居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)兩種預(yù)測(cè)模型的比較

邢 珺，張 婷

（對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué) 國際經(jīng)濟(jì)貿(mào)易學(xué)院，北京 100029）

0 引言

CPI是反映一定時(shí)期內(nèi)居民購買生活消費(fèi)品及服務(wù)支出費(fèi)用價(jià)格變動(dòng)的相對(duì)指標(biāo)。通過CPI可以觀測(cè)居民生活消費(fèi)品及服務(wù)項(xiàng)目價(jià)格的變化規(guī)律，為政府制定經(jīng)濟(jì)政策，穩(wěn)定物價(jià)水平、實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)增長、促進(jìn)社會(huì)可持續(xù)發(fā)展提供科學(xué)的依據(jù)。

目前，我國的消費(fèi)價(jià)格指數(shù)按對(duì)比基期不同，可以分為：以2000年價(jià)格為基期的指數(shù)（定基比），以上月價(jià)格為基期的指數(shù)（月環(huán)比），以上年同月價(jià)格為基期的指數(shù)（同期比），本年一月至報(bào)告期以上年同期價(jià)格為基期的指數(shù)（累計(jì)比）和以上年12月價(jià)格為基期的指數(shù)共五種。

謝佳利，楊善朝，梁鑫（2008）運(yùn)用時(shí)間序列的幾個(gè)不同模型，對(duì)我國居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)（CPI）的變化規(guī)律進(jìn)行了比較研究，通過對(duì)我國2001年1月到2007年8月的CPI值建立帶有季節(jié)趨勢(shì)的ARIMA模型，并將該模型的相對(duì)誤差控制在1%以內(nèi)。郭海(2011)在考慮傳統(tǒng)假期因素的基礎(chǔ)上,對(duì)用同期環(huán)比數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)的結(jié)果進(jìn)行修正。董梅(2011)通過建立VAR模型,從影響CPI的因素著手，對(duì)未來36個(gè)月的CPI走勢(shì)進(jìn)行定量預(yù)測(cè)，其結(jié)論為不會(huì)發(fā)生大規(guī)模通貨膨脹。肖曼君等(2008)通過建立ARIMA模型分析，分析了1990～2007年的通貨膨脹同期比數(shù)據(jù)，結(jié)果表明居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)數(shù)據(jù)具有較長的滯后性。

之前學(xué)者對(duì)于CPI居民價(jià)格指數(shù)建立的ARIMA模型，由于其使用數(shù)據(jù)期限較短，所以避免了ARIMA模型在預(yù)測(cè)期限較長數(shù)據(jù)時(shí)的偏理性。然而，CPI左右衡量經(jīng)濟(jì)社會(huì)的重要指標(biāo)，其隨時(shí)間、季節(jié)等的變化而變化，故對(duì)CPI的趨勢(shì)分析，應(yīng)采取適宜較長期限結(jié)構(gòu)的模型。基于此，本文將采用目前國家統(tǒng)計(jì)局公布的我國1990年1月至2014年的6月同期比月度數(shù)據(jù)，綜合考慮數(shù)據(jù)的趨勢(shì)性與季節(jié)性，建立具有季節(jié)調(diào)整的SARIMA模型與X-12-ARIMA模型進(jìn)行預(yù)測(cè)分析，并驗(yàn)證相對(duì)于SARIMA模型，X-12-ARIMA調(diào)整模型在短期內(nèi)具有較高的預(yù)測(cè)精度。

1 模型介紹

1.1 SARIMA模型

SARIMA模型（Seasonal Auto-regressive Integrated Mov ing Average，季節(jié)性差分自回歸移動(dòng)平均模型）是一種時(shí)間序列預(yù)測(cè)分析方法，它來源于自回歸單整移動(dòng)平均模型（ARIMA），能夠采用Box-Jenkins的模型識(shí)別，估計(jì)和預(yù)測(cè)程序，能保障模型的預(yù)測(cè)精度而且很容易應(yīng)用于實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)。SARIMA模型的一般形式為:

Φ(B)Φ(BS)(1-B)d(1-BS)Dyt=c+θ(B)Θ(BS)εT

其中，S和D分別表示階級(jí)周期的長度和季節(jié)差分的階數(shù)；BS表示季節(jié)后移算子；Φ(BS)=1-Φ1BS)-...-ΦPBSP；Θ(BS)=1-Θ1BS)-...-ΘPBSP，P和Q的含義分別與ARIMA模型中的p與q的含義相同。上式所表示的SARIMA模型被記為SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)S模型。

