生產(chǎn)商提供價(jià)格折扣的供應(yīng)鏈合作廣告模型

陶 勝，劉慧琴

(閩南理工學(xué)院信息管理系，福建石獅362700)

Newsvendor型產(chǎn)品供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)問(wèn)題是當(dāng)今學(xué)界研究的熱點(diǎn)問(wèn)題，以往研究者在建模過(guò)程中均沒(méi)有考慮廣告費(fèi)用，或者考慮了廣告費(fèi)用只是一方投入而另一方不愿投入的方式，這不滿足市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)的需求，現(xiàn)實(shí)社會(huì)中廣告費(fèi)用都是由雙方共同承擔(dān)的，因此應(yīng)對(duì)合作廣告費(fèi)用問(wèn)題進(jìn)行研究.謝金星等人(2006)［1］不僅考慮了制造商與銷(xiāo)售商之間的Stackelberg合作廣告博弈而且還考慮了制造商與銷(xiāo)售商之間的垂直Nash博弈.Jin Feng Yue等人(2006)［2］將上述學(xué)者的工作推廣到允許制造商提供價(jià)格折扣以刺激需求的情形，其假設(shè)了需求函數(shù)不僅與制造商和銷(xiāo)售商各自的廣告投入有關(guān)，而且還與制造商給予顧客的直接價(jià)格折扣有關(guān).孫衍林(2007)［3］考慮在隨機(jī)需求條件下，供應(yīng)鏈上下游無(wú)合作時(shí)，需求方承擔(dān)全部庫(kù)存風(fēng)險(xiǎn)，其個(gè)體理性決策無(wú)法實(shí)現(xiàn)供應(yīng)鏈的整體優(yōu)化.Berk(2007)［4］根據(jù)缺貨需求概率密度函數(shù)服從貝葉斯分布研究Newsvendor型產(chǎn)品，Lau A H和Lau H S(2007)［5］討論的是價(jià)格折扣方面問(wèn)題;Weng Z K(2004)［6］就制造商與銷(xiāo)售商之間訂貨量的協(xié)調(diào)問(wèn)題作了相關(guān)研究;王圣東(2008)［8］首次將直營(yíng)店的模式引入到Newsvendor型產(chǎn)品合作廣告問(wèn)題中，給出了一種協(xié)調(diào)策略，使得制造商和銷(xiāo)售商都愿意達(dá)成廣告合作.

1 模型的建立與求解

本文考慮了由單一生產(chǎn)商與單一銷(xiāo)售商組成的兩層供應(yīng)鏈，生產(chǎn)商生產(chǎn)某種Newsvendor型產(chǎn)品給銷(xiāo)售商.在主從博弈假定下，生產(chǎn)商一方面要分?jǐn)備N(xiāo)售商的一部分地方廣告費(fèi)用，另一方面要直接提供價(jià)格折扣給顧客，分析得出生產(chǎn)商最優(yōu)地方廣告費(fèi)用的分?jǐn)偙壤约白顑?yōu)價(jià)格折扣率的范圍，并通過(guò)算法算出最優(yōu)價(jià)格折扣率以及雙方的最優(yōu)利潤(rùn).

關(guān)于Newsvendor型產(chǎn)品需求率，可從以下兩方面來(lái)考慮:第一，需求率的不確定性;第二，廣告宣傳的影響，即與生產(chǎn)商的品牌廣告投入和銷(xiāo)售商的地方促銷(xiāo)廣告支出大小有關(guān).此外，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查可知，若這兩家的廣告費(fèi)用投入的越多，則消費(fèi)者對(duì)該產(chǎn)品品牌的了解就越多，從而促使?jié)撛谙M(fèi)者來(lái)購(gòu)買(mǎi)該產(chǎn)品.但潛在消費(fèi)者也是有限的，所以靠廣告投入來(lái)影響需求不可能是無(wú)限增加的，最終會(huì)逼近于某個(gè)上界值.因此，假設(shè)Newsvendor型物品的期望需求是關(guān)于m和r增加的凹函數(shù)，其他研究者均采用了如下需求函數(shù).

D(m，r)= α－βr－um－v.(1)

這里D(m，r)是關(guān)于r和m的不減函數(shù)，當(dāng)?shù)胤酱黉N(xiāo)廣告費(fèi)或品牌廣告費(fèi)用逼近零時(shí)或者兩者同時(shí)逼近零時(shí)，則需求量D逼近常數(shù)α.

上述這種需求形式能全面地反映廣告效應(yīng)對(duì)需求的影響.但生產(chǎn)商為了提高利潤(rùn)，就會(huì)將品牌廣告費(fèi)用、地方促銷(xiāo)費(fèi)用、價(jià)格折扣三者聯(lián)系起來(lái)加以考慮.本模型考慮生產(chǎn)商是直接提供價(jià)格折扣給消費(fèi)者以刺激需求，設(shè)需求函數(shù)為

即需求的概率密度函數(shù)可表示為

則銷(xiāo)售商的期望利潤(rùn)為

生產(chǎn)商的期望利潤(rùn)為

整個(gè)供應(yīng)鏈的期望利潤(rùn)為

在獨(dú)立決策下，生產(chǎn)商與銷(xiāo)售商將遵從以生產(chǎn)商為主的Stackelberg博弈.因此生產(chǎn)商要先告知銷(xiāo)售商，他所承擔(dān)的品牌廣告費(fèi)用m以及地方促銷(xiāo)廣告費(fèi)比例t;而銷(xiāo)售商則要根據(jù)生產(chǎn)商的決策來(lái)確定使利潤(rùn)最大化的最優(yōu)地方廣告投入r以及最優(yōu)訂貨量Q*.

