新課標背景下高中數學概念教學的實踐與研究

【摘 要】概念是數學知識體系的重要組成部分，要學好數學必須先融會貫通數學概念。改建數學概念教學方式，提升數學概念教學水平，強化學生對數學概念的理解，是使學生融會貫通地掌握數學知識、增強思維能力的前提條件。目前，在數學概念的教學中，還存在著對基本概念重視不夠，或雖重視但方法又欠科學的現象。要想糾正之，轉變觀念是關鍵，教師應創設新穎情境，增強學生的好奇心和學習興趣，從而激活學生思維，提高學習效率。

【關鍵詞】高中數學 概念教學 教學策略

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）10-0134-05

概念是數學知識體系的重要組成部分，要學好數學必須先融會貫通數學概念。數學家華羅庚曾說過：數學的學習過程就是不斷建立各種數學概念的過程。中學數學的顯著特點就是概念增多了，邏輯性增強了。僅在立體幾何這部分中就前后出現了平行、垂直、圓、異面直線等十幾個重要概念。在新課標背景的高中數學新教材里共出現了340多個概念。數學的內容展開，都建立在這些數學概念的基礎之上。如果理解掌握不了這些概念，后面的學習將不可能進行。所以，改建數學概念教學方式，提升數學概念教學水平，強化學生對數學概念的理解，是使學生融會貫通地掌握數學知識、增強思維能力的前提條件。

一 當前概念教學中存在的主要問題

在重視開放性教育的今天，中學數學概念教學更加靈活多樣，要改變“教師注入式”為“激勵學生主動參與式”，那么，調動學生的主體意識，讓學生親身參與到獲得概念的智力體驗過程尤為重要。

目前，在數學概念的教學中，還存在著對基本概念重視不夠，或雖重視但方法又欠科學的現象，習慣于照本宣科，再讓學生反復抄寫背誦，教學缺乏創新精神，結果學生把概念背得滾瓜爛熟，但理解得不夠深透，掌握得模棱兩可，往往造成解題時漏洞百出。糾正之，轉變觀念是關鍵，教師應創設新穎情境，增強學生的好奇心和學習興趣，從而激活學生思維，提高學習效率。

要提高數學教學質量，必須加強基礎知識和基本技能的教學，而概念教學又是“雙基”教學的核心，必須在教學中引起足夠的重視。長期以來，由于受應試教育的影響，不少教師重解題、輕概念，造成數學概念與解題脫節的現象。有些教師僅僅把數學概念看作一個名詞而已，概念教學就是對概念作解釋，要求學生記憶。而沒有看到像函數、向量這樣的概念，本質是一種數學觀念，是一種處理問題的數學方法。一節“概念課”教完了，也就完成了它的使命，剩下的是趕緊解題，造成學生對概念含糊不清，一知半解，不能很好地理解和運用概念，嚴重影響了學生的解題質量。

一般來講，在當前概念教學中存在的主要問題是：

1.對數學概念教學的重要性和必要性理解不夠深刻

有教師認為，概念教學無非是把一些數學名詞、術語交代明白，解釋清楚，因而在教學上習慣于采用注入式方法，硬灌給學生，不關注教學效果；還有些教師，雖然也講要重視概念，但由于不太了解概念形成的過程，很少去研究概念教學的規律，實際上并不清楚概念在數學中的地位和作用， 因而在教學時常常表現出心中無數，不能從理論的高度引導學生重視對概念的學習，更無法闡明概念在解題中的作用。

2.在概念教學中存在著缺乏計劃性和彼此割裂的現象

近年來，由于種種原因，不少教師特別是年輕教師對整個中學數學教材不熟悉，更缺乏研究，因此教概念常常是照本宣科、顧此失彼的。

例如，絕對值的概念，這是中學數學中的難點之一，由學習有理數運算法則的需要而引入；在學習二次根式時，又由于 |a|與算術根聯系起來；到方程與不等式中又再次出現；在直角坐標系中，因為|x| ，它又是兩點間距離公式的特例；到高中，學習了函數知識后，還可以把實數的絕對值規定為|a|=max{-a，a}；在復數里，復數的模又可以理解為實數的絕對值概念的推廣。不難設想，一位對這些知識不太了解的教師，很難將這一概念的教學任務和要求分階段有計劃的完成得恰到好處。因而，為了進一步搞好概念教學，必須有計劃的逐步提高我們掌握教材的水平，努力做到熟悉中學數學教材的全部內容。

