一個擴展的可積Broer－Kaup方程族

于 義

孤立子與可積系統方向是當今非線性科學研究的主流方向，在光纖通訊、淺水波、等離子體、磁流體、超導等科技領域有著重要的應用背景。其研究涉及眾多主干數學分支，包括常微分方程、偏微分方程、泛函分析、微分幾何、橢圓函數、代數函數、代數曲線、微分拓撲、辛幾何、李群與李代數及表示論、無窮維李代數等［1－4］。該研究對許多數學分支及交叉學科的發展都有著重要影響和促進作用。自從反散射方法發現以來，可積系統及孤立子理論不僅在數學、物理、化學、生物通訊領域得到了廣泛深入的研究和應用，而且迅速拓展到生物、光學、材料、天體等自然科學的各個領域。作為非線性科學的核心問題，可積孤子方程有幾個重大的特征:一是孤立子解，二是Backlund變換，三是無窮多守恒律，四是散射反演法。正是這些特點促使可積系統成為當今世界研究的熱點問題之一［5－7］。本文將利用圈－李代數方法構造一個新的可積方程族。

1 矩陣圈代數

它們具有如下的交換子運算

定義階為

2 擴展的Broer－Kaup方程族

由駐定零曲率方程

得

則方程(5)化為

可知，(7)左面的階≥0，而右面的階≤0。因此，(7)的階為0。由此

取修正項 Vn，即 V(n)=+Vn，Vn=cn+1e1(0).

進而，由零曲率方程

得

其中 J 為 Hamiltonian 算子，M1=－u3－u3+2u2－2u2－1u2，

M2=－－u1－2u2－1+u4+u1u4，M3=－2－1u2－+u1+u4－u1u4.

利用(6)，可以得到遞推算子L，

這里 l1=u3+－1u3－2u2－2－1，l2=2u4－1u2+4－1u2，

l3=2－1u2+u1－，l4=+u1+2 u2－1.

因此，系統(9)可以寫為

當n=2時，得到下面的非線性演化方程

特別地，在(11)中，取 u1=q，u2=r，u3=u4=0，得

方程(12)恰為著名的Broer－Kaup方程。由此可見方程族(10)為Broer－Kaup方程的擴展可積模型。

［1］谷超豪.孤立子理論與應用［M］.杭州:浙江科技出版社，1990.

［2］谷超豪.孤立子理論中的Darboux變換及其幾何應用［M］.上海:上海科技出版社，1999.

［3］李翊神.孤立子與可積系統［M］.上海:上海科技出版社，1999.

［4］曹策問.保譜方程的換位表示［J］.科學通報，1989，34(10):723－725.

［5］馬文秀.一個新的Liouville可積的廣義Hamilton方程族及其約化［J］.數學年刊，1992(1):115－124.

［6］Zhenya Yan.Two types of hierarchies of evolution equations associated withthe extended Kaup－Newell spectral problem with an arbitrary smooth function［J］.Chaos，Solitons and Fractals，2003，15(4):639－645.

［7］Guizhang Tu.A trace identity and its application to integrable systems of 1+2 dimensions［J］.J.Math.Phys，1991，32(7):1900－1907.