從一道期末考試題看數(shù)學(xué)日常教學(xué)

王永鋒

蘇州市2014屆初二第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)采取全市聯(lián)考的形式，從閱卷結(jié)果來看學(xué)生解答部分看似“未曾見過”的題目不甚理想，沒有達(dá)到平時(shí)具有的基本水平。下面通過對(duì)第27題（整份試卷共28道題）進(jìn)行分析，談?wù)勅粘＝虒W(xué)的一些建議。

一、試題再現(xiàn)：

如圖，在中，，分別是三邊上的中線.

（1）若，.求證：;

（2）是否存在這樣的，使得它三邊上的中線

的長(zhǎng)恰好是一組勾股數(shù)？請(qǐng)說明理由.（提示：滿足關(guān)系

的3個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù).）

二、試題解答分析：

1.標(biāo)準(zhǔn)答案：

（1）證明：中，，，，

.

分別是三邊上的中線，endprint

，，.

.

（2）解：假設(shè)，其中.則

，

.

若的長(zhǎng)恰好是一組勾股數(shù)，

則應(yīng)該有，即，

化簡(jiǎn)得..

的長(zhǎng)不可能同時(shí)為正整數(shù).

不存在這樣的，使得它三邊上的中線的長(zhǎng)恰好是一組勾股數(shù).

2.題目評(píng)析

本題涉及到直角三角形的三條中線，考查的主要知識(shí)點(diǎn)是勾股定理及其逆定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。本題共分2個(gè)小題，相互之間聯(lián)系緊密，方法上有很大的共性，屬于考查數(shù)學(xué)思想方法的上佳題目。對(duì)于問題（1），學(xué)生大都能想到利用勾股定理和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出三條中線的長(zhǎng)，進(jìn)而圓滿解決。但對(duì)于問題（2），由于題目沒有給出具體數(shù)值，致使條件一般化，絕大多學(xué)生無(wú)從下手，特別是有許多平時(shí)數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)異的學(xué)生反映看不懂，考試時(shí)未曾想到方法上的共性類比，甚至不少人在這個(gè)題目上無(wú)謂耗費(fèi)許多時(shí)間，致使后面的題目來不及做或是前面來不及檢查，最終成績(jī)也就不盡人意。endprint

第（1）問在講評(píng)時(shí)，要先讓學(xué)生回顧勾股定理，根據(jù)三次勾股定理很自然能求出的長(zhǎng)，而后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出，最后根據(jù)求出的結(jié)果下結(jié)論;第（2）問，重視強(qiáng)調(diào)“類比法”，即第（1）小題的解答方法應(yīng)考慮在第（2）小題中靈活運(yùn)用，從而考慮到將的長(zhǎng)度用含的代數(shù)式表示，進(jìn)而利用假設(shè)存在的思路找出之間的數(shù)量關(guān)系。另外，本題在標(biāo)準(zhǔn)答案中假設(shè)，其實(shí)，如果假設(shè)，只需簡(jiǎn)要說明不可能則更為完整，畢竟這樣解釋更加嚴(yán)密。

三、日常教學(xué)建議

1.理清基本知識(shí)，及時(shí)歸納方法

一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，往往會(huì)使多數(shù)學(xué)生望而生畏，不敢下筆。教師在講解時(shí)，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生理清該題涉及到的知識(shí)點(diǎn)，回憶解決此類問題的一些典型方法，并及時(shí)加以回顧總結(jié)，以便利于多數(shù)學(xué)生有的放矢。

一般情況下，一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題往往由多個(gè)基本知識(shí)點(diǎn)“堆積”而成，教師在日常教學(xué)中，不應(yīng)一味就題講題，而要教會(huì)學(xué)生正確的解題方法。首先要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到題目考查哪個(gè)（些）知識(shí)點(diǎn)，該知識(shí)點(diǎn)采用的方法是什么，可以利用什么樣的原理來解決等等。如命制本題的出發(fā)點(diǎn)是考查學(xué)生勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及勾股數(shù)等相關(guān)知識(shí)，以及靈活運(yùn)用它們解決相關(guān)問題的能力。第（1）小題先考查的是用勾股定理求斜邊，進(jìn)而求出，而后再用勾股定理求和，這屬于基礎(chǔ)知識(shí)，絕大多數(shù)學(xué)生都可以完成。第（2）小題是求設(shè)問題，融第（1）小題考查的思想方法為一體，屬于能力提升題，解決的關(guān)鍵是充分運(yùn)用方法上的類比，將的長(zhǎng)度用含的代數(shù)式表示，進(jìn)而利用假設(shè)存在找出的數(shù)量關(guān)系。但是，批閱下來，絕大多數(shù)學(xué)生對(duì)此束手無(wú)策，說明思想方法能力上的提升絕非講解幾個(gè)類似題型便可掌握，而需要教師日常教學(xué)有意識(shí)地及時(shí)歸納，努力做到“見水來，知土掩”。endprint

