應用實例在高等數(shù)學中的運用

【摘 要】高等數(shù)學是高職院校的基礎(chǔ)課程之一，本文以案例教學為載體，通過若干具體應用實例闡述了如何培養(yǎng)學生的數(shù)學應用能力和實踐能力，從而更好地適應當前高等職業(yè)教育的發(fā)展，同時也指出了案例實施過程中一些需要注意的問題。

【關(guān)鍵詞】案例教學法 高等數(shù)學 高等職業(yè)教育 應用能力

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）30-0038-02

中國的高等職業(yè)教育于20世紀80年代正式納入國民教育體系，成為中國高等教育事業(yè)的重要組成部分。經(jīng)過若干年不斷探索和總結(jié)，高職教育確立了培養(yǎng)生產(chǎn)、建設、管理、服務第一線的高素質(zhì)、高級技能型專門人才的培養(yǎng)目標，確立了工學結(jié)合為其重要人才培養(yǎng)模式，并對課程體系進行了一系列各具特色的改革，取得了一些有價值的成果。

高等數(shù)學是一門重要基礎(chǔ)課程，在信息時代大背景下，其數(shù)學思想和數(shù)學思維方法越來越受到各行各業(yè)的重視。在高職教育中，數(shù)學課程首先是為專業(yè)課程提供必要的數(shù)學基礎(chǔ)，并在此基礎(chǔ)上培養(yǎng)學生應用高等數(shù)學解決實際問題的能力和素養(yǎng)，概括來講，就是“理解概念，聯(lián)系實際，深化應用，提高能力”。然而，在高職教育從無到有，到遍地開花、蓬勃發(fā)展的這些年，高等數(shù)學的課程改革卻是舉步維艱，特別是在“如何培養(yǎng)學生應用數(shù)學、實踐數(shù)學的能力和素養(yǎng)”這一點上，探索顯得尤為艱難。有相當一部分學生覺得數(shù)學“學了不知道有什么用”“學完就忘”等，因此，如果要切實提高學生學數(shù)學的興趣和用數(shù)學的能力，就必須想辦法讓學生“動”起來，而案例教學就是動態(tài)學習過程的一個良好載體。

案例教學法起源于20世紀初美國哈佛大學，即圍繞一定的培訓目的把實際中真實的情境加以典型化處理，形成供學生思考分析和決斷的案例，通過獨立研究和相互討論的方式，來提高學生分析問題和解決問題的能力的一種方法，在當今世界的教育和培訓中受到重視和廣泛的應用。本文主要討論若干應用實例在高等數(shù)學教學中的運用實踐，旨在對如何提高學生的數(shù)學應用能力做一些探索。

實例一：割圓術(shù)

案例介紹：公元263年，中國古代數(shù)學家劉徽在《九章算術(shù)注》中給出了一種求圓面積的方法——“割圓術(shù)”，先作圓的內(nèi)接正三角形，記其面積為S1，再作圓的內(nèi)接正四邊形，記其面積為S2…，一直下去，記圓的內(nèi)接正n邊形的面積為Sn，于是得到一個數(shù)列S1，S2…Sn…。當n無限增大時，Sn無限接近于圓的面積S。

案例實施：解決這個案例，學生大概需要分三步實現(xiàn)，流程如下：

案例應用：極限是微積分的基石，該案例的實施過程是極限應用的典型范例，后續(xù)無論是切線斜率問題（導數(shù)）還是曲邊梯形面積問題（定積分），其推導過程都遵循了上述“建立函數(shù)表達式”——“將所求量表示為函數(shù)（數(shù)列）的極限”——“計算極限”這樣的分析過程。

實例二：蜂巢結(jié)構(gòu)

案例介紹：觀察蜂巢的一個儲藏室，它是中空的正六角形柱，而底部是由三個菱形面組成，交會于底部中心頂點G。著名天文學家馬拉爾第觀察到了作為蜂房底的3個菱形的鈍角等于109°28′，銳角等于70°32′。

馬拉爾第的結(jié)果引起法國著名的博物

學家雷奧姆的興趣，他猜測蜜蜂選擇

這兩個角度一定是有原因的，可能就

是要在固定容積下，使表面積為最小，

即以最少的蜂蠟做出最大容積的儲藏

室。這個猜測被瑞士數(shù)學家柯尼格從

理論上做了證明（他的計算結(jié)果與實測值僅差兩分）。

案例實施：設正六邊形的邊長為2a，G到平面B1D1F1的距離為x，GC1=2y，實施流程如下：

案例應用：該案例是一個高等數(shù)學與數(shù)學建模相結(jié)合的最優(yōu)化問題，主要通過“提煉模型”——“模型分析”——“模型求解”這樣三個步驟實現(xiàn)，學生通過該案例的學習，可以體驗將實際問題抽象為數(shù)學模型進而求解的一般過程，高等數(shù)學應用中很多實際問題，如“最優(yōu)廣告策略”“最省用料方案”等，都有類似的分析求解過程。

實例三：溶液混合問題

案例介紹：容器內(nèi)盛有50升的鹽水溶液，其中含有10克鹽。現(xiàn)將每升含鹽2克溶液以每分鐘5升的速度注入容器，并不斷攪拌，使混合液迅速達到均勻，同時混合液以每分鐘3升的速度流出容器，請問任一時刻t容器中溶液的含鹽量是多少？

案例實施：在案例中，鹽水流入的同時也在流出，這是個動態(tài)問題，用初等數(shù)學的知識無法解決，可以通過建立微分方程來實現(xiàn)。

案例應用：這類溶液混合問題與著名的牛吃草問題（也稱消長問題或牛頓牧場問題）具有同一動態(tài)屬性，其某個特定量的動態(tài)變化速度是“消”“長”因素共同作用的結(jié)果。其他一些工程問題，如“抽水機抽水問題”等，也可以采用這樣的思路求解。

英國數(shù)學家牛頓曾說：“在學習科學的時候，題目比規(guī)則還有用些。”案例教學通過為學生提供合理的數(shù)學教學情境，經(jīng)過學生主觀自覺的對比、歸納、思考、領(lǐng)悟、分析與決策，讓學生在動手操作過程中綜合運用課程知識，從而提高分析、解決問題的能力，是常規(guī)教學的一種有效補充。當然，案例教學也有局限性，如適合教學的案例較少、花費的時間較多、對教師的要求較高、效率有時較低等。特別是在案例的選取上，教師一定要注意把握尺度，案例太復雜，超出學生的能力范圍，會打擊學生的積極性；案例太簡單，不能調(diào)動學生的興趣，其理解、思維和分析能力也得不到很好的鍛煉。此外，還要注意案例的生動性與數(shù)學知識點相結(jié)合。單調(diào)呆板的案例對學生來說與純粹的數(shù)學知識無異，只有生動的、貼近生活的案例才可能調(diào)動學生的興趣，但如果一味地追求案例的生動性而忽視了與數(shù)學內(nèi)容的結(jié)合，那么通過案例教學提高學生應用數(shù)學的能力也就成了一句空話。

參考文獻

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〔責任編輯：林勁〕