當(dāng)Q∈(0，+∞)時(shí)，有

即E(ΠR(r，Q))是關(guān)于變量Q是上凸函數(shù)，則存在唯一的最優(yōu)訂貨量Q*，滿足方程E(ΠR(r，Q))Q=0.

則有

于是

Q*=D(m，r，ε)Φ，其中

將(10)代入(4)，可得

又因?yàn)?/p>

令

即E(ΠR(r))是關(guān)于地方促銷(xiāo)廣告費(fèi)用r的凹函數(shù).

而

接下來(lái)將給出生產(chǎn)商的最優(yōu)策略.先將(2)和(10)代入(5)，有

可得

又由

將(14)代入(15)，則有

令

將(17)、(18)代入(10)、(12)，則有

Q*=S(m*(ε)，r*(ε)，ε)Φ.則有

若 m*(ε)，r*(ε)都是關(guān)于 ε 的增函數(shù)，則令h(ε)=(1－ε)－e［(w－εP0－ c)Φ－Au］，有即 e［(w －c)Φ －Au］－P0Φ －P0Φε(1 －e)＞ 0.

則若e＜1時(shí)，有

若e＞1時(shí)，有

當(dāng)0≤t*＜1時(shí)，有

生產(chǎn)商分?jǐn)偟胤酱黉N(xiāo)廣告費(fèi)用［1－t*(ε)］r*(ε)是關(guān)于ε的單調(diào)遞增函數(shù).因此，當(dāng)生產(chǎn)商向消費(fèi)者提供價(jià)格折扣時(shí)，銷(xiāo)售商就會(huì)增加地方促銷(xiāo)廣告費(fèi)用.

生產(chǎn)商愿意向消費(fèi)者提供價(jià)格折扣主要基于以下因素:擴(kuò)大市場(chǎng)占有份額;迫于同行業(yè)的競(jìng)爭(zhēng)壓力等.接下來(lái)，我們將研究生產(chǎn)商取得最大利潤(rùn)的價(jià)格折扣率ε*，為接近現(xiàn)實(shí)情況，下面只考慮在0≤t*＜1的情形.

證明 因?yàn)?/p>

而函數(shù)E*(ΠM(ε))在ε=0的導(dǎo)數(shù)為

又因?yàn)?＜ε＜1，則有

因此，存在唯一的價(jià)格折扣率ε*使得制造商的利潤(rùn)達(dá)到最大.

在滿足定理1的條件下，生產(chǎn)商需要決定當(dāng)價(jià)格折扣率ε是多少時(shí)自己能獲得最大利潤(rùn)，可由方程求出ε*.但由于計(jì)算比較復(fù)雜，這里我們僅能得到ε*的一個(gè)取值范圍.

定理2 在定理1的條件下，ε*可被限制在ε1≤ε*≤ε2，其中

證明 因?yàn)?/p>

下面給出求解ε*的算法:

步驟1 在定理1的條件下，如果價(jià)格折扣能夠使得制造商的利潤(rùn)增加，進(jìn)入下一步，否則，ε*=0;

步驟2 定義θ為任意小的正常數(shù)，令ε=ε1;

步驟3 通過(guò)(21)計(jì)算E*(ΠM(ε));

步驟4 如果ε+θ＞ε2，令ε*=ε停止.否則，通過(guò)(21)計(jì)算E*(ΠM(ε+θ));

步驟5 如果E*(ΠM(ε+θ))≤E*(ΠM(ε))，令ε*=ε停止.否則，令ε =ε+θ，進(jìn)入步驟4.

上述算法將會(huì)得到一個(gè)價(jià)格折扣率，它通過(guò)θ的值得到最優(yōu)的價(jià)格折扣率ε*.然后將ε*代替ε代入(17)、(18)、(19)，得到生產(chǎn)商的最優(yōu)品牌廣告投入、地方促銷(xiāo)廣告費(fèi)用、生產(chǎn)商的地方促銷(xiāo)費(fèi)用的投入比例.類(lèi)似地，將ε*代替ε代入(4)和(21)，我們能分別得到生產(chǎn)商和銷(xiāo)售商的最優(yōu)利潤(rùn)，以及整個(gè)供應(yīng)鏈的利潤(rùn).

2 應(yīng)用舉例

為說(shuō)明本模型的現(xiàn)實(shí)性，現(xiàn)設(shè)模型中的參數(shù)值如下:c=40，w=60，P0=105，s=10，α =5000，β =4*107，u=0.4，v=0.55，e=2，且 X 是期望為 1.

利用本模型提供的算法可得，在制造商與銷(xiāo)售商的獨(dú)立決策下的最優(yōu)策略及有關(guān)的期望利潤(rùn)值是:ε*=0.15760，t*=0.17912，r*=18837.65，m*=25901.78，Q*=1578.71，E*(ΠM)=2371.52，E*(ΠR)=3789.73，E*(Πs)=6161.25.

3 結(jié)語(yǔ)

本文提出生產(chǎn)商分擔(dān)銷(xiāo)售商的地方促銷(xiāo)廣告費(fèi)用，且生產(chǎn)商直接讓利于消費(fèi)者，并證明了生產(chǎn)商的利潤(rùn)存在唯一最大值，由數(shù)值計(jì)算能夠得出最優(yōu)價(jià)格折扣率和該模型問(wèn)題中的其他最優(yōu)值，對(duì)解決實(shí)際問(wèn)題有一定的參考價(jià)值.

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