3.在概念教學中，不能自覺地運用邏輯知識而影響概念教學的質量

目前，許多年輕老師的邏輯知識功底較差，對概念的內涵、外延，定義的結構和法則，分類法則，以及對概念的限制和擴大等不甚了解，因而概念教學質量不高。有的教師甚至不太了解“凡是定義都是一種特殊的命題”，不清楚命題中的條件與結論互為充要條件，即原命題是正確的，逆命題也是對的。

二 數學概念教學的基本策略

對于數學概念，即使是最簡單的原始概念，也不能望文生義，只從表面上理解其意義。在現實的數學教學中，教師既要準確地把握它的本質（這是掌握概念的基礎），又要充分了解和掌握它的外延（這樣才有利于概念的理解和擴展）。同時，要對概念中的各種條件、各項規定、各個關鍵詞都要逐一分析、深度挖掘、綜合理解，使學生對之印象清晰，掌握牢固。

一般地講，圍繞一個數學概念，應力求明了下列各個方面的問題：（1）這個概念討論的對象是什么？有何背景？（2）概念中有哪些規定和條件？它們與過去的知識有什么聯系？這些規定和條件的確切含義又是什么？（3）概念的名稱、術語有什么特點？與日常用語比較，與其他概念、術語比較，有沒有容易混淆的地方？應當如何強調這些區別？（4）這些概念有沒有重要的等價說法？為什么等價？（5）根據概念中的條件和規定，能夠歸納出哪些基本性質？各個性質又分別由概念中哪些因素（或條件）所決定？這些性質在應用中有什么作用？能否派生出一些重要的數學思想方法？等。

例如，函數概念，它最早出現于初中數學。事實上，在此之前，教材中對于函數的觀點已多有滲透。到了高中，這個概念又進一步深化，成為貫穿整個高中數學知識的一條主線。在高中數學引進“映射”概念之后，首先復述了初中學過的函數定義：“如果在某變化過程中有兩個變量x，y，并且對于x在某個范圍內的每一個確定的值按照某個對應法則，變量y都有唯一確定的值與之對應，那么y就是x的函數，x叫做自變量，x的取值范圍叫做函數的定義域，和x的值對應的y值叫函數值，函數值的集合叫做函數的值域。”接著，從映射的觀點出發，又作了如下的陳述：“映射f∶A→B包括三個部分：原象集合A、象所在的集合B以及從A到B的對應法則f。當集合A、B都是非空的數的集合，且B的每一個元素都有原象時，這樣的映射f∶A→B都是定義域A到值域B上的函數。”最后指出，“數是由定義域、值域以及定義域到值域上的對應法則三部分組成的一類特殊的映射?！?/p>

教材中，關于函數概念的表述就只有這么多文字。但是“函數”這個詞，以及形形色色的具體函數和抽象函數的研究和討論，教材中卻幾乎處處可見。因而，對于函數這個基本和重要的概念，絕不是簡單地僅僅根據這段文字向學生作些詮釋和強調就能奏效的，必須按上述的方方面面逐步深入地引導學生去理解和掌握。也就是說：

第一，根據教材對“函數”這個概念所給出的定義，作為初步認識，要讓學生知道：函數研究的對象是兩個有著主從依賴相互制約的確定關系的變量。在客觀世界中，廣泛存在著這樣的變量。如：正方形的面積隨邊長的大小而變化，邊長給定，面積也隨之確定；物體做勻速直線運動時，如果速度不變，運動時間給定后，則路程的長短也隨之確定等。

第二，變量y要成為變量x的函數，除通常理解的主從依賴關系外，還必須滿足下列條件：（1）變量x和y分別在一定的取值范圍內變化，取值范圍可用數的集合A和B表示；（2）y隨x而變，有確切的規則可循，即存在著一個對應法則，根據這個法則，對于數集A中的每一個x的值，數集B中都有唯一確定的y值與它對應。至于A 中不同的兩個x的取值，它們所分別對應的y值是否相同，卻是無關緊要的。

不難看出，從變量之間的變化關系著眼建立函數概念的關鍵不是研究變量自身或者自身變化的特點，而是注重兩個變量的取值范圍（即數集A和B）之間的一種特殊的對應關系。因而，函數的實質是“由定義域、值域和一種滿足特定條件的對應法則等三部分組成”。

