RMI原理在微積分中的應用

趙世瑜

摘 要：RMI原理是一種重要的數學方法，被稱為關系映射反演方法，是數學中應用廣泛的方法原理。本文主要介紹了其思想與含義，并通過該原理在微積分中的應用，從而可提高我們抽象分析和應用數學工具的能力，因此在數學研究中有著非常重要的意義和作用。

關鍵詞：RMI原理 映射 反演

中圖分類號：O29 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）10（a）-0126-01

任何學科都有一個方法問題。當今科學日新月異的發展使方法問題日顯重要。科學活動的重大特點之一，是以方法論問題作為形成科學本身各種嶄新思想的必要條件，一門科學的發展，不僅表現在理論上的意義，而且表現在方法上的意義。這種特點刺激了科學方法論以及各種專門的學科方法論的興起，數學方法就是其中之一。早在近代科學的黎明期，著名的德國數學家、哲學家萊布尼茲就指出：數學的本質不在于它的對象，而在于它的方法。從古代的亞里士多德到近代的培根、笛卡兒、牛頓、萊布尼茲、龐加萊、希爾伯特等著名學者都曾經對數學方法的發展做出過突出的貢獻。在我國，對數學方法論做出突出貢獻的是數學家、數學教育家徐利治教授，他主要研究和討論數學的發展規律、數學的思想方法以及數學中的發現、發明與創新等法則。并首次提出了著名的論斷“關系映射反演方法”。曾經出版近10部著作論述數學方法，如《數學方法論選講》《關系映射反演方法》等，從中他強調了數學方法在數學中的重要性。如能用RMI原理這條主線把各種方法知識連接貫穿起來，想必定能起到事半功倍之效，下面我們就看看用關系映射反演方法如何解決微積分問題。

1 計算積分

在研究某些復雜的問題時，通過引入一個或幾個新變量來代替原式中的某些量，從而把原式用新變量表示，并求得相應的結果，這種解決問題的方法叫作換元法。換元法其實是關系映射反演方法的方法之一。

例1：

理論上，可以利用二項式定理將被積函數X（2X-1）100展開成多項式，其不定積分總是可以算出來的，但因工作量極其大，實際上是不可能這么去做的。

從以上的計算過程可得到圖1。

換元法又稱變量代換或輔助代換法，通過引入輔助元素或構想輔助問題，能化未知為已知、化新問題為已經解決了的問題。波利亞說：“構想一個輔助問題是一項重要的思路。舉出一個有助于另一問題的清晰的新問題，能夠清楚地把達到另一目的的手段設想成一個新目標。這就是運用智慧的卓越成就。學會怎樣聰明地處理輔助問題是一項重大的任務。”換元法就是靠通過引入變量代換原變量進行映射，從而把原問題轉化為一個易解的輔助問題的方法。

2 不規則圖形的面積

對于圖形面積的計算，能夠考慮運用公式的，往往是那些比較規則的圖形，而對于那些不規則的圖形，其面積的計算總是無從下手，需要根據圖形特征和已知的條件合理地選擇計算方法，下面用RMI原理來求不規則圖形的面積。

例2：我們來求由連續曲線（假設），直線，和軸圍成的曲邊梯形的面積。

，

：

并在每一小區間上任意取一點，用底為，高為的矩面，積近似的代替小的曲邊體系的面積，那么這些小矩形的面積之和，，這是整個大的曲邊梯形的面積的近似，令，當時，若極限存在，那么這個極限顯然就是所要求的曲邊梯形的精確面積。

這種解決問題的方法是“化大為小，化繁為簡”轉化思想的體現，其思想過程可表示為：要求曲邊梯形的面積，先把它分割成n個小曲邊梯形，再求這n個小矩形的面積和，用它近似代替n個小曲邊梯形的面積和，再求此和的極限，就是曲邊梯形的面積。分割法是通過把待處理問題分割，從而能清楚地了解問題內部的各種制約關系，從而找到一個解決問題的辦法；通過分解，能弄清問題的外延，從而知道我們應該從哪些方面入手去解決問題，因此，分割對于“問題解決”是至關重要的。

最后，我們還要指出，在應用RMI原理求解各種或大或小的問題時，或者去處理一類問題時，對關系映射反演方法的具體的選擇，最好使之符合三個條件：一是在將原象系統轉換成映象系統時，要能顯示出化繁為簡、化難為易或化生為熟的作用；二是能導致映射和反演過程的存在性及能行性；三是映射方法本身的構造要符合美學標準，即既是自然的和簡單的，而且形式又是比較優美的，只有這樣選擇映射，才能更好地解決問題。數學家利用關系映射反演方法曾經解決了歷史上許多難題和“不可能”的問題。例如：證明是無理數、證明“幾何三大難題”的不可能性等等。

參考文獻

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