運(yùn)用ARMA模型的前提條件是時(shí)間序列為零均值的平穩(wěn)隨機(jī)過程。對(duì)于包含趨勢(shì)性或季節(jié)性的非平穩(wěn)時(shí)間序列，需要經(jīng)過適當(dāng)?shù)闹鹌诓罘旨凹竟?jié)差分消除趨勢(shì)影響，再對(duì)形成的新的平穩(wěn)序列建立ARMA(p，q)模型進(jìn)行分析。對(duì)于只包含趨勢(shì)性的原序列，可表示為ARIMA(p,d,q)模型(求和自回歸移動(dòng)平均模型)，如果原序列同時(shí)包含趨勢(shì)性和季節(jié)性，則可表示為SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型(乘積季節(jié)ARIMA模型)，d、D分別為逐期差分和季節(jié)差分的階數(shù)，p、q分別為自回歸和移動(dòng)平均的階數(shù),P、Q分別為季節(jié)自回歸和季節(jié)移動(dòng)平均的階數(shù)。

1.2 X-12-ARIMA季節(jié)調(diào)整模型

季節(jié)調(diào)整問題最初是在1919年由美國的經(jīng)濟(jì)學(xué)家提出的。1931年Macauley提出用移動(dòng)平均比率法進(jìn)行季節(jié)調(diào)整，成為了季節(jié)調(diào)整方法的基礎(chǔ)。1954年，Shiskin在美國普查局首先開發(fā)出在可計(jì)算機(jī)上運(yùn)行的程序，對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行季節(jié)調(diào)整，被稱為X-1。此后，季節(jié)調(diào)整的方法每改進(jìn)一次都以X加序號(hào)表示。

季節(jié)調(diào)整方法基于構(gòu)成因素分解剔除原始數(shù)據(jù)中季節(jié)性因素，美國的X-11程序以及它的升級(jí)版本X-12-ARIMA程序使用最為廣泛。在這些季節(jié)調(diào)整程序中，經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列常常被分解為幾個(gè)相互正交的構(gòu)成因素：趨勢(shì)--循環(huán)因素、季節(jié)因素和不規(guī)則因素。常用的主要有乘法模型、加法模型、對(duì)數(shù)加法模型以及擬加法模型等四種模型。

X-12方法的基本思路是假設(shè)時(shí)間序列Yt有趨勢(shì)Tt—Trend、循環(huán)Ct-Cycle、季節(jié)St-Seasonal和不規(guī)則項(xiàng)It-Irregular等四部分的組成元素。為從Yt中消除季節(jié)因素St的影響，X-12采用了移動(dòng)平均的方法。為改善序列Yt兩端的不對(duì)稱情況，加拿大統(tǒng)計(jì)局對(duì)X-12方法進(jìn)行了改進(jìn)，提出了X-12-ARIMA方法，也就是在采用X-12方法前，先使用ARIMA模型對(duì)序列Yt的兩端進(jìn)行了延伸。

由于X-12方法具有上述強(qiáng)大的季節(jié)調(diào)整功能，我們將嘗試使用X-12季節(jié)調(diào)整方法對(duì)我國的消費(fèi)價(jià)格指數(shù)作季節(jié)調(diào)整，并對(duì)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

2 實(shí)證分析

2.1 數(shù)據(jù)及變量說明

本文采取國家統(tǒng)計(jì)局公布的我國1990年1月至2014年6月的同期比月度數(shù)據(jù)，以1990年1月至2013年12月的數(shù)據(jù)為樣本建立SARIMA模型與X-12季節(jié)調(diào)整模型，用2014年1月至2014年6月這6個(gè)月的數(shù)據(jù)為參照數(shù)據(jù)，用SARIMA模型與X-12季節(jié)調(diào)整模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，與真實(shí)數(shù)據(jù)比較，分析對(duì)比兩種模型的預(yù)測(cè)精確度。

2.2 模型對(duì)比分析

2.2.1 SARIMA模型的擬合

（1）對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)

