MATLAB在工程力學中的應用

黃方 章向明

摘 要：工程力學所包含的內容極其廣泛，其中，動力學由于計算復雜、內容抽象而一直是教學的難點。MATLAB是美國Mathworks公司開發的一種集符號運算、數值計算、圖形可視化等多種功能于一體的大型數學計算軟件，本文針對工程力學中較復雜的動力學問題，通過實際工程中一常用的彈簧振子實例說明了在工程力學課程的學習中如何引入MATLAB，結合教學實踐，證明合理使用計算機軟件，既能促進學生的學習興趣，又能提高學生對理論力學的掌握程度，提高學生的工程能力。

關鍵詞：MATLAB軟件 工程力學 動力學 阻尼

中圖分類號：G64 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）10（a）-0123-01

傳統工程力學教學只注重理論和基本概念的掌握。主要采用手算，將過多的精力用于解題技巧，忽略科學計算能力的培養。顯然，隨著計算機技術的普及，這種傳統培養模式已經不能滿足新世紀對人才的需求。未來教學的主要模式一定是在原有的課程體系中適當地引進科學計算技術和手段，提高學生處理復雜問題的能力。

1 MATLAB在動力學中的應用

MATLAB有強大的數值計算能力，且易學易用，對學生而言，它是一個真正的計算工具，而不是一門新的計算機課程，只要經過很短時間的練習，就能用它完成所需要的計算。多年的教學經驗表明，工程力學中的動力學部分由于涉及到阻尼、加速度等概念，學生掌握起來比較困難，本文即以一基本的彈簧振子模型為例說明MATLAB在工程力學之動力學研究中的應用。

假設在彈簧的一端掛著一個振子，我們用力把這個振子拉離平衡位置，然后放手，這個振子就做上下振動。最后，振動逐漸衰減，直到我們不能覺察為止。振動的衰減快慢是系統的阻尼系數的函數。在彈簧振子這樣最簡單的系統里，阻尼系數很小。但是在其他一些系統里，比如在汽車的避震系統里，阻尼器（減震器）是不可缺少的一部分，同樣在工程的其他更多領域里都非常重要。彈簧振子模型可以應用于避震系統、建筑結構的振動等機械系統，也可以應用于液壓系統。

彈簧振子模型的位移響應可以通過列出并求解該系統的微分方程來獲得。在欠阻尼條件下，阻尼很小，允許振子振動。在過阻尼條件下，則振子回到原來的位置都是不可能的。如果阻尼正好使得振子回到原來位置，但是并沒有引起振動，則我們稱它為臨界阻尼。在欠阻尼條件下，彈簧振子的位移響應解是：

式中：—— 振子相對于平衡位置的偏移量（振幅）。

—— 初始偏移值（即在時刻的偏移量）。

—— 系統的固有振動頻率。它表示系統每秒鐘自由振動的次數。

—— 阻尼比。它的值介于0～1之間。

—— 阻尼頻率，它的計算公式是：

這個解是假設初速度為0時得到的，即把彈簧拉伸到位置后釋放。顯然振幅是時間的函數，繪制彈簧振子系統的位移隨時間的變化曲線。假設，。分別討論無阻尼和欠阻尼，即和時的情況。MATLAB編程如下：

y0=4.0；

dc=0.0；

fr=2*pi；

fd=fr*sqrt（1-dc^2）；

for

i=1∶101

t（i）=（i-1）*0.05；

c=cos（fd*t（i））；

s=sin（fd*t（i））；

e=exp（-dc*fr*t（i））；

y（i）=（y0*c+y0*dc*fr/fd*s）*e；

end

plot（t，y）

dc2=0.05；

fd2=fr*sqrt（1-dc2^2）；

for

i=1∶101

c=cos（fd2*t（i））；

s=sin（fd2*t（i））；

e=exp（-dc2*fr*t（i））；

y2（i）=（y0*c+y0*dc2*fr/fd2*s）*e；

end

hold on

plot（t，y2，‘LineWidth，3， ‘LineStyle，‘-，‘Color，‘red）；

legend（阻尼比=0.0，阻尼比=0.05）；

通過命令運行程序，即可得到下面圖形。

2 結語

通過MATLAB編程后得到的圖1我們可以很清晰地看到，當阻尼比為0也就是無阻尼情況下，振子可以一直振動下去且振幅不衰減，但當阻尼比為0.05的欠阻尼時，振子仍然可以振動但振幅逐漸衰減直到0為止。這樣一來，一個抽象的動力學問題便通過圖形化具體地展現在學生面前，相對于枯燥的公式記憶，學生通過這種模式會加深對力學基本概念的掌握和理解，并且自己編程解決問題也會極大地增強學生在掌握知識后的成就感，進而提高了學生的學習興趣。所以希望能有更多的教師在工作中應用這一現代化的教學工具。

參考文獻

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[5] 陳懷琛.MATLAB及其在理工課程中的應用指南[M].西安：西安電子科技大學出版社，2000.