天體運動專題教學探究

陳偉山

（鹽城高等師范學校，江蘇 鹽城224005）

航天是當代非常熱門而又現實的話題之一。隨著該話題的不斷升溫，天體運動問題在近幾年的高考中，牢牢占據了一定的比例，知識考查點逐步深入，題型也在創造性地發生變革。如何讓學生正確認識，準確把握這一知識模塊？ 筆者在教學中作了如下探究。

1 認清一個本質

由運動學、牛頓力學知識可以知道，運動中存在因果關系。物體的運動狀態，與物體所受的內因和外因有必然的因果聯系。 即物體在某一時刻的運動狀態(位移、速度、加速度等)由物體的內因（初始位移、初始速度、質量）和外因（所受力、受力時間等）決定。 其數學表現形式：

天體運動作為一個具體的運動形式，必然遵循上述因果關系。 只不過，此時的物體是某些具體的天體，起主導作用的作用力為萬有引力而已。因此，在天體運動問題的教與學的過程中，要牢牢把握住這樣一個本質特征：天體運動的位移（軌跡）、速度等運動參量由天體的質量、初始位移、初始速度、所受的力及受力時間等共同決定。

認識到這一點，就不難理解天體為何或做圓周運動、或做橢圓運動、或做拋物線運動。人造天體在繞地運行中發生變軌，也是因為人造天體的速度與受力的關系發生了變化。通過改變人造天體的速度大小或方向，就可以提升或降低天體運行的軌道。

2 融合三大定律

從該專題在教材中出現的位置來看， 天體運動為開普勒三定律、牛頓三大運動定律及萬有引力定律的綜合應用。它綜合了經典力學中的力、運動、能量等多方面的知識，是對力、運動、能量等知識加深理解的絕好楔入點。

2.1 開普勒三定律從運動學的角度闡述了天體運動過程中的軌道、速度、周期等參數的數學特性，又分別稱為軌道定律、面積定律和周期定律。其核心是周期定律，即：。其中，a 為橢圓軌道半長軸，T 為周期，，M 為中心天體的質量。

2.2 牛頓三大運動定律從動力學的角度闡述了物體運動與受力之間的關系，表明力是物體運動狀態改變的原因。其核心是牛頓第二定律，即：。 其中，F 為物體受到的外力，m 為物體的慣性質量。

2.3 萬有引力定律則給出了天體間相互作用的具體形式——萬有引力。 其大小的表達形式：，其中M、m 分別為兩相互作用天體的質量，r 為兩相互作用天體間的距離；方向：由受力天體指向施力天體。

可見，開普勒三定律、牛頓三大運動定律及萬有引力定律三者之間是一般規律（牛頓三大運動定律）與具體運動形式（天體運動）之間的關系。 由此，可以得到以下關系圖：

再結合重力、圓周運動等相關概念，就會形成一系列較為復雜的特別具體的天體運動情形，從而就有了相當多的計算公式。 如何恰當使用有關公式，分析某個天體運動情形，就成了一個重點和難點。這也是不少學生害怕天體運動這一類問題的根本原因。

在教學中，就是要引導學生在厘清三大定律的基礎上，緊扣F向=F萬這一核心關系，理解各類天體運動情形的分析過程，掌握相關公式的推演。 在此基礎上，引導學生甄別天體運動情形，恰當使用有關公式，提升分析解決問題的能力。

3 掌握五類典型問題

為進一步加強教學效果， 加深對天體運動專題的理解和認識，這里列舉天體運動五個典型問題說明。

3.1 計算天體質量或密度

通過物體在某個天體表面所受的“重力”或圍繞某個天體運動的情形，利用萬有引力計算該天體質量或密度。 這里以計算天體質量為例。

情形一：通過物體在某個天體表面所受的“重力”，利用萬有引力計算該天體質量。

物體在天體表面所受到的萬有引力近似等于物體的“重力”，不考慮天體自傳影響。

其中，G 為萬有引力常數，g 為天體表面的“重力”加速度，R 為天體的半徑。

需要指出的是，這一近似在其他涉及近天體表面問題中也被廣泛使用。

情形二：通過物體圍繞某個天體運動，利用萬有引力計算該天體質量。

可以先將物體圍繞某個天體運動近似地看成圓周運動，此時萬有引力充當向心力。

其中，r、v、ω、T 分別為物體圍繞某個天體運動的半徑、線速度、角速度和周期。

3.2 同步衛星

所謂“同步衛星”，通常以地球為例，指人造衛星繞地球的周期和地球的自轉周期相同，又稱“靜止衛星”。可以證明，此時人造衛星的動行軌道只能在赤道上方，且T衛=T自。

這樣，同步衛星距離地面的高度：h=r-R。

3.3 雙星運動

兩顆質量可以相比的恒星相互繞著旋轉的現象，叫雙星運動。 雙星運動問題是萬有引力定律在天文學上的應用的一個重要內容，雙星中兩顆子星相互繞著旋轉可看作勻速圓周運動，且周期相等，其向心力由兩恒星間的萬有引力提供。

設雙星的兩子星的質量分別為M1和M2，相距L，M1和M2的線速度分別為v1和v2，角速度分別為ω1和ω2（ω1=ω2，T1=T2），由萬有引力定律和牛頓第二定律得：

從而可以推得：v1∶v2=r1∶r2=m2∶m1

在這里要特別注意：兩子星間的距離L 與兩子星做圓周運動的軌道半徑r1、r2之間的約束關系：L=r1+r2。

3.4 變軌問題

衛星在軌期間自主改變運行軌道的過程稱為變軌。 變軌的動力學原因在于：衛星在軌運行時，由于某種需要， 改變了衛星的線速度大小及方向，從而改變了所需的向心力；又因為其運動的向心力由萬有引力提供， 所以其所需的軌道半徑也相應地發生變化，這就形成了變軌。如圖：

需要指出的是， 在切點（P、Q）處， 衛星處在兩個不同軌道上的速度是不同的。以Q 點為例，當衛星處在軌道1 時做圓周運動，可以求得其線速度為（v1Q表示在軌道1 的Q 點處的線速度大小，下同。）而當衛星處在軌道2 時做橢圓運動，盡管高中階段不要求精確計算v2Q，我們還是可以定性地加以分析，可以這樣看，因v1Q變化到了v2Q， 衛星必不能保持原有軌道1 的圓周運動， 而發生了離心運動，即v2Q＞v1Q；同理可知：v3P＞v2P。

由圓周運動線速度公式，可知v1Q＞v3P，所以就有：v2Q>v1Q>v3P＞v2P

3.5 能量轉化

在天體運動問題中，還有一類涉及到能量轉化。 視衛星與地球構成一獨立系統，萬有引力為保守力，取無窮遠處為該系統零勢能點，則衛星在距離地球r 處的勢能為：

設衛星在距離地球r 處的圓周軌道上運行， 則此時衛星的動能為：

則系統機械能為：

可以看出，隨著軌道上升，r 增大，Epr增大，Ekr減小，Er增大。

所以，衛星軌道越高，發射時所需要的能量就越多，火箭的推力要求也就越大。

除上述的五類典型問題外，近幾年的高考還相繼出現了新的考查點，如Lagrange 點、地球自轉效應、黑洞等。

但萬變不離其宗，在分析具體問題時，只要深刻領悟天體運動的本質特征，將三大定律與其它相關知識融會貫通，緊扣F向=F萬這一核心關系，便可抓住問題實質，起到事半功倍的效果。

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