采用Eviews6.0軟件，對(duì)同期比數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)。主要采用兩種方法檢驗(yàn)該數(shù)據(jù)平穩(wěn)性。一是直接觀察序列的時(shí)序圖（如圖1，圖2），可以看出該數(shù)據(jù)有一定的趨勢(shì)，并且伴有季節(jié)波動(dòng)；二是進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，即ADF統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)，ADF統(tǒng)計(jì)量為-0.83，大于10%顯著性水平下的臨界值水平-1.61，即接受原單位根假設(shè)，原始數(shù)據(jù)CPI不平穩(wěn)。依據(jù)以上兩種方法檢驗(yàn)均可判斷該序列是非平穩(wěn)的。

從圖1可以看出，CPI在1994年下半年到1995年之間，發(fā)生了較快增長，隨后從1995年下半年開始，CPI逐步下降，直到1998年開始，CPI微幅增長，到2004年至2005年，CPI遭遇小高峰，至2007年達(dá)到近些年來的最高點(diǎn)，隨后下降，2013年又有上升趨勢(shì)。

圖1 同期比居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)時(shí)序圖

圖2 序列CPI的相關(guān)圖

（2）數(shù)據(jù)平穩(wěn)化處理

從圖中可以看到數(shù)據(jù)有一定下降的趨勢(shì)，并伴隨季節(jié)趨勢(shì)，所以對(duì)數(shù)據(jù)先進(jìn)行一階普通差分，再進(jìn)行十二步季節(jié)差分（即作d(CPI,1,12)變換），從而消除序列的長期趨勢(shì)和季節(jié)波動(dòng)，最終使數(shù)據(jù)平穩(wěn)。經(jīng)過這樣的處理，數(shù)據(jù)的單位根檢驗(yàn)結(jié)果如下：ADF單位根-6.69，小于1%顯著性水平下的臨界值-3.46，則拒絕原單位根假設(shè)，即處理后的數(shù)據(jù)不存在單位根，該數(shù)據(jù)平穩(wěn)。

（3）模型的識(shí)別，定階與參數(shù)估計(jì)

對(duì)于模型的識(shí)別，方法是觀察平穩(wěn)后的序列的相關(guān)圖，如圖2所示，該序列一，二階偏自相關(guān)較高及相關(guān)系數(shù)較高，并且數(shù)據(jù)仍然具有一定的季節(jié)相關(guān)，因?yàn)闇笫A、滯后二十四階與滯后三十六階的AC值與PAC值明顯增大。

可以判斷該序列可能適應(yīng)以下幾種模型，分別對(duì)可能的模型進(jìn)行估計(jì)，并做適應(yīng)性檢驗(yàn)，即觀察殘差序列是否為白噪聲。通過檢驗(yàn)分析，下列四種模型既可以通過參數(shù)顯著性檢驗(yàn)，又可以通過適應(yīng)性檢驗(yàn)，結(jié)果指標(biāo)對(duì)比見表1。

圖3 序列d(CPI,1,12)的相關(guān)圖

表1 不同階數(shù)模型的比較

上述模型對(duì)比得出，模型四AIC值最小，故模型四優(yōu)于其他三個(gè)模型此時(shí)，AIC值最小，調(diào)整后的R2值最大，DW值接近2。得出的參數(shù)估計(jì)結(jié)果如下：

(1+0.93B)(1-0.719B12-0.367B24)(1-B)(1-B12)CPIt=-0.014+(1-0.394B-0.203B2)(1-0.886B12)Ut t=(25.61)(-13.62)(-7.85)(-0.75)(-5.56)(-3.23)(-9639.56)

（4）模型的擬合性檢驗(yàn)及預(yù)測(cè)

為更進(jìn)一步確定模型選擇是否最優(yōu)，需要進(jìn)行擬合檢驗(yàn)，方法是選擇1990年1月到2013年12月的樣本數(shù)據(jù)回歸上述確定的模型，SARIMA(1,1,2)(2,1,1)12。然后利用模型預(yù)測(cè)2014年1月到2014年6月（共6個(gè)月）的數(shù)值并與已有的真值比較，觀察預(yù)測(cè)值與真實(shí)值的偏離程度，從而確定模型的擬合效果。通過計(jì)算可得這6個(gè)月預(yù)測(cè)誤差在10%以內(nèi)，該模型的擬合效果一般好。預(yù)測(cè)結(jié)果見表2。