最后，滿足一般函數定義的各種具體函數，按其自身特點還會派生出各自的性質和研究方法。然而，萬變不離其宗，它們仍將適合函數的一般概念和性質。因而，函數的一般概念和性質應是教學中貫穿始終的脈絡。

三 數學概念教學過程的三個階段及教學措施

1.概念的引入——拋磚引玉，引人入勝

縱觀數學的發展史，數學概念的形成都是在歷史和現實的千呼萬喚中產生的，都有其自然和深刻的背景。即使有些概念是由單純的數學的發展而引入，但人們總會努力尋找這個概念與其他學科的聯系，使人們感到數學概念不是強加在他們頭上的遠離生活的抽象物。所以，教師應該首先設法消除學生心理上的神秘感和恐懼感，讓他們知道面對的內容是什么，解決什么問題。好的概念引入不僅使學生順利地進入新的教學情境，幫助他們從本質上認識和把握概念，而且因勢利導，激發他們濃厚的學習興趣和執著求索的強烈熱情。所以人們說：“良好的開端是成功的一半。”在引入過程中，需要做好以下幾點：

第一，順應認知規律。人們對客觀事物的認識總是在感覺、知覺和表象的基礎上，從低級到高級，從現象到本質，通過對感性材料的分析、比較、去偽去粗，舍棄非本質的細節，從中概括出本質屬性，才形成正確的概念。所以，在引入時，教師應著眼于增強學生的感性認識，給學生提供盡量豐富的背景材料和典型的基本事實，盡可能從他們身邊熟悉的事物或已有的生活經驗入手，使內容直觀、生動、鮮活，以喚起他們強烈的求知欲望。

如在講“一一映射”的概念時，為了形象具體地感知“一一映射”的概念，教師可以舉身邊的實例。如設A={本班的學生}，B={學生坐著的椅子}，并規定（1）一個學生只能坐一把椅子，這就是從A到B的映射。（2）不同的學生坐不同的椅子，這就是A中的不同元素在B中的象也不同。（3）每把椅子上都坐著學生，這就是B中的每一個象在A中都有原象。由此例引入“一一映射”的概念，學生較易感知和理解。

第二，掌握學生的認知結構?，F代認知心理學家認為： 學生的學習是以一切現有的認知發展水平為出發點，所以概念教學只有與學生的認知水平相適應，才能促進學生的認知發展。而概念教學得以展開的根本原動力正是學生原有的認知結構與新概念之間的矛盾。當碰到新概念時，用已有的知識不能解決，這樣就產生了矛盾。如果學生意識到這種矛盾，教師根據新概念與學生原有的認知結構間的差異去制造一種適當的矛盾情境，使這種矛盾在學生的內部產生激化，就能促進學生展開全面分析、綜合活動、消除矛盾、掌握概念。所以，教師把握好學生現有的認知結構狀況是極其重要的。

例如：在函數的零點這一數學概念教學中，在學生原有的認知基礎上，一般認為零點是點，應該既有橫坐標，又有縱坐標。顯然這種理解是錯誤的，這就需要老師幫助學生強化：函數f（x）的零點 方程f（x）=0的根 函數f（x）圖像與x軸交點的橫坐標。

又如在立體幾何中，二面角的概念是“平面內的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面，從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角”，這與通常所講的角的概念“從一點引出的兩條射線所組成的圖形叫角”是有本質區別的。

第三，注意語言的表述。語言要準確、清晰、簡明、通俗，富有啟發性和感染力，讓學生聽得清楚、容易理解、產生樂趣。精彩的語言不僅使學生的注意力集中，逐步把他們的思維引向深處，而且讓他們深切地感受到，數學不是一門枯燥無味、令人窒息的學科，而是充滿激情、富有哲理、情理相容的生氣勃勃的學科，從而大大激發他們學習的潛能，積極主動地探求知識。

2.概念的形成——循序漸進，潛移默化

概念的形成是一個對某類事物共有本質不斷辨別、抽象、概括的思維過程，是概念教學最重要的過程。在此過程中，如何調動學生的積極性、主動性和創造性是關鍵，所以應做好以下幾點：

