一道典型題目的典型錯解

張尚財

內蒙古阿拉善盟第一中學

一道典型題目的典型錯解

張尚財

內蒙古阿拉善盟第一中學

均值不等式是不等式的一個重要變形依據，是高考中不可缺少的解題工具，常用于證明不等式、判斷不等式是否成立、求函數的值域或者最值、求字母的取值范圍、求解實際問題等，它所能解決的題型遍布高考試題的選擇、填空及解答題，但在運用時，同學們往往不能很好的運用均值不等式成立的條件。

例如：已知x>0,y>0，且，求x+y的最小值。

解：∵x>0,y>0，且

，故(x+y)min=12

上面解法看上去似乎每一步都是合情合理的，但實際上答案是錯誤的。那到底是為什么了？關鍵是沒有注意到利用均值不等式時等號成立的條件，即“且x=y”，顯然不能同時成立。下面提供幾種正確的解法：

一、利用均值不等式

均值不等式解題的關鍵是深刻理解“一正二定三相等”的內涵，只有使“七字”成為啟迪思維的動力，才能達到解題的效果。

解法1：∵x>0,y>0，且

故x=4,y=12時，(x+y)min=16

二、判別式法

把問題轉化為方程有實根從而利用判別式解題。

解法2：設

，得z≥16，故(x+y)min=16

三、三角換元法

利用“1”的特殊性,通過三角換元能夠巧妙解題。

解法3：∵x>0,y>0，且

四、數形結合法

數學家華羅庚說過“數無形卻直觀，形無數難入微”數形結合能開啟學生的思維，培養學生的能力，從而養成良好的解題習慣。

解法4

如圖，在圖像上找一點，使x+y最小

作直線y=-x,向上平移使當y=-x+z與相切時，x+y取最小值16.

五、導數法

解法5：由解法5知，當y=-x+z與相切時，x+y取最小值

通過多種解法，為學生的思維提供聯系，猜想，歸納抽象的機會，促使學生的思維由封閉狀態逐步過渡到開放狀態，從而培養學生思維能力，更有利于培養學生的分析問題和解決問題的能力。