解線性方程組的SOR迭代法及其MATLAB實現

摘 要：本文利用SOR迭代法求解了線性方程組，并在Matlab上實現線性方程組求解的數值模擬。結果表明在選取適當的松弛因子后，SOR迭代法具有收斂速度快，收斂效果好的優點。

關鍵詞：方程組；迭代解法；MATLAB

中圖分類號：O241.6 文獻標識碼：A 文章編號：1674-7712 （2014） 14-0000-02

科學研究與制造實踐中大量問題都可化解為線性方程組的解答，有效求解線性方程組成為了一些科學與工程計算的中心，科學與工程計算的一些主要領域，如計算流體力學、材料模擬與設計、電磁場學說、電力系統優化設計、數值天氣預報及核爆數值比擬等最終往往化解為解一個或一些大型稀疏矩陣的方程組的求解問題，解答線性方程組成為計算數學中數值代數探討的中心之一。與直接法比較，迭代法僅僅存儲原系數矩陣、對應于預處理的某些輔助矩陣與少量幾個向量，且迭代中除解答輔助線性方程組外，剩下的計算重點是系數矩陣與向量的乘積，可以充分利用系數矩陣的特性來減少計算量研究這一重要內容需借助Matlab來運行。

線性方程組Ax=b是我們在科學和生產應用中不斷產生的數學模型，對它的求解我們最常用的就是主元消去法，但它僅僅適合于A是低價稠密的矩陣，而在生活生產中產生的大型稀疏矩陣方程組（即A的階數n很大，因有大量的零元素，舉例求一些偏微分方程數值解所得到的線性方程組，n≥104），需要應用迭代法求解。

常見的迭代法有Jacobi迭代法Gauss、Seidel迭代法，為改善迭代法的收斂性和收斂速度，Hadjidiomstll于1978年提出一種快速超松弛迭代法，以及并行計算機的發展，1983年Missirlistll提出一種解線性方程組的方法，稱為并行Jacobi型方法，它的突出好處是相稱大型并行機的解答。1992年胡家贛提出了兩參并行的Jacobi型方法，使Missirlis得到的方法成為2PPJ型方法的特殊。而且，根據現實的需要，還得到了一些如SSOR型迭代法、SAOR型迭代法、PSD型迭代法等一連串迭代方法，目的都在于佳化迭代矩陣的收斂性和收斂的速度。

一、迭代法的基本思想

迭代法是根據一些規則創造一個向量序列﹛x（k）﹜，促使它的極限向量x*是Ax=b的精確解。因此，對迭代法而言通常有以下4個問題：

（1）如何構造迭代序列？

（2）構造的迭代法序列能否收斂？在哪些情況下收斂？

（3）倘若收斂，收斂的速度怎樣[1]？

（4）由于計算只能是有限次的，故經常討論近似解的誤差估計和迭代過程的中斷解決問題，這又涉及舍入誤差的分析。

一個方法能否有用要看得到具體某個精確解的近似解而付出的代價怎樣，而這正是以運算量和存儲量的需求為代表。在這個準則下，直接算法在大量情況下比迭代法好，然而對線性方程組而言，迭代法更相稱。

三、結束語

數值計算的結果表明，在選取適當的松弛因子后，SOR迭代法具有收斂速度快，收斂效果好、求解精確等優點[5]。

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[作者簡介]王國婷（1983-），女，山西陽泉人，研究生，中級統計師。