表2 2014年1～6月預(yù)測(cè)值

通過表2的預(yù)測(cè)結(jié)果，可以看到SARIMA模型預(yù)測(cè)結(jié)果存在一定的系統(tǒng)性偏差，預(yù)測(cè)結(jié)果低于實(shí)際值，可能因?yàn)槟Ｐ瓦x擇主觀性較強(qiáng)，且SARIMA適用于短期預(yù)測(cè)，對(duì)于稍長數(shù)據(jù)期限則導(dǎo)致預(yù)測(cè)精度下降。對(duì)于樣本量的變化模型選擇比較敏感。

2.2.2 X-12季節(jié)調(diào)整分析

時(shí)間序列數(shù)據(jù)是隨時(shí)間變化記錄的，它的變動(dòng)是綜合因素影響的結(jié)果，尤其是特殊時(shí)間段的影響，比如星期因素、節(jié)假日因素、季節(jié)因素等。X-12就是分解時(shí)間序列季節(jié)趨勢(shì)，長期趨勢(shì)以及不規(guī)則變動(dòng)的一種重要方法，對(duì)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)的研究，也可以采用X-12分析，并在分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行預(yù)測(cè)。對(duì)于影響時(shí)間序列的各因素綜合作用的形式，通常有乘法模型、加法模型以及混合模型三種，其中乘法模型是最常用的。本文采用乘法模型，即CPI=T*S*I，其中T為長期趨勢(shì)，S為季節(jié)因素，I為不規(guī)則變動(dòng)。

通過軟件內(nèi)置運(yùn)算程序可以對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分解，關(guān)鍵是如何預(yù)測(cè)。預(yù)測(cè)總的思想是：通過軟件將原始序列分解為CPI_SA（季節(jié)調(diào)整后的序列，也即長期趨勢(shì)），CPI_SF（季節(jié)因子，也即季節(jié)因素），CPI_IR（不規(guī)則變動(dòng)），然后分別對(duì)這三個(gè)被拆分的序列進(jìn)行預(yù)測(cè)得SAF，SFF，IRF，最終CPI的預(yù)測(cè)值CPI=SAF*SFF*IRF。由于季節(jié)因子相對(duì)穩(wěn)定，故SFF選擇上年同期的季節(jié)因子值，下面著重預(yù)測(cè)SAF與IRF。

（1）長期趨勢(shì)SAF的預(yù)測(cè)。

從長期趨勢(shì)CPI_SA的時(shí)間序列圖中可以看出曲線近似于一條拋物線，所以對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行拋物線擬合，得出結(jié)果如下：

可以看出雖然系數(shù)通過了檢驗(yàn)，R2值較低，DW值接近于0，該模型明顯存在自相關(guān)。故在模型中引入AR(1)，重新估計(jì)，得到的結(jié)果中T2的系數(shù)不顯著，將T2去除后估計(jì)結(jié)果如下：可以看出擬合效果很好，模型的自相關(guān)得到了消除，并且對(duì)殘差做ADF檢驗(yàn)知?dú)埐钍瞧椒€(wěn)的，證明CPI_SA與時(shí)間T之間的相關(guān)關(guān)系是協(xié)整的：

最終確定模型為：

根據(jù)此模型對(duì)2014年1月到2014年6月的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果見表3：

表3 CPI_SA的預(yù)測(cè)值

（2）不規(guī)則變動(dòng)的預(yù)測(cè).

通過觀察不規(guī)則變動(dòng)序列CPI_IR的相關(guān)圖，可以看出其非白噪聲。

從相關(guān)圖還可以看出，該序列與其自身滯后十二階的自相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)均比較大，且其滯后一階和二階自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)較大，經(jīng)過模型試算，最終采取模型如下：

CPIt=1.00+(1-0.2655B2)(1-0.5193B12)et

圖4 序列CPI_IR的相關(guān)圖

t=（14463）（-4.191）（-8.956）

DW=2.1 F=45.51 R2=0.29

根據(jù)選擇的模型對(duì)2014年1月到2014年6月的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果見表4：

表4 不規(guī)則變動(dòng)的預(yù)測(cè)值

（3）對(duì)CPI的預(yù)測(cè)

季節(jié)調(diào)整因子假設(shè)不變，故采取2013年的季節(jié)調(diào)整因子如表5所示：

表5 季節(jié)調(diào)整因子的預(yù)測(cè)值

根據(jù)以上的預(yù)測(cè)值對(duì)最終的CPI預(yù)測(cè)CPIF=SAF*SFF*IRF，得如下：

表6 X-12方法最終預(yù)測(cè)值

2.3 模型評(píng)價(jià)

