基于模式搜索法高精度矯正鋼軌磨耗測量的定位偏差

向文明，沈 鋼

（同濟大學鐵道與城市軌道交通研究院，上海201804）

在鋼軌打磨測量中需要了解打磨前后的軌頂打磨區域的打磨量，常采用手持式儀器對打磨前的鋼軌廓形進行一次測量，然后再對打磨后的同一處鋼軌廓形進行第二次測量，對比兩次測量結果則能獲得打磨的情況。由于儀器定位面在鋼軌的下顎面上，雖然沒有被打磨過，但由于鋼軌表面生銹和定位精度問題會給磨耗量測量結果帶來一定偏差。目前的接觸式鋼軌輪廓測量儀器相應的數值處理軟件中沒有相關功能以實現偏差的糾正，為此我們需要研究相關方法糾正這種偏差。

圖1 鋼軌廓型Fig.1 Rail profile

如圖1（a）所示為先后兩次的鋼軌全斷面測量結果。（注：文中所有插圖的坐標單位和表格的數值單位均為：mm）。如果將前后測得的鋼軌輪廓曲線在非磨耗區域擬合對齊即能矯正測量儀器的定位偏差。為此，截取第一次測量的鋼軌廓型曲線的左側下部曲線（圖1（b）中的實線I）；又截取第二次測量的左下側下部曲線（圖1（b）中的虛線II）。截取的實曲線I和虛曲線II為鋼軌的非磨耗區段。如果能將圖1（b）中的虛曲線II擬合回歸到實曲線I中，然后再通過計算就可獲得打磨量的準確值。本文提出一種能實現上述的曲線擬合回歸過程的方法。

1 曲線偏離度量函數

為將II曲線擬合回歸到I曲線中，只需將II曲線相對坐標軸作一定的橫移、縱移及相對坐標原點旋轉變換。因而可以說兩曲線偏離度量函數F是關于坐標軸橫移量X，縱移量Y及相對坐標原點旋轉量alpha3 個自變量的函數。在兩曲線有偏離的情況下F(X,Y,alpha)是大于0 的，當兩曲線實現較好擬合時，F(X,Y,alpha)是接近于0的極小正數。理想條件下，兩曲線能完全擬合則F(X,Y,alpha)等于0。找到合適的一組(X,Y,alpha)使得F(X,Y,alpha)接近于0即實現了曲線II較好的擬合回歸到曲線I。為了便于利用計算機快捷、方便地實現曲線擬合回歸，F(X,Y,alpha)的計算應便于編程實現?？紤]到曲線是由有限個離散點組成的，本文提出一種利用曲線上的離散點之間的距離來衡量曲線偏差程度的方法。

曲線偏離度量函數F(X,Y,alpha)的算法：

假設曲線I 由m個離散點構成，曲線II 由n個離散點構成。用下述算法計算的返回值作為目標函數F(X,Y,alpha)的函數值。

1）對II曲線上的K=1，2，3，…，n個點做：

尋找I曲線上與第K點距離最近的Pk點和次最近點Qk點。由K點，Pk點和Qk點三點構成一個三角形。如果ΔKPkQk中∠PkKQk≤90°，則dk=‖KPk‖否則dk等于ΔKPkQk底邊KPk上的高Hk。

2）曲線偏離程度F(X,Y,alpha)=()/n。

F(X,Y,alpha)值可以近似理解為II曲線上的所有點距離I曲線的平均間隙。舉例說明：如圖2，假設曲線II由a，b，c三點組成，曲線I由A，B，C，D四點組成。

圖2 舉例Fig.2 Example

圖2所示狀態下，與a點距離最近的兩點分別為A，B；與b點距離最近的兩點分別為B，C；與c點距離最近的兩點分別為C，D；又∠AaB＞90°，∠BbC＞90°，∠CcD＜90°故按算法，圖示曲線II與曲線I的偏離度可表達為F(X,Y,alpha)=(Ha+Hb+‖Cc‖)/3。

2 偏差矯正優化算法

上述的曲線擬合問題歸結于尋找一組最佳(X,Y,alpha)值使得兩曲線偏離F(X,Y,alpha)最小，該問題為無約束最優化問題。無約束最優化問題有解析法和直接法兩類求解方法。解析法需要計算目標函數的一階導數甚至二階導數，但有些無約束最優化問題的目標函數，其表達式比較復雜難以表達或者難以用明顯的解析式表示出來，因而其導數很難求解或者無法得到，以致影響程序的編譯。直接法只涉及目標函數值的計算不需要求解函數目標的導數，盡管可能因此影響到算法的效果，但選擇得當，可以滿足精度要求，同時因為編譯方便，工程實際采用廣泛。根據本文中問題的特點，決定采用模式搜索法進行求解。

