解決帶電粒子在有界磁場中作圓周運動的圓心的三種途徑

楊軍 白瓊燕

摘 ? ?要： 帶電粒子在有界磁場中做圓周運動的問題綜合性較強，是高中物理教學的重點和難點，也是歷年高考的一個熱點。解決這類問題既要用到物理學中的洛侖茲力、圓周運動的規律，又要用到數學中的平面幾何的相關知識。其中解決問題的關鍵是確定圓周運動的圓心，只有找到圓心的位置，才能正確做出粒子的運動軌跡，運用物理規律和數學知識解決問題。本文給出三種找圓心的常用途徑。

關鍵詞： 帶電粒子 ? ?有界磁場 ? ?圓心

途徑一：兩個方向定圓心

理解：這里的兩個方向指粒子在磁場中運動的任意兩點（一般為入射點和出射點）的速度方向，由于向心力的方向與線速度方向始終互相垂直，洛倫茲力（即向心力）沿半徑指向圓心，知道兩個點的速度方向，畫出粒子軌跡上兩個點對應的洛倫茲力，其交點即為圓心。

如圖甲所示：P為入射點及其速度方向，M為出射點及其速度方向;可通過入射點和出射點分別作出垂直于入射方向和出射方向的直線（如圖乙），兩條直線的交點就是圓弧軌道的圓心。

甲 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 乙

例1.如圖1所示，一個質量為m，電荷量為q的帶電粒子從x軸上的P（，0）點以速度v，沿與x正方向成60°的方向射入第一象限內的勻強磁場中，并恰好垂直于y軸射出第一象限。求勻強磁場的磁感應強度B和射出點的坐標。

解析：分別由射入、射出點做兩條與速度垂直的線段，其交點O即為粒子做圓運動的圓心，由圖可以看出，軌道半徑為

r=■=■ ? ?①

洛侖茲力提供向心力qBv=■ ? ?②

由①②解得r=■，B=■

射出點的縱坐標為（r+rsin30°）=1.5r，因此射出點坐標為（0，■a）。

途徑二：一個方向一條弦定圓心

理解：這里的一個方向指粒子在磁場中運動時任意一點及其速度方向及軌跡上的另一點;可以連接這兩個點得到一條弦，分別作出弦的垂直平分線和已知速度方向的洛倫茲力的作用線，則兩條線的交點即為圓心。

如圖（a）（b）所示，A點為粒子的入射點及其速度方向，b點為出射點，只要連接A、B并作出其垂直平分線和過A點的洛倫茲力作用線，兩條線的交點即為圓心。如圖（C）（D）

（a） ? ? ? ? ? ? ? ? （b） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （c） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（d）

例2.如圖所示，矩形勻強磁場區域的長為L，寬為■。磁感應強度為B，質量為m，電荷量為e的電子沿著矩形磁場的上方邊界射入磁場，欲使該電子由下方邊界穿出磁場，求：電子速率v的取值范圍。

解析：帶電粒子射入磁場后，由于速率大小的變化，導致粒子軌跡半徑的改變，如圖所示。

當速率最小時，粒子恰好從d點射出，由圖可知其半徑R■=■，再由R■=■得v■=■

當速率最大時，粒子恰好從c點射出，連接ac并作出垂直平分線，與入射方向的洛倫茲力的作用線相交于O點。

由圖可知其半徑R■滿足R■■=L■+（R■-■）■，即R■=■，

再由R■=■得v■=■

電子速率v的取值范圍為：■≤v≤■

途徑三：一個方向一個角定圓心

理解：這里的一個方向指粒子在磁場中運動時入射點及其方向，而一個角指粒子通過磁場區后速度的偏向角（入射方向與出射方向的夾角），只要作出偏向角的補角的平分線和入射點洛倫茲力的作用線，兩線的交點即為圓心。

例3.在如圖所示的平面直角坐標系xOy中，有一個圓形區域的勻強磁場（圖中未畫出），磁場方向垂直于xOy平面，O點為該圓形區域邊界上的一點。現有一質量為m，帶電量為+q的帶電粒子（不計重力）從O點以初速度v0沿x軸方向進入磁場，已知粒子經過y軸上P點時速度方向與+y方向夾角為θ=30°，OP=L，求：

（1）磁感應強度的大小和方向。

（2）該圓形磁場區域的最小面積。

解析：過p點沿v■的反方向作延長線交x軸與A點，則∠OAP即為偏向角的補角，作該角的角平分線與入射點O的洛倫茲力的作用線，兩線的交點即為圓心O′，OO′為粒子運動的半徑，如圖所示，設半徑為R，粒子在Q點飛出磁場，

由幾何關系有（L-R）sin30°=R，所以R=■L

由牛頓第二定律有qv■B=m■，故R=■

由以上各式得磁感應強度B=■

（2）設磁場區的最小面積為S

由幾何關系得直徑■=■R=■L

所以S=π（■）■=■L■

參考文獻：

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[2]張松林.三維設計[M].北京：光明日報出版社，2009（6）.