一類非線性矩陣方程組性質(zhì)的研究

張帆

摘 ?要：討論了方程組X-A Y A=QY-B X B=QHermit正定解的性質(zhì)及存在條件.

關(guān)鍵詞：非線性矩陣方程組;Hermit正定解

0 ?引言

本文主要研究非線性矩陣方程組X-A Y A=QY-B X B=Q （1）

其中A，B為非奇異矩陣，Q為 Hermite正定陣.討論方程組的 Hermite正定解的最大最小特征值與系數(shù)矩陣的特征值之間的關(guān)系，給出解的存在范圍，并得到方程組存在Hermite正定解的充要條件。

1 ?主要結(jié)果

定理1 若λ- ，λ+分別為方程組 （1）Hermite正定解X的最小特征值和最大特征值，？-， ？+分別為方程組（1）Hermite正定解Y的最小特征值和最大特征值，θ-， θ+分別為Q的最小特征值和最大特征值，η，ξ分別為 A， B的特征值.那么，

證明：假設(shè)v為矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值？濁的特征向量，且||v||=1，？棕為矩陣B對(duì)應(yīng)于特征值？孜的特征向量，且||？棕||=1。

定理2 若方程組（1）存在Hermite正定解 ，那么Q

證明：因?yàn)椋╔，Y）是方程組的Hermite正定解，所以A Y A>0，B X B>0

所以X>Q，Y>Q。

由Y>Q可知A Y A

那么X=Q+A Y A

因此 Q

同理可證 Q

定理3 方程組（1）存在Hermite正定解當(dāng)且僅當(dāng)矩陣A，B滿足A=P*P N，B=R*R M。其中P，R為非奇異矩陣且滿足R*R-N*N=Q，P*P-M*M=Q此時(shí)方程組的解為（R*R，P*P）。

證明：若方程組（1）存在正定解（X，Y），令X=R*R，Y=P*P，其中R，P為非奇異矩陣。那么方程組可寫為

R R-A P P A=QP P-B R R B=Q ? R R-A P P P P A=QP P-B R R R R B=Q

令N=（P*P）-n/2A，M=（R*R）-mB，則有A=P*P N，B=R*R M

若A，B滿足A=（P*P）n/2N，B=（R*R）m/2M，且R*R-N*N=Q，P*P-M*M=Q

令X=R*R，Y=P*P。那么X，Y正定且為Hermite陣。此時(shí)

X-A Y A=R R-A P P A

=R R-A P P P P A

=R R-N N

=Q

Y-B X B=P P-B R R B

=P P-B R R R R B

=P P-M M

=Q

由此，方程組（1）的Hermite正定解可記為（R*R，P*P）。

參考文獻(xiàn)：

[1]AsmaaM.Al-Dubiban.IterativeAlgorithmforSolvingaSystemofNonlinearMatrix Equations[J].Journal of Applied Mathematics，2012， 2012：1-15.

[2]高東杰.矩陣方程X=Q+A*X A0

[3]高東杰，張玉海.矩陣方程X-A*X A=Qq>0 的Hermite正定解[J].計(jì)算數(shù)學(xué)，2007，29（1）：73-80.