC’和 OCB 的重力功率，然后進行疊加計算出邊坡ABCC’A’A的重力功率，具體過程如下。

1)曲邊三角形OAB的外力功率

OAB的土重做功為:

則其豎向和橫向地震力荷載功率分別為:

由上，曲邊三角形OAB的外力功率為:

2)三角形OAA’的外力功率

三角形 OAA’的土體重度為 SOAA′=，且三角形OAA’的重心距離旋轉中心的距離為，三角形OAA’的重力功率表達式為:

則其豎向和橫向地震力荷載功率為:

由上，曲邊三角形OAA’的外力功率為:

3)三角形OA’C’的外力功率

三角形OA’C’的面積表達式為:

三角形OA’C’的3個頂點O，A’和C’距離破壞機構旋轉中心O的鉛垂線水平距離的平均值為，則三角形OA’C’的重力和豎向地震力荷載作用下的外功率為:

同樣地，三角形OA’C’的3個頂點O，A’和C’距離破壞機構旋轉中心O水平線的垂直距離的平均值為，則其橫向地震力荷載的外力功率為:

由上，曲邊三角形OA’C’的外力功率為:

4)三角形OCC’的外力功率

三角形OCC’的面積表達式為:

三角形OCC’的3個頂點O，C和C’距離破壞機構旋轉中心O的鉛垂線水平距離的平均值為，則三角形OCC’的重力和豎向地震力荷載作用下的外功率為:

同樣地，三角形OCC’的3個頂點O，C和C’距離破壞機構旋轉中心O的水平線的垂直距離的平均值為R0sinθ0+Lsinα +α2H，則三角形OCC’的橫向地震力荷載的外功率為:

由上，曲邊三角形OCC’的外力功率為:

5)三角形OCB的外力功率

三角形OCB的面積表達式為:

三角形OCB的3個頂點O，C和B距離破壞機構旋轉中心O的鉛垂線的水平距離的平均值為，則三角形OCB在重力和豎向地震力荷載作用下的外力功率為:

同樣地，三角形OCB的3個頂點O，C和C’距離破壞機構旋轉中心O的水平線的垂直距離的平均值為，則三角形OCB的橫向地震力荷載的外功率為:

由上，曲邊三角形OCC’的外力功率為:

則二級邊坡在重力和地震力荷載作用下產生的功率為:

3.1.2 孔隙水壓力功率

計算中采用孔隙水壓力系數ru的方法將孔隙水的影響引入到邊坡穩定性分析中，即孔隙水所做的外功率表達式為:

其中

z1，z2，z3和 z4的表達式如下:

θ1，θ2和 θ3可由下式確定:

由上可以得出二級邊坡的外力功率表達式:

3.2 內能耗散功率

內能耗散功率包括速度間斷面AB上的耗散功率、擋土墻和墻后土體之間的黏結力的耗散功率和擋土墻被動土壓力耗散功率。

3.2.1 速度間斷面上的內能耗散功率

邊坡速度間斷面上的內能耗散功率為:

3.2.2 被動土壓力功率

一般假定被動土壓力合力作用于擋土墻1/3墻體高度處，如圖1所示。該點距離過轉動中心O點的垂線的水平距離為，距離過O點的水平線的垂直距離為，為便于計算，將被動土壓力Pp分解為水平向分力Ppx=Pasin(β1+ δ)和豎直向分力 Ppy=－ Pacos(β1+δ)，則被動土壓力所做功率為:

3.2.3 擋土墻與墻后土體黏附力功率被動土壓力功率

由上各式可得考慮擋土墻被動土壓力作用的二級邊坡內能耗散功率的表達式為:

3.3 擋土墻被動土壓力上限解

根據極限分析方法上限定理，令二級邊坡的外力功率與內能耗散功率相等即Wout=Dint可得出被動土壓力的上限解，即:

根據上公式可以求出地震被動土壓力系數為:

4 計算結果分析

選取適當參數并采用數值計算軟件對不同參數下的地震被動土壓力系數進行求解計算，分析比較不同的參數對地震被動土壓力系數的影響并驗證本文計算結果的正確性。圖中:Kh為橫向地震力系數;Kp為被動土壓力系數;c為黏聚力;φ為內摩擦角;rn為孔隙水壓力系數。根據圖2可以看出，該二級邊坡的被動土壓力系數Kp隨著橫向地震力系數Kh，邊坡傾角ρ以及孔隙水壓力系數ru的增加而增加，隨著內摩擦角φ和黏聚力c的增加而減小。在圖2(a)中，當ρ=－15°且橫向地震力系數Kh=0時，被動土壓力系數達到最小值0.236，當 ρ=15°且橫向地震力系數 Kh=0.4g 時，被動土壓力系數達到最大值0.594;在圖2(b)中，當c=20 kPa且橫向地震力系數Kh=0時，被動土壓力系數達到最小值0.11，當c=0且橫向地震力系數Kh=0.4g時，被動土壓力系數達到最大值0.931;在圖2(c)中，當φ=40°且橫向地震力系數Kh=0時，被動土壓力系數達到最小值0.232，當φ=20°且橫向地震力系數Kh=0.4g時，被動土壓力系數達到最大值1.074;在圖2(d)中，當ru=0.1且橫向地震力系數Kh=0時，被動土壓力系數達到最小值0.405，當 ru=0.5 且橫向地震力系數 Kh=0.4g 時，被動土壓力系數達到最大值0.936。

圖2 被動土壓力系數隨邊坡各參數的變化規律Fig.2 Changing rules of passive earth pressure coefficient with parameters of slope

5 結論

1)計算了考慮孔隙水作用的采用擋土墻加固的二級邊坡的重力功率、豎向和橫向地震力功率及孔隙水做功功率等外力功率和破壞面上的內能耗散、擋土墻與墻后土體黏結力產生的功率及被動土壓力功率等內能耗散功率，并根據各功率計算出被動土壓力及其系數的上限解的表達式。

2)根據計算出的表達式，選取適當的參數分析不同的參數對被動土壓力系數的影響規律:當ρ及橫向地震力系數均為最小時，被動土壓力系數達到最小值，當ρ且橫向地震力系數Kh均為最大時，被動土壓力系數達到最大值，當c為最大且橫向地震力系數為最小時，被動土壓力系數達到最大值，當c為最小且橫向地震力系數為最大時，被動土壓力系數達到最大值，即二級邊坡的被動土壓力系數隨著橫向地震力荷載系數Kh，ρ角和孔隙水壓力系數的增加而增加，隨著內摩擦角φ和黏聚力c值的增大而減小。

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