用數學建模解決兩輛鐵路平板車的裝貨問題

曹明緯 吳 迪 周文韜

（河海大學 土木與交通學院，江蘇 南京 210000）

1 問題重述

有七種規格的包裝箱要裝到兩輛鐵路平板車上去。包裝箱的寬和高是一樣的，但厚度（t，以厘米計）及重量（w，以公斤計）是不同的。每輛平板車有10.2m 長的地方可用來裝包裝箱（像面包片那樣），載重為40 噸。由于當地貨運的限制，對C5，C6，C7類的包裝箱的總數有一個特別的限制：這類箱子所占的空間不能超過302.7cm。試把包裝箱裝到平板車上去使得浪費的空間最小。

2 問題分析

1）考慮到包裝箱的總重量為89 噸，超過了兩輛平板車的負荷。故無法將所有的包裝箱裝入平板車。

2）考慮到一些不同種類的集裝箱的厚度相同（如C1和C5，C2和C6），最優方案可能不止一種。

3）該題目屬于整數線性規劃問題。

3 模型假設

假設1：每輛平板車只疊一層包裝箱。

假設2：包裝箱之間沒有空隙。

4 模型建立

4.1 建立整數線性規劃模型

根據題目要求建立以下整數線性規劃模型。其中：Z 為平板車總共浪費的長度；ti為單個集裝箱Ci的厚度(i=1，···，7)；wi為單個集裝箱Ci的重量；ni為集裝箱Ci 的數量；kij為在平板車j (j=1，2)上放置的集裝箱Ci的數量。

使用Lingo11.0 對其進行求解，Z 為0.6cm，kij如表1 所示。

表1

4.2 使用MATLAB 軟件進行進一步的優化

4.2.1 使用MATLAB 求出所有解

由于集裝箱C1和C5，C2和C6的厚度相同，得出最優解Z=0.6cm的方案可能不止一種。通過Lingo11.0 得出所有方案的每種集裝箱的總數皆依次為8，7，9，6，3，3，0。因此利用上述結論，使用MATLAB 進行編程計算，得出15 組解如表2 所示。

表2

4.2.2 進一步優化

考慮到實際情況中，兩輛平板車的載重差應盡可能地接近，以提高安全系數，利用MATLAB 分別計算以上15 種方案的載重差，得出圖1。

圖1

通過觀察，發現15號、16號和26號的差值最小，為0。

綜合以上考慮，最終我們得出的最優解為：

表3

［1］卓金武.MATLAB 在數學建模中的應用[M].北京:北京航空航天大學出版社，2011.

［2］趙靜，但琦.數學建模與數學實驗[M].北京:高等教育出版社，2008.

［3］夏樂天.概率論與數理統計[M].南京:河海大學出版社，2011.