圖3 定位偏差矯正程序框圖Fig.3 Positioning deviation correction program chart

2.1 模式搜索的基本思想

模式搜索法又名Hooke—jeeves 方法，于1961年提出。算法從初始基點開始交替實施兩種搜索：軸向搜索和模式搜索。軸向搜索依次沿著n個坐標軸方向進行來，確定新的基點和有利于函數值下降的方向。模式搜索則沿著相鄰兩個基點的連線方向進行，試圖使函數值下降得更快。

2.2 模式搜索算法

下述的ej=(0,···0,1,0,···,0)T,j=1,2,···,n，表示n個線性無關的搜索方向。

1）給定初始點x1∈Rn，初始步長δ，加速因子ω≥1，縮減率β∈(0,1)，精度ε＞0。令y1=x1，k=1，j=1。

2）軸向搜索：如果f(yj+δej)＜f(yj) ，則令yj+1=yj+δej，轉（3）；如 果f(yj-δej)＜f(yj) ，則 令yj+1=yj-δej，轉（3）；否則令yj+1=yj。

3）若j＜n，則令j:=j+1，轉（2）。如果f(yn+1)＜f(xk)，轉（4）；否則，轉（5）。

4）模式搜索：令xk+1=yn+1，y1=xk+1+ω(xk+1-xk)。令k:=k+1，j=1，轉（2）。

5）如果δ≤ε，停止，得到點x(k)；否則，令δ:=βδ，y1=xk，xk+1=xk。令k:=k+1，j=1，轉（2）。

2.3 基于模式搜索法的定位偏差矯正程序設計

模式搜索法是一種對初始解依賴度較高的優化算法，初始解選擇不當可能會導致算法不能收斂于最優解。為避免上述問題，定位偏差矯正程序設計成多次調用模式搜索算法進行優化。某次優化結果不理想的情況下將以該次優化的結果作為下次優化的初值再次用模式搜索法優化，直到優化結果滿足設定精度或前后兩次優化結果的差異小于設定精度。定位偏差矯正程序的設計框圖如圖3所示。

3 測試與驗證

3.1 仿真測試

采用科學計算軟件MATLAB對程序編譯。通過大量仿真實驗表明基于模式搜索法的矯正方法能高精度的矯正定位偏差。仿真實驗的計算機配置為P4/2.20GHz的CPU芯片、3.0G內存。為測試程序，分別用人工編制的理想測量曲線（圖4（a））和正常儀器測得曲線（圖4（b））進行了驗證。同時為驗證程序的運行速度和矯正的穩定性，在4（b）的情況下設定相同初始條件讓程序仿真10次，求出程序的運行時間和矯正后曲線偏差的平均值及標準差（見表1）。結果表明，程序矯正快速且穩定，理想情況下的矯正精度極高，誤差極小，圖4（a）情況矯正后F(X,Y,alpha)=1.108×10-10。正常測量情況下也能將偏差矯正到測量儀器精度數量級內，圖4（b）情況矯正后F(X,Y,alpha)=6.028×10-3。

圖4 兩種情況下的程序仿真實驗Fig.4 Program simulation under two situations

3.2 儀器實測驗證

通過模擬測量鋼軌打磨量的過程，驗證矯正方法的有效性。實驗采用目前國內鐵路部門普遍采用的高精度的鋼軌外形測量儀器（圖5），先對鋼軌外形輪廓進行一次正常測量并獲得輪廓曲線。然后在鋼軌打磨軌頂區粘貼已知厚度的薄片并有意偏轉測量儀器的定位位置后，對粘貼了已知厚度薄片的鋼軌再次測量，并獲得此時的輪廓曲線，如圖6（a）。將先后測得輪廓曲線擬合后即可計算得到膠帶的厚度值，如圖6（b）。通過比較薄片厚度的真實值與通過矯正曲線計算得到的薄片厚度值就可驗證矯正方法的有效性，實驗結果如表2。

儀器的測量精度為0.05 mm，由表2 可知矯正精度高于儀器的測量精度，因而矯正方法是有效的。

圖5 高精度鋼軌輪廓測量儀Fig.5 High-precision rail profile measuring instrument

4 結束語

本文就如何矯正鋼軌磨耗測量的儀器定位偏差進行了研究。提出了一種曲線與曲線偏離程度的衡量方法，該法能有效衡量先后兩次測得的曲線之間的偏離度并能方便的進行編程計算。選用了合適有效的模式搜索法實現定位偏差矯正，并驗證了其有效性。由于該法是通過擬合由眾多離散點構成的曲線來矯正定位偏差，擬合過程中的參考基準多，因而具有很高的矯正精度。矯正精度能滿足輪軌動力學研究的要求。本文所述的定位偏差矯正方法也適用于其他領域中類似誤差的矯正。

表1 仿真結果Tab.1 The simulation results

圖6 測量儀器驗證Fig.6 Verification by measuring instrument

表2 儀器驗證結果Tab.2 Test results

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