基于時變市場分數的狀態依賴自信的金融市場動態模型

王 婧

(伊犁師范學院數學與統計學院，新疆伊寧835000)

近年來，由異質交易者關系引起的金融市場價格動態模型文獻得到了較好的發展，如Hommes[1]等.一方面，這些文獻說明異質交易者如何相互影響，并產生偏離基準價格的持續價格偏差;另一方面，模型能夠說明經典的收益時間序列及分布的特征，這些特征的出現與非線性因素密切相關.其中，基本面分析者－技術分析者關系模型扮演特定的角色，能夠捕捉基本的價格波動機制.從數學觀點看，在強趨勢推斷下阻止價格發散是一些非線性調整機制.Day and Huang[2]分析指出，非線性因素與基本面分析者關于資本損益的已知機會相關.由Brock and Hommers[3]提出的相關模型，之后由Chiarella and He[4－5]作了更進一步的研究，即代理商依據基于已知收益的非線性機制在消費理性與不理性預計法則之間轉變.遵循同樣的觀點，本文根據Chiarella et al.[6]研究提出，基本面分析者由于具有穩定市場的力量，隨著價格偏差變大也最終會帶動價格回饋到基準價格.

我們考慮具有兩種異質交易者的金融動態模型，即基本面分析者與技術分析者.技術分析者采用GDP過程形成期望，而非簡單的AR(1)過程，因為AR(1)過程在實證分析當中缺乏收益的自相關性.Chiarella et al.[7]研究中的技術分析者采用GDP過程，并引入噪聲交易者，用S＆P數據進行實證分析，得到了很好的金融市場典型的程式化事實:尖峰厚尾以及波動聚集性，而基本面交易者被假定是通過良好的經濟環境來形成期望，然而預測的自信度是狀態相依的，價格偏離基準價格較大，其更傾向于回饋到基準價格，同時，我們考慮市場分數的變化，Dieci et al.[8]采用時變的市場分數，考慮了市場情緒與發展適應性.這是對He[9](考慮了市場分數的情形，即MF模型，被用來解釋金融市場行為的各個方面，并建立隨機模型和其潛在的確定性系統之間的聯系)的發展延伸.

1 建立模型

根據 Chiarella et al.[6]的模型

這里假定有兩類投資者，即基本面分析者和技術分析者，分別用類型1和類型2表示.但我們引入時變的市場分數，根據Dieci et al.[10]分別令q1，t，q2，t為投資者的市場分數.假定市場分數為固定部分和時變部分.在t 時的市場分數(q1，t，q2，t)表達為

其中，n1和n2=1－n1表示基本面分析者和技術分析者在時間t的“不改變”投資者的比例.n1，t和n2，t表示時間 t的時變投資者比例.令 n0=n1+n2，m0=(n1－n2)/n0，mt=n1，t－n2，t.

那么市場分數又可重新寫為

1.1 異質期望

下面分析其本面分析者和技術分析者是如何采用不同的機制形成未來價格的預期.這里基本面分析者采用相同的價格預期.對于技術分析者來說，技術分析者一方面考慮過去的價格及價格的改變，另一方面他們用移動平均法則，通過比較短期移動平均和長期移動平均形成期望，對移動平均過程加入一個套利滯后長度，所以使用幾何衰減過程(GDP).這樣技術分析者的期望可以寫為

其中，τt為幾何衰減函數，ω∈[0，1]為記憶衰減率.ω越大，過去的價格對目前的趨勢影響越大.d代表推斷強度.如果d≥0則稱技術分析者為追風者，若d＜0則稱其為逆風者.

1.2 動力系統

利用以上分析，基本面分析者和技術分析者的需求函數可以寫為

其中，πh，t+1為兩類投資者從 t到 t+1 時期的已知收益，πh，t+1=zh，t(pt+1+yt+1－Rpt)，h=1，2.

遵循Brock and Hommes[3][11]的方法，假定時變投資者的比例由離散選擇模型決定，有

其中，Ch≥0是策略的固定成本，而參數β是選擇強度用來測度適應性理性交易者的比例對最優策略的敏感度.記 mt+1=n1，t+1－n2，t+1，那么此時價格制定為

這里令 A1=1/(a1[+])，A2=1/(a2[+]).

以下的動力學分析是通過假定σε=0來做的，得到了所謂的確定性動力系統模型.

2 映射及其特性

3維確定性動力系統由3維映射 T:(p，τ，m)→(p'，τ'，m')給出:

現在，簡要地討論一下平衡點的穩定性、穩定性區域及分支情況.概括為如下定理.

