例談一題多解

摘 要： 新課程理念強(qiáng)調(diào)學(xué)生在積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)態(tài)度下對(duì)知識(shí)的主動(dòng)探索、發(fā)現(xiàn)，要求教師改變教學(xué)方式和課堂知識(shí)結(jié)構(gòu)，為學(xué)生主動(dòng)探究搭建平臺(tái).一題多解是調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，開發(fā)學(xué)生潛能，提高學(xué)習(xí)效率的有效教學(xué)活動(dòng).

關(guān)鍵詞： 自主探究 發(fā)散思維 一題多解

新課程理念強(qiáng)調(diào)學(xué)生積極主動(dòng)地學(xué)習(xí)，進(jìn)而能夠自主學(xué)習(xí).倡導(dǎo)建立以“主動(dòng)參與，樂于探究，交流與合作”特征的學(xué)習(xí)方式，要求教師在教學(xué)中為學(xué)生的思維發(fā)散提供情景、條件和機(jī)會(huì)，要有意識(shí)地激發(fā)學(xué)生的靈活性、創(chuàng)造性，使學(xué)生在積極主動(dòng)的狀態(tài)中探索，從而培養(yǎng)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣.一題多解是常用的教學(xué)策略.本文以2010年安徽高考數(shù)學(xué)試題中的圓錐曲線問題為例，提供多樣的解題思路，展示一題多解的魅力.

已知橢圓E經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)F■，F(xiàn)■在x軸上，離心率e=■.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）求∠F■AF■的角平分線所在直線l的方程.

命題意圖：本題考查橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的簡單幾何性質(zhì)，直線的點(diǎn)斜式方程與一般方程，平面向量的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式，到角公式，角平分線性質(zhì)及三角形的內(nèi)角平分線性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查解析幾何的基本思想及綜合運(yùn)算能力.

解法指導(dǎo)：（Ⅰ）的解法省略，所求橢圓E的方程是■+■=1.

（Ⅱ）思路一：根據(jù)題意，直接設(shè)所求直線l的方程為：y-3=k（x-2）.可求直線l與x軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo).由（Ⅰ）易得直線AF■和AF■的方程分別為3x-4y+6=0和x=2，根據(jù)角平分線性質(zhì)，點(diǎn)B到直線AF■和AF■的距離相等可解斜率.由點(diǎn)A在橢圓E上的位置如圖可知k>0，則k=2.因此，所求直線l的方程為：2x-y-1=0.

思路二：在思路一的基礎(chǔ)上，如果考慮到將所求具體一點(diǎn)B變?yōu)樗笾本€l上任意一點(diǎn)P（x，y），則點(diǎn)P（x，y）滿足的方程即為所求直線方程.根據(jù)角平分線性質(zhì)，點(diǎn)P到直線AF■和AF■的距離相等可以解斜率，整理易得直線l的方程為：2x-y-1=0.

思路三：如果設(shè)∠F■AF■=θ，所求直線斜率為k，考慮到焦點(diǎn)三角形面積公式亦可展開求解思路.

思路四：在思路三的基礎(chǔ)上，設(shè)所求直線斜率為k，則k=tan∠ABF■.如果考慮到△AF■B為直角三角形，則∠ABF■與∠BAF■互余，也可以求出k=2.

思路五：如果設(shè)B（x，0），根據(jù)通徑易知AF■=3，由橢圓第一定義可知AF■=5，考慮到三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)，解得直線與橫軸的交點(diǎn)，進(jìn)而求得斜率.

思路六：如果考慮到平面向量的相關(guān)知識(shí)，易知■和■的同向單位向量的和向量恰好為所求直線l的方向向量也可以求解直線的方程.

思路七：由于△F■AF■為直角三角形，因此∠F■AF■的角平分線所在直線l經(jīng)過△F■AF■的內(nèi)心，易求其內(nèi)心坐標(biāo)（1，1），由直線的兩點(diǎn)式方程得l的方程為：2x-y-1=0.運(yùn)用此方法聯(lián)系平面幾何的知識(shí)，簡便易懂.

在教學(xué)過程中不難發(fā)現(xiàn)：對(duì)同一個(gè)問題，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考分析，發(fā)現(xiàn)不同的思路和方法，對(duì)鍛煉學(xué)生思維的靈活性，培養(yǎng)和發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造能力，貫通知識(shí)的縱橫聯(lián)系，提高綜合運(yùn)用知識(shí)的能力和解題技巧效果顯著.