第一，發揮教師的主導作用，充分體現學生的主體地位。在教學過程中，教師發揮引導、示范、組織、點撥、激勵的主導作用，學生是學習的主體和決定因素。實踐告訴我們，學生的學習是一個復雜的過程。很多時候，教師講得清楚、透徹，學生不一定就學會了；教師講得生動，也不等于學生一定有收獲。學生掌握知識提高能力的最有效途徑是持續、主動地自我學習，自己親自實踐、親自體驗。所以，一切教學活動只有通過學生的自身活動才容易被接受。那么如何讓學生通過自己的活動，積極主動地參與課堂教學的學習呢？蘇聯教育家蘇霍姆林斯基說：“在人的心靈深處都有一種根深蒂固的需要，那就是希望自己是一個發現者、研究者和探索者。”因此教師應想方設法為學生制造一種探索的氛圍，激發他們“發現”的樂趣和愿望，讓他們具有一個“發現者”的心理狀態，在比較中發現規律，從變化中尋求本質。他們通過自己的猜測、思考、探索，發現數學的結論，體味數學發現的艱辛和樂趣，嘗試探索的甘甜和成功的喜悅。

所以有人說：“數學不是靠教師教會的，而是在教師的指導下，靠學生自己學會的。”

第二，及時準確地捕捉學生思維的興奮點，把握啟發的時機。如果一堂數學課設計合理，非常生動，讓學生感覺娓娓道來，教師就會把學生的思維牢牢吸引住，就會引導學生積極思維，緊跟教師的步伐，共同合作探究。比如，遇到疑難之處，如果教師能夠引導學生自己分析問題、發現問題，學生就會思考，這里該怎么辦，是怎么回事？如果教師沒有充分備課、備學生，沒有考慮到這一點，只顧自己講下去，而大多數學生的思維仍然停留在前面那個問題上，根本聽不進下面教師講的內容，其效果肯定很差。但如果教師能及時地暗示學生這里有內容問題，怎么辦，學生就有“豁然開朗”、“正中下懷”、“順其自然”的感覺，聽得津津有味。

例如，在定積分概念的形成中，我們以計算曲邊梯形的面積為例。學生開始對“曲邊”而非“直邊”無從下手，可以先舉兩個簡單的例子：地球近似于橢圓，但在我們腳下的部分是平的；拱橋是弧形的，但砌成的磚是直的，為什么？學生的思維頓時活躍起來，原來只要把整體劃分為一個個細小的局部，這些細小的曲邊梯形就近似于矩形，而且劃分越細越接近。這樣“以曲化直”“以直代曲”問題不就解決了嗎？

第三，適當加強對概念的物理應用的講解。物理科學不僅給了我們數學求解問題的機會，而且還幫助我們發現解決問題的方法。微積分的起源與物理問題密切相關，許多數學問題從物理學中產生，不少數學理論正是為處理深刻的物理問題而得以發展。所以，在教學中，教師不僅要重視講解幾何意義，而且應當適當加強對物理方面應用的講解. 這樣更有利于學生對數學知識的理解和開闊視野，增強解決實際問題的能力。

例如，在講授向量的加法時，作為高中數學中這一全新的領域，教師授課時最好聯系學生學過的相關物理知識。向量加法的平行四邊形法則應連系物理中力的合成，三角形法則應連系物理中物體的位移，這樣講解學生更容易接受向量的相關知識。

第四，抓住概念間的內在聯系，通過新舊概念的對比，形成正確的概念。數學是一門系統的科學，數學知識則是由概念和原理組成的體系，每一個概念總要與其他概念發生聯系，每一個概念都包含于一定的體系中。當學生領會了所學概念在整個體系中的地位和作用之后，才能深刻地理解、牢固地記憶、靈活地應用。

3.概念的鞏固——對癥下藥，觸類旁通

一種思想、一種觀念的形成絕非一蹴而就，人們對客觀事物的認識不能一次完成。數學概念的學也必須經過從生動的直觀到抽象的思維，再從抽象的思維到實踐，這樣多次反復，逐步精確，才能完成。所以概念形成之后的深化和鞏固顯得尤為重要，為此，應做好以下幾點：

第一，拓寬概念的外延，建立系統的知識結構。內涵是概念的質的方面，它說明所反映的事物的本質；外延是概念的量的方面，它說明所反映事物范圍。研究表明，學生在未達到認知完善化和缺乏積累的經驗背景時，所學到的概念肯定是一定的變化范圍的。隨著所學概念的增多，概念間的聯系也變得越來越復雜，零散的知識不僅會讓學生的思維混亂、模糊不清，而且容易產生厭學心理，失去學習的信心。所以，重視概念間的內在聯系，注意把個概念放到概念的相互聯系中，有助于學生從一個新的高度上來明確概念的內涵和外延，減少張冠李戴、丟三落四的錯誤發生。