定理2 (i)若ω =0，當0＜μ＜μ*時，基本平衡點是穩定的，這里=[n0(1+m0)+(1－n0)(1+]/2=[n0(1－m0)+(1－n0)(1－]/2.另外，在μ = μ*處產生Flip分支.(ii)若0＜ω＜1，由參數(d，μ)確定的區域Ω為平衡狀態的局部漸近穩定區域，Ω =ΩF∪ΩN，這里 ΩF={(d，μ):d≤d0，0＜μ＜μF(d)}，ΩN={(d，μ):d ＞ d0，0＜μ＜μN(d)}，且當d≤d0時，在 μ=μF(d)的邊界上產生Flip分支，當d＞d0時，在μ=μN(d)的邊界上產生Hopf分支.其中

證明在平衡點處的特征方程為λΓ(λ)=λ[λ2－(A+ω+(1－w)B)λ+Aω]=0.其中A=知0是特征根，其它兩個特征根滿足Γ(λ)=λ2－(A+ω+(1－ω)B)λ +Aω =0.

當ω =0時，Γ(λ)=λ[λ－(A+B)]，基本平衡點穩定只需滿足－1＜λ =A+B ＜1，即0＜μ ＜，且當λ =A+B=－1時，即μ=μ*時產生Flip分支.

當0＜ω＜1時，由Jury判據知，特征根在單位圓內，即基本平衡點是穩定的，需滿足以下條件:(i)Γ(1)＞ 0;(ii)Γ(－1)＞ 0;(iii)ωA＜1.

上述式子成立需1－μA1＞0，則(i)Γ(1)＞0恒成立;(ii)Γ(－1)＞0等價于d≥d1或d＜d1，0＜μ＜ μF(d)，其中(iii)ωA ＜1等價于d≤d2或d＞d2，0 ＜μ ＜μN(d)，其中

當μF(d)= μN(d)時解得d0，有d2＜d0＜ d1，而

因此，穩定性條件就降為:當d≤d0時，0＜μ＜μF(d);當d＞d0時，0＜μ＜μN(d).

另外，當μ = μF(d)時，Γ(λ)=0的兩個特征根滿足λ1=－1以及λ2∈(－1，1);當μ = μN(d)時滿足|λ1，2|＜1.因此當d≤d0時，在μ=μF(d)邊界上發生Flip分支;當d＞d0時，在μ=μN(d)邊界上發生Hopf分支.

圖1 (d，μ)平面上穩定區域示意圖

圖1畫出了(d，μ)平面上的穩定區域，從分支邊界表達式易得出不同的參數對穩定區域的影響.即參數在一定范圍時，增大，β，a1，a2，減小 m0，n0，ω，C，可以使穩定區域增大，反之亦然.

3 結語

本文研究了在簡單的做市商定價機制下含兩類異質期望投資者，即基本面分析者與技術分析者，并加入了時變的市場分數的三維離散時間資產價格動力學模型.所不同的特點是假定基本面交易者擁有經濟環境的良好信息(包括技術分析者的信念)，并以此形成將來價格的期望，而且當價格偏離基準價格變大時，他們會置更過的權重于均值回饋到基準價格.這個機制能夠保證當基本平衡點局部不穩定時模型的全局穩定性，以此避免價格的發散.并在討論確定性系統時，得到了相應的分支邊界以及不同參數對穩定區域的影響.

[1]Hommes C H.Heterogeneous agent models in ecnomics and finance[J].Handbook of computational economics，2006(2):1109－1186.

[2]Day R H，Huang W.Bulls，bears and market sheep[J].Journal of Economic Behavior ＆ Organization，1990，14(3):299－329.

[3]Brock ，W.，Hommes C.H.Heterogeneous beliefs and routes to chaos in a simple asset prcing Model[J].Journal of Economic Dynamic ＆ Control，1998(22):1235－1274.

[4]Chiarella C，He X Z.Heterogeneous beliefs，risk and learning in a simple asset pricing model[J].Computational Ecnomics，2002，19(1):95－132.

[5]Chiarella C，He X Z.Heterogeneous beliefs，risk，and learning in a simple asset－ pricing model with a market maker[J].Macroeconomic Dynamics，2003，7(4):503－536.

[6]Chiarella C，Dieci R，Gardini L，et al.A model of financial market dynamics with heterogeneous beliefs and state－dependent confidence[J].Computional Economics，2008，32(1－2):55－72.

[7]Chiarella C，He X Z T，Zwinkels R.Heterogeneous expections in asset pricing:Empirical evidence from the S＆P 500[J].Journal of economic behavior＆ organization，2009(105):1－16.

[8]Dieci R，Foroni I，Gardini L，et al.Market mood，adaptivebeliefs and asset price dynamics[J].Chaos，Solitons＆Fractals，2006，29(3):520－534.

[9]He X.Asset pricing，volatility and market behavior:a market fraction approach[M].Sydney:School of Finance and Economics，University of Technology，2003.

[10]Chiarella C，Dieci R，He X Z.Heterogeneous expectations and speculative behavior in a dyn－amic multi－ asset framework[J].Journal of EconomicBehavior ＆ Organization，2007(62):408－427.

[11]Brock ，W ＆ Hommes C.H.A rational route to randomness[J].Econometrica，1997(65):1059－1095.

[12]王聯，王暮秋.常差分方程[M].烏魯木齊:新疆大學出版社，1991:202－204.