模糊加權(quán)平均決策模型的結(jié)構(gòu)元求解方法

宮 莉

加權(quán)平均在評價(jià)決策、工程管理、經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)等方面有廣泛的應(yīng)用，如決策模型的求解、質(zhì)量控制等.如果對象的評價(jià)值或權(quán)重的界限表現(xiàn)不確定，為使決策者以及評價(jià)對象本身所具有的模糊性能有效地利用起來，進(jìn)行綜合評價(jià)，可以把它們表達(dá)成模糊數(shù)，進(jìn)行模糊加權(quán)平均，其輸出結(jié)果就包含有更多的信息，表明了評價(jià)結(jié)果的各種可能性，為決策者提供更好的依據(jù)和參考，對此，文獻(xiàn)［1－2］進(jìn)行了模糊綜合評判，但評價(jià)結(jié)果是各方案滿足總目標(biāo)的隸屬函數(shù)值，本質(zhì)上也是一個(gè)確定值.BUCKLY、值田等利用模糊集合［3－4］處理類似問題.近些年來，許多學(xué)者都對此方面進(jìn)行了相關(guān)研究［5－9］.

目前的論文在利用模糊加權(quán)平均法求解決策模型［10］時(shí)，大多忽略了模型中系數(shù)之間的限定運(yùn)算問題，求解結(jié)果使人難以信服.針對此問題，本文結(jié)合模糊結(jié)構(gòu)元理論［11］，首先對模糊加權(quán)平均的運(yùn)算問題進(jìn)行討論，然后在此基礎(chǔ)上給出了一種隨機(jī)模擬的求解方法，有效地解決了決策模型中系數(shù)的限定性運(yùn)算問題，便于應(yīng)用，值得進(jìn)一步研究推廣.

1 模糊數(shù)運(yùn)算及結(jié)構(gòu)元表示

定義1［12］對于模糊集∈F(R)，稱為R上的有界閉模糊數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)滿足:(1)是正規(guī)的，即存在∈R，使得()=1;(2)對于 λ∈(0，1］，={x|(x)≥λ}是閉區(qū)間;(3)為有界.記R上的有界閉模糊數(shù)全體為F(R).

定義2［13］設(shè)E為實(shí)數(shù)域R上的模糊集，隸屬函數(shù)記為E(X)，x∈R.如果E(x)滿足下述性質(zhì):(1)E(0)=1;(2)在區(qū)間［－1，0)上E(x)是單增右連續(xù)函數(shù)，在區(qū)間(0，1］上E(x)是單降左連續(xù)函數(shù);(3)當(dāng)－∞ ＜x＜－1或者1＜x＜∞時(shí)，E(x)=0.則稱模糊集E為R上的模糊結(jié)構(gòu)元.

定理1［13］對于給定的一個(gè)正則模糊結(jié)構(gòu)元E和任意的有限模糊數(shù)，總存在一個(gè)在［－1，1］上的單調(diào)有界函數(shù)f，使得=f(E).嚴(yán)格地說，存在f的集值延拓，使得=(E)，并稱模糊數(shù)是由模糊結(jié)構(gòu)元生成的.

定理2［13］若模糊數(shù)=f(E)，則的隸屬函數(shù)為E(f－1(x))，這里 f－1(x)關(guān)于變量 x和 y的輪換對稱函數(shù)(若f(x)是連續(xù)嚴(yán)格單調(diào)的，則f－1(x)是f(x)的反函數(shù)).

若D［－1，1］為區(qū)間［－1，1］上同序單調(diào)函數(shù)全體，定義D［－1，1］上的同序單調(diào)變換:

其中 fτ0(x)=f(x)，fτ1(x)=－f(－x)，fτ2(x)=(f(－x)≠0)，fτ3(x)=－(f(x)≠0)(x∈［－1，1］).

定理3［13］設(shè) E 為對稱模糊結(jié)構(gòu)元，f和 g 是［－1，1］上的同序單調(diào)有界函數(shù)，模糊數(shù)=f(E)，=g(E)，則有:(1)+=f(E)+g(E)=(f+g)(E);(2)－=f(E)－g(E)=(f+gτi)(E);(3)=f(E)g(E)(fg)(E);當(dāng) k 為非負(fù)實(shí)數(shù)時(shí)，k=(kf)(E);(4)=f(E)gτ2(E)=(fgτ2)(E).