例如，三角函數的定義，經歷了以下三個循序漸進、不斷深化的過程：（1）用直角三角形邊長的比刻畫的銳角三角函數的定義。（2）用點的坐標表示銳角三角函數的定義。（3）任意角的三角函數的定義。（4）復數的三角函數的定義。

由此概念衍生出：（1）三角函數值在各個象限的符號；（2）三角函數線；（3）同角三角函數的基本關系式；（4）三角函數的圖象與性質；（5）三角函數的誘導公式等。

可見，三角函數的定義在三角函數教學中可謂重中之重，是整個三角部分的奠基石，它貫穿于與三角有關的各部分內容并起著關鍵作用?！澳サ恫徽`砍柴工”，重視概念教學，挖掘概念的內涵與外延，有利于學生理解概念。

第二，及時反饋，增進了解。教師有針對性、有計劃地從概念內涵的幾個方面精選習題給學生練習。一方面通過練習，教師可以對學生掌握的情況有較全面的了解，同時也是對自身教學內容的自我檢測和教學方法上的自我反省： 教法是否得當？闡述得是否準確而深入淺出？教學安排是否合理？是否有利于學生主動性的發揮？提問是否確切？是否具有啟發性？是否有利于學生能力的培養？教學目的是否達到？等。從而及時調整和改進教學方法和過程，啟發和引導學生對概念正確理解。另一方面，學生通過自己在習題中所犯錯誤的反復思考，以及尋找導致錯誤的緣由，及時糾正錯誤和偏差，消除概念理解的不準確性。這不是通過記住別人所給的答案能實現的，它是學生通過自己的體驗而建構的，是知識完善化的結果。

第三，加強概念的綜合應用。緊扣數學概念的本質屬性，配備具有引導功能的例題組織教學，有助于強化概念間的聯系，鞏固概念網絡，加深理解概念。

例如，下面是兩個用概念來解題的例子：問題1：在ΔABC中，AB=6，AC+BC=10，求頂點C軌跡方程。問題2：AB為過拋物線y2=2px焦點F的弦，求證：以AB為直徑的圓必與準線相切。

又如，當學習完“向量的坐標”這一概念之后，在進行向量的坐標運算時，教師可提出問題：已知平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分別是（0，0）、（2，3）、（5，7），試求頂點D的坐標。對于此問題，學生展開了充分的討論，不少學生運用平面解析幾何中學過的知識（如兩點間的距離公式、斜率、直線方程等），結合平行四邊形的性質，提出了多種不同的解法：有的學生應用共線向量的概念給出了解法，有的學生運用所學向量坐標的概念，將點D的坐標和向量AC的坐標聯系起來，巧妙地解答了這一問題?？梢姡瑢W生通過對問題的思考，不僅復習、鞏固了舊的概念，而且很快就投入到對新概念的探索中去。

應用的廣泛性是數學的特征之一，正是數學的廣泛應用推動了其他學科和自身的發展。數學教育的目的不僅是教給學生數學知識，而且更重要的是培養學生應用數學的意識。從知識的掌握到知識的應用不是一件簡單、自然就能實現的事情，沒有充分的有意識的訓練，學生的應用意識不會形成。所以，在日常教學中，結合教學的內容向學生介紹大量的、范圍廣闊的應用實例，讓學生經歷再發現和再創造的過程，從而真正理解而不是形式上的記住。

在數學知識實踐化，實際問題數學化面前，他們深刻體會到，數學來源于生活，生活離不開數學，數學有用，用數學有樂，真正實現了有意義的學習。當然，概念教學并非每個概念都要求追溯其源，探求其本，但對重要的概念務必竭力使學生了解它的發生過程和思維過程，才能收到良好的教學效果。

總之，研究數學概念教學方式，創新數學概念教學方法，使學生透徹地牢固地理解掌握數學概念是提高數學教學質量的癥結所在，一個數學教師首先應該認識到數學概念教學可以加強數學基礎知識教學，幫助學生發展和強化數學的創新意識和應用意識，幫助學生培養空間想象能力和邏輯思維。因此，在概念教學中，要根據“課標”對概念教學的具體要求，創造性地使用教材，優化概念教學設計，把握概念教學過程，真正使學生在參與的過程中產生內心的體驗和創造，達到認識數學思想和本質的目的，從而收到良好的教學效果。

參考文獻

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