兩種方法對(duì)于原始序列的擬合效果都不錯(cuò)，都是可選的。從理論上來講，SARIMA模型對(duì)于數(shù)據(jù)的擬合采取方式為提取樣本數(shù)據(jù)包含時(shí)間信息，而X-12可以更好的刻畫建立數(shù)據(jù)長期趨勢(shì)模型，提取季節(jié)因子，對(duì)于不規(guī)則變動(dòng)部分采取ARIMA模型的方式來估測(cè)數(shù)據(jù)，對(duì)數(shù)據(jù)的處理更完善，且更加穩(wěn)定，從本例的預(yù)測(cè)值來看，SARIMA模型的預(yù)測(cè)誤差在8%-9%之間，而X-12季節(jié)調(diào)整模型的預(yù)測(cè)誤差在2.0%以內(nèi)，其預(yù)測(cè)精度更高。下圖為兩種方法預(yù)測(cè)值的比較，從下圖可以看出，SARIMA模型對(duì)于居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)的估計(jì)，容易存在系統(tǒng)性偏差，如在本文中，SARIMA模型的估算結(jié)果，穩(wěn)定的小于真實(shí)值，而X-12季節(jié)調(diào)整模型的估算結(jié)果，則與真實(shí)值服從相同的波動(dòng)，故對(duì)于時(shí)間期限較長的數(shù)據(jù)，采用X-12季節(jié)調(diào)整模型容易得到更精確的估計(jì)結(jié)果。

圖5 兩種模型預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度比較

3 結(jié)論

價(jià)格指數(shù)時(shí)間序列通常不僅受到趨勢(shì)性的影響，更主要的是受季節(jié)性成分的影響，目前主要采用ARIMA或者考慮季節(jié)調(diào)整的SARIMA模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。雖然SARIMA模型短期預(yù)測(cè)精度很高，預(yù)測(cè)值的相對(duì)誤差可以控制在1%以內(nèi)，但是隨著時(shí)間序列數(shù)據(jù)的跨期增多，其長期預(yù)測(cè)效果一般，相對(duì)誤差范圍在10%以內(nèi)。故可以采用X-12季節(jié)調(diào)整方法直接對(duì)價(jià)格指數(shù)類時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，該方法盡管一直以來被用來處理時(shí)間序列的原始數(shù)據(jù)，真正應(yīng)用于預(yù)測(cè)的并不多，但通過本文的分析可以看到，直接采用X-12季節(jié)調(diào)整模型對(duì)于中長期數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)效果較好，其相對(duì)誤差控制在2%以內(nèi)。2014年，預(yù)計(jì)我國短期內(nèi)將不會(huì)出現(xiàn)CPI的大幅波動(dòng)，且CPI將高于同期比數(shù)據(jù)，短期內(nèi)我國消費(fèi)價(jià)格指數(shù)也不會(huì)出現(xiàn)大幅回落的情況，高于去年同期比的物價(jià)水平將持續(xù)一段時(shí)間。

[1]U.S.CensusBurean.X-12ARIMA Reference ManualVersion 012110,1～48[R]，2002.

[2]David F F,Brian C M,William R.B,et al,New Capabilities and Methods of The X-12-ARIMA Seasonal Adjustment Program[J].Journal of Business and Economic Statistics,2002.

[3]Paul-Edelstein.Commodity Prices,Inflation Forecasts,and Monetary Policy[C].Working Paper,2007,(1).

[4]Dickey D A W A.Fuller“Likelihood Ratio Statistics for Autoregressive Time Series With A Unit Root,”[J].Econometric ，1981，（9）.

[5]夏春.實(shí)際經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列的計(jì)算、季節(jié)調(diào)整及相關(guān)含義[J].經(jīng)濟(jì)研究，2002,(3).

[6]郭海.基于月環(huán)比均值和翹尾因素的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)短期頂測(cè)[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2011,(l).

[7]潘紅宇.時(shí)間序列分析[M].北京:對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)出版社，2006.

[8]董梅.基于VAR模型的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)預(yù)測(cè)[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2011,（1）.

[9]易丹輝，數(shù)據(jù)分析與Eviews應(yīng)用[M].北京:中國人民大學(xué)出版社，2008.

[10]謝佳利，楊善朝，梁鑫.我國CPI時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型的比較及實(shí)證檢驗(yàn)[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2008,(9).