上述定理證明可參考文獻(xiàn)［11－13］.

2 基于結(jié)構(gòu)元理論的模糊加權(quán)平均的運(yùn)算

證明 對于v∈V有

根據(jù)Zadeh的擴(kuò)張?jiān)恚瑢τ谌我鈚∈R有

下面證明多元函數(shù) h(v，t)=(v·A)(t)，v∈V，t∈R 是一致連續(xù)的.實(shí)際上，記 Xv，t={X∈Rn|v·x=t}，則h(v，t)=或 h(v，t)

類似f(v)一致連續(xù)性證明，易A(x)證在Rn上一致連續(xù)，而Xv，t表示Rn中的連續(xù)超平面，對于任意v∈V，根據(jù)數(shù)學(xué)分析的知識，知h(v，t)關(guān)于變量t在R上的連續(xù)凸函數(shù).同理，可知對于任意t∈R，h(v，t)為關(guān)于變量v在V上的連續(xù)凸函數(shù).故h(v，t)在v×R上一致連續(xù).

其隸屬函數(shù)為

所以

3 模糊加權(quán)平均決策模型的結(jié)構(gòu)元解法

結(jié)合模糊加權(quán)運(yùn)算的結(jié)構(gòu)元理論，來求解模糊加權(quán)決策模型，提出一種隨機(jī)模擬的算法來進(jìn)行求解，這里給出具體的算法步驟，具體如下:

規(guī)范化公式為

其中，i=1，2，…，n.

模糊合成算子有很多，根據(jù)不同情況選擇相應(yīng)的算子.最常用的模糊合成算子是加權(quán)平均，即

根據(jù) qj，j=1，2，…，n 值的大小確定 U 中方案的優(yōu)劣排序，規(guī)則:若 qi≥qj，那么 uiuj，即方案 ui優(yōu)于方案uj.

若直接利用式(2)代入

計(jì)算P值.由于V中的點(diǎn)連續(xù)且式中存在連續(xù)積分，直接計(jì)算運(yùn)算量很大，需采用數(shù)值計(jì)算的方式進(jìn)行近似計(jì)算.簡化的方法:對V和連續(xù)積分進(jìn)行離散化，用其近似形式代替.設(shè)V離散后V'={vk|vk∈V，k=1，2，…，N1}.記離散后的P值為P'.實(shí)際上，只要V'中的點(diǎn)在V上分布得足夠均勻、點(diǎn)足夠多，P'值就能以足夠的精度靠近P.

對于如何得到V'，這里提供一種隨機(jī)數(shù)生成的方法:首先，隨機(jī)生成一個(gè)N×n矩陣T=［tij］N×n，其中tij是［0，1］之間的隨機(jī)數(shù);其次，對矩陣T的行向量進(jìn)行歸一化，設(shè)歸一化后的隨機(jī)矩陣為T'=［t'ij］N×n，其中隨機(jī)矩陣的行向量便組成了V'.易知，V'中的點(diǎn)均勻分布于V上.

4 數(shù)值實(shí)例

某單位在對干部進(jìn)行考核選拔時(shí)，制定了6項(xiàng)考核指標(biāo)(因素):思想品德f1、工態(tài)f2、工作作風(fēng)f3、文化水平和知識結(jié)構(gòu)f4、領(lǐng)導(dǎo)能力f5和開拓能力f6，通過群眾推薦和評議，對各項(xiàng)指標(biāo)分別打分，再進(jìn)行統(tǒng)計(jì)處理，從中確定了5名候選人ui(i=1，2，3，4，5).由于群眾對同一候選人所給出的指標(biāo)值(狀態(tài)值)并不完全相同，因此經(jīng)過統(tǒng)計(jì)處理后的每個(gè)候選人在各因素下的狀態(tài)值是以三角模糊數(shù)形式給出的，屬性值均為越大越好的效益型，具體的屬性值見表1.

