例談高職數學知識在解決經濟問題中的應用

焦濰蘋

摘 要：高職數學知識在經濟問題的解決中應用已十分廣泛，培養學生掌握應用所學數學知識解決實際問題是高職數學教育的根本任務，對高職經管專業學生數學教育的根本任務是培養學生將所學的數學知識運用到相關經濟專業課學習中去的能力.現結合高職院校經濟管理類的專業特點舉例討論高等數學知識在解決經濟問題中的應用。

關鍵詞：經濟問題 極限 導數 積分

中圖分類號：O1-4 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）10（a）-0154-02

現代數學已不再是一門孤立的學科，它已越來越多地應用到現實世界的科學技術、經濟生活、文化藝術等各個領域，其中它在經濟生活中的應用更是越來越廣泛。數學在經濟學中的應用可追溯到17世紀90年代，在1690年出版的英國古典政治經濟學創始人—— 威廉·配第的經濟學論文《政治算術》中首先應用數學方法解決社會經濟問題[1-2]，到19世紀變量和函數的概念被引入到經濟學中，再到20世紀大批運用數學方法研究經濟問題的論著問世，數學已與經濟研究密切聯系在一起了[1]。而在當今，運用數學方法來研究經濟問題已是無處不在，數學已成為研究經濟問題的一個重要工具，高職數學教育的根本任務是培養學生的掌握應用數學工具解決實際問題的能力。下面應用微積分知識解決幾個具體的實際經濟問題，探討應用數學知識解決經濟問題的方法。

1 極限在復利與連續復利問題中的應用

極限是高等數學的基礎性概念，極限思想是貫穿高等數學始終的，它在經濟問題中最直接的應用就是復利與連續復利問題。假設現有本金p元，存款n年，年利率為r，若每年到期后本金與利息作為本金自動轉存，則n年到期時的本利和。若把一年平均分為期計息，每期利率可認為，則n年到期時的本利和為 ，m=nt[2]。

假設計息期無限縮短，即令期權，由此可以得到連續復利的復利公式

[2]。

應用上述公式可很容易解決復利與連續復利問題，下面以一個具體實例來探討。

例1：王先生用分期付款的方式購買一套價值為100萬的商品房，首付為30萬，從銀行貸款70萬，他想20年還完貸款，貸款的年利率為6%，計算王先生20年末還款的本利和。（1）按離散情況計算，每年計息一期；（2）按連續復利計算。

解：本例可以上述分析的公式來計算，本例中

（1）按離散情況計算，

（萬元）

（2）按連續復利計算，

（萬元）。

由本例可看出，應用連續復利公式可以很容易解決實際生活中的利息計算問題，由本例也可得出，連續復利計息時的本利和要比離散計息的本利和高。

2 導數在經濟分析中的應用

導數在經濟問題中最廣泛的應用是邊際分析和彈性分析，下面舉例說明這兩方面的應用。

2.1 邊際分析

在經濟學中，經濟函數的邊際函數定義為該函數的一階導函數，這樣邊際成本是總成本函數C（x）的導函數，即MC=（x）[2]，因此際收入是收入函數的導函數R（x），即MR=R（x），邊際利潤是利潤函數L（x）的導函數，即ML=L（x）。下面通過兩個例子來說明導數在邊際分析中的應用。

例2、某企業生產一種產品，每天的總利潤L（x）與產量X（斤）之間的函數關系為L（）x，=-0.01x2+20x-1000，求x=500，1000，1500時的邊際利潤，并給以適當的經濟解釋。

解：邊際利潤函數為ML=L（x）=20- 0.02x。

當x=500斤時，L（500）=10（元）。它表示在每天產量為500斤的基礎上，再多生產1斤，總利潤將增加10元。

當x=1000斤時，L（1000）=0（元）。它表示每天生產1000斤的基礎上，再多生產1斤，總利潤沒有變化，即這一斤沒有產生利潤。

當x=1500斤時，L（1500）=-10（元）。它表示在每天生產1500斤的基礎上，再多生產1斤，利潤會減少10元。這時雖然產量增加了，但利潤反而減少了，這說明并非產量越大，利潤越高。

例3：若某廠每天生產的產品固定成本為1000元，生產x個單位產品的可變成本為0.01x2+10x，如果每單位產品的售價為30元，設每天生產的產品能全部售出，問每天生產多少單位時，才能獲得最大利潤。

解：設每天的產量為X單位，因為固定成本C0=1000，可變成本V（x）=0.01x2+10x，所以總成本函數C（x）=C0+V（x）=1000+0.01x2+10x；因為每天生產的產品能全部售出，所以總收益函數R（x）=30x。