2.適時(shí)體驗(yàn)過程，逐步提升能力

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自始至終需要學(xué)生多感官、全方位地參與。在日常教學(xué)中，教師要重視學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的過程，理清知識(shí)的來龍去脈，注重知識(shí)呈現(xiàn)的形式，留給學(xué)生充分的反思時(shí)間，逐步切實(shí)提升學(xué)生的能力。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時(shí)間不僅僅只是課堂45分鐘，課前的預(yù)習(xí)、課后必要的鞏固練習(xí)，課間師生之間、生生之間的討論互動(dòng)都在平時(shí)的學(xué)習(xí)中有所體現(xiàn)。而作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主陣地，課堂教學(xué)中更應(yīng)注重以生為本，教師既不可滿堂灌，又不可過分“放手”讓學(xué)生自學(xué)，而要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生適時(shí)體驗(yàn)，集傾聽、交流、討論、回答、講解于一體，逐步提升他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。眾所周知，數(shù)學(xué)能力的形成必然是一個(gè)長(zhǎng)期的過程。比如本題中的第（2）小題，既要用到第（1）小題中的方法，又要用到假設(shè)存在的思路，從而利用方程進(jìn)行求解。其所用的類比方法在本學(xué)期講解的全等三角形題目中涉及較多，但由于問題呈現(xiàn)的形式新穎，致使許多學(xué)生根本沒有這方面的意識(shí)。所以，在平常的教學(xué)中，教師有必要加強(qiáng)分層教學(xué)，對(duì)學(xué)困生應(yīng)注重“雙基”教學(xué)，而對(duì)數(shù)學(xué)尖子生，更應(yīng)注重基本思想與基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)。

3.注重解題技巧，提煉思想方法

數(shù)學(xué)教學(xué)的方法不能只是按部就班的，某些良好的解題技巧和必要的思想方法更要及時(shí)教給學(xué)生。比如選擇題中的特殊值帶入，計(jì)算題中的結(jié)構(gòu)教學(xué)，幾何中的分解基本圖形教學(xué)，或是某些綜合性題目中的分類討論思想和化歸法、類比法等，用好了對(duì)解決疑難問題事半功倍。

數(shù)學(xué)題目（特別是綜合性題目）的設(shè)計(jì)往往由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，教師在講解時(shí)，應(yīng)抓住這一關(guān)鍵點(diǎn)，先把簡(jiǎn)單問題分析透徹，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生對(duì)關(guān)鍵字眼仔細(xì)推敲，對(duì)相關(guān)方法反復(fù)體會(huì)，加強(qiáng)對(duì)比，體會(huì)其中的相關(guān)點(diǎn)，靈活選用所學(xué)的方法進(jìn)行解答，真正理解“難中有易處，繁中包含簡(jiǎn)”。如上述第（2）小題在講解時(shí)，可以把第（1）小題板演的過程用不同顏色的筆直接標(biāo)注修改，更能加深學(xué)生的印象，促進(jìn)問題的真正掌握。在教學(xué)中，要注重思想方法的講解，力爭(zhēng)讓學(xué)生做到“解一題，通一類”。當(dāng)然，學(xué)生達(dá)到這種境界不能僅僅靠教師的講解，更要讓學(xué)生反思在解決問題的過程中利用所推導(dǎo)出的一些有用結(jié)論和技巧的重要性，認(rèn)識(shí)到熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的必要性，盡量一題多解，從而提升學(xué)生的思維能力，真正做到舉一反三、觸類旁通。

4.重視變式教學(xué)，優(yōu)化學(xué)生思維

數(shù)學(xué)教學(xué)不能只是就題講題，一味由教師講解例題和學(xué)生練習(xí)中的錯(cuò)題，還應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況，通過一定的形式將數(shù)學(xué)中特有的關(guān)聯(lián)進(jìn)行類比，將題目加以改編讓學(xué)生做，這更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，優(yōu)化學(xué)生的思維。

數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)是相對(duì)穩(wěn)定的，但命題者可以隨意變化題意和角度考查學(xué)生。基于此，教師可以將某些重要的題目（特別是考試中學(xué)生錯(cuò)的較多的典型問題）進(jìn)行“變式”，既可以變換條件或結(jié)論，也可以聯(lián)系實(shí)際將數(shù)學(xué)問題與日常生活中常見的問題聯(lián)系起來，還可以將條件一般化（如上述問題的第（2）小題）對(duì)原題的進(jìn)行改變。當(dāng)然，這種訓(xùn)練的題目難度要稍稍高于原題，但也不能刻意求難，要注意萬(wàn)變不離其宗，有助于讓學(xué)生把握住內(nèi)在規(guī)律，優(yōu)化學(xué)生思維。

如原問題可以變式為如下問題：

如原圖，在中，，分別是三邊上的中線.，求的長(zhǎng)？

簡(jiǎn)單解析：假設(shè).則

（1）+（2），并整理得：，進(jìn)而求出.

這個(gè)問題立足于原題，但是在實(shí)際解答時(shí)又高于原題第（1）小題，同時(shí)也能考查初二學(xué)生的數(shù)學(xué)整體思想，當(dāng)然也不排除個(gè)別同學(xué)求出或湊出的長(zhǎng)。但不管用何種方法，都能優(yōu)化學(xué)生的思維。endprint