表1 候選人在各因素下的屬性值及各因素的權(quán)重

步驟1 決策矩陣的結(jié)構(gòu)元表示及其規(guī)范化.根據(jù)表1，容易確定模糊決策矩陣=［］5×6，其中表示對象uj在因素fi下的屬性值.由于中每個(gè)元素均為三角模糊數(shù)，而三角模糊數(shù)結(jié)構(gòu)元表示形式為=［aij，bij，cij］=fij(E).其中，fij(x)根據(jù)式(2)，得到的規(guī)范化矩陣=［gij(E)］5×6，其中 gij(x)=fij(x)·(∑(－x))－1.

步驟2 模糊權(quán)重的結(jié)構(gòu)元表示及其規(guī)范化.這里模糊權(quán)重向量

類似于步驟1或(3)式，對W的規(guī)范化，得到規(guī)范化向量W*.

步驟3 計(jì)算P=(p1，p2，p3，p4，p5).這里在近似計(jì)算pi值時(shí)，V'的隨機(jī)實(shí)值權(quán)重向量數(shù)N1=1000，數(shù)值積分采用梯形數(shù)值積分(trapz()函數(shù))，然后，利用編程計(jì)算得到表2.

表2 基于隨機(jī)模擬下的決策排序

步驟4根據(jù)pi值大小對5個(gè)候選人進(jìn)行排序結(jié)果:u2u1u5u3u4.

5 結(jié)語

本文首先結(jié)合模糊結(jié)構(gòu)元理論，對模糊加權(quán)平均數(shù)的運(yùn)算及其相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行了探討與研究，并給出具體的證明，然后在此基礎(chǔ)上提出了一種隨機(jī)模擬算法，用以求解模糊加權(quán)平均決策模型，并結(jié)合模型給出了具體的求解步驟，有效地解決了模型求解過程中參數(shù)的限定性運(yùn)算問題，最后通過數(shù)值實(shí)例對文中的結(jié)論進(jìn)行了證明.

［1］張躍，鄒壽平，宿芬.模糊數(shù)學(xué)方法及其應(yīng)用［M］.北京:煤炭工業(yè)出版社，1992.

［2］陳湛勻.現(xiàn)代決策分析概論［M］.上海:上海科學(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社，1991.

［3］植田等.商品評價(jià)中AHP與Fuzzy AHP的比較研究［C］∥日本經(jīng)營工學(xué)會(huì)平成2年春季大會(huì)論文集，1990:127－128.

［4］Buckley J J.Fuzzy hierarchical analysis［J］.Fuzzy Sets and Systems，1985，17(2):233－247.

［5］Xu R N，Zhai X Y.Fuzzy logarithmic least squares ranking method in analytic hierarchy process［J］.Fuzzy Sets and Systems，1996(77):175－190.

［6］Chang D Y.Applications of the extent analysis method on fuzzy AHP［J］.European Journal of Operational Research，1996(95):649－655.

［7］姚敏，張森.模糊一致矩陣及其在軟科學(xué)中的應(yīng)用［J］.系統(tǒng)工程，1997，15(2):54－57.

［8］Kwiesielewicz M.A note on the fuzzy extension of Satty＇s priority［J］.Fuzzy Sets and Systems，1998(95):161－172.

［9］Chen CT.Extensions of the TOPSIS for group decision－making under fuzzy environment［J］.Fuzzy Sets and Systems，2000(114):1－9.

［10］徐澤水.對方案有偏好的三角模糊數(shù)型多屬性決策方法研究［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2002，24(8):9－12，20.

［11］郭嗣琮.模糊分析中的結(jié)構(gòu)元方法(I)，(II)［J］.遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)，2002，21(5):670－673;21(6):808－810.

［12］郭嗣琮.［－1，1］上同序單調(diào)函數(shù)的同序變換群與模糊數(shù)運(yùn)算［J］.模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2005，19(3):105－110.

［13］郭嗣琮，蘇志雄，王磊.模糊分析計(jì)算中的結(jié)構(gòu)元方法［J］.模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2004，18(3):68－75.