因此總利潤函數L（x）=R（x）-C（x）=20x-0.01x2-1000；

則L′（x）=20-0.02x=0，得x=1000，又L″（x）=-0.01<0；

所以當每天產量為1000單位時，利潤最大，最大利潤為9000元。

由本例看出，當L′（x）=0時，R（x）=C′（x），即=MC=MR，此時利潤最大。這說明廠商為獲得最大利潤，應將產量調整到邊際收益等于邊際成本的水平。這也是微觀經濟學中的一個重要結論。

由以上兩例可以看出應用導數可以方便地解決經濟中的一些復雜問題，并且也能剖析經濟學中的實質。

2.2 彈性分析

在市場經濟中，經常要分析一個經濟量對另一個經濟量變化反應的靈敏程度，這時單靠導數來進行分析是不行的，因而需要引入新的數學工具。在數學中，我們稱為函數的相對變化率或彈性，能反映函數f（x）對自變量x變化反應的強烈程度或敏感度[2]。下面應用彈性這個工具來分析商品的需求量對市場價格反應的靈敏程度。一般稱某商品的市場需求量Q與該商品的價格p所構成的函數Q（P）為需求函數，如果需求函數Q（p）可導，則該函數的彈性為，常稱為需求彈性，記為，即，需求彈性表示某商品的需求量Q對價格p變化的反應程度：當商品的價格上漲（或下跌）1%時，需求量將減少（或增加）[2]。下面以一個例子來說明導數在彈性分析中的應用。

例4：設某商品的需求函數為Q=1000-50p（Q是需求量，p是價格），求p=5，10，15時的需求彈性，并給以適當的經濟解釋。

解：需求彈性

。

（1）當p=5時，，此時價格上漲（或下跌）1%，其需求量將減少（或增加） 0.33%，這時需求量的變化小于價格的變化，稱為是低彈性的情況。

（2）當p=10時，，此時價格上漲（或下跌）1%，其需求量將減少（或增加）1%，這時需求量的變化與價格的變化相當，稱為是單位彈性的情況。

（3）當p=15時，，此時價格上漲（或下跌）1%，其需求量將減少（或增加）3%，這時需求量的變化大于價格的變化，稱為是高彈性的情況。

由此可看出，應用需求函數的彈性來分析價格對需求量的影響是很方便的。

3 積分在投資問題中的應用

積分在經濟中的一個重要應用是計算投資問題中收入現值與投資回收期。在投資問題中，假若現有資金a萬元，投入t年，按年利率r作連續復利計算，則t年后的本息共為aert萬元；反之，假若t年后的本息和為a萬元，則現應有資金為ae-rt萬元，這稱之為資本現值[2]。

3.1 總收入現值的計算

設在時間段0到T年內的收入率f（t）（單位時間內的收入）是均勻的，即f（t）=A（A為常數），年利率r也是常數，按連續復利計算，則在[0，T]內的資本現值為

[2]。

3.2 純收入（貼）現值的計算

投資T年后獲總收入現值為，所以投資獲得的純收入（貼）現值為

[2]。

3.3 投資回收期的計算

投資回收期是指用投資項目所得的凈收益償還原始投資所需要的年限，即總收入現值等投資，即有，解之得：[2]。

例4：若某企業投資為500萬元，年利率r=10%，預計在10年內的均勻收入率為120萬元/年，試求：（1）該投資的純收入（貼）現值；（2）收回該筆投資的年限是多少。

解：（1）由2知該投資中a=500，A=120，r=10%=0.1，T=10，所以純收入（貼）現值為

（萬元）

（2）由3知投資回收期

（年）。

應用積分得出的結論可以很容易解決投資中的收入現值及投資回收期的計算問題。

4 結論

由上述分析可得出，高職院校學生所學的數學知識在經濟問題中的應用是很廣泛的，數學知識為解決某些經濟問題提供了新的方法，它可從數學的角度去分析解決經濟問題，有時還能剖析某些問題的實質。

在高職經濟類專業的數學課教學中應注重與專業課的銜接，讓學生體會應用數學知識及方法解決經濟問題的方便之處，讓學生學以致用。

參考文獻

[1] 陳堅.淺談微積分在經濟學中的應用[J].科技風，2009（7）：102-103.

[2] 李宏家.激流中的智慧—— 論威廉·配第[D].長春：東北師范大學，2006.

[3] 竇連江，林漪.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2011.