讓學生學會數學思考

曾建英

綜合題常以函數與圖形、代數計算與幾何證明、特殊圖形的性質與判定、畫圖分析與列方程求解等問題融為一體，此類題具有涉及的知識點多、覆蓋面廣、條件隱蔽、關系復雜、思路難覓、方法靈活的特點，既考查了數學核心知識，也考查了重要的數學思想方法。

例題 如圖1，已知點A（6■，0），B（0，6），經過A、B的直線l以每秒1個單位的速度向下作勻速平移運動，與此同時，點P從點B出發，在直線l上以每秒1個單位的速度沿直線向右下方向作勻速運動。設它們運動的時間為t秒。 ■

⑴用含t的代數式表示點P的坐標；

⑵過O作OC⊥AB于C，過C作CD⊥x軸于D，問：t為何值時，以P為圓心、1為半徑的圓與直線OC相切？并說明此時⊙P與直線CD的位置關系。

1.從條件出發進行分析

⑴由“A（6■，0），B（0，6）”我們可以得到OA、OB的長度。 “點的坐標與線段長度的相互轉化”是解決圖形與坐標問題的金鑰匙，可知△AOB是個直角三角形。確定△AOB的形狀非常重要，因為，在綜合題中，適當地選擇或構造直角三角形，就為運用勾股定理、銳角三角形函數，甚至為相似的運用準備了條件，而直角三角形是實現幾何計算的常用載體。

⑵“經過A、B的直線l以每秒1個單位的速度向下作勻速平移運動，與此同時，點P從點B出發，在直線上以每秒1個單位的速度沿直線向右下方向作勻速運動”這一條件理解起來比較困難。對于這種同時運動的問題，我們可以轉化為分兩次運動來理解，即點P從B沿BA方向運動t秒，即BP=t，然后向下運動（平移）t秒，即OB由6變為6-t。用含未知數的式子表示出相關的變量，為列式解答做好準備。

2.從問題入手進行分析

問題⑴中，“用含t的代數式表示點P的坐標”，要得到坐標，一般有兩種方法，一是通過解析求坐標，這種方法叫做解析式法（代數法）；二是由邊的長度來轉化為坐標，這種方法稱之為圖形法（幾何法）。本題采用后一種辦法，此法一般都要選擇或構造與坐標軸互相垂直（或平行）的線段，并計算相關線段的長度。計算這種線段的長度要充分利用線段間的和差關系、相似三角形的相似以及解直角三角形的相關知識是計算線段長度的常用手段。

解：⑴∵OB=6，OA=6■，∴∠OAB=30°。

如圖2，作PH⊥OB于H ，可得PB=t，∠BPH=30°。

∴BH=■ ，HP=■t；

∴OH=6-t-■=6-■。

∴P （■，6-■）

■

問題⑵要探索形成特定圖形所具有的特定條件，往往“線段的長度”是不可或缺的條件。所以在思考上，我們要圍繞“特殊的位置”“特殊的數量”“特殊的圖形”三個角度來思考，它們三者的關系是互為依存、相互支撐的。“圓與直線OC相切”這是特殊的位置，我們可以假定此位置、此圖形的存在，然后圍繞此結論存在所需要的數量條件建立方程式，解方程。（解答過程略）

反思總結

1.在探索形成特定圖形所具有的特定條件，往往是從圖形特殊的位置、特殊圖形判定尋找突破，最后由特殊的數量關系來一錘定音，前者給我們提供計算的依據和方法。

2.要善于用含未知數的式子表示線段的長度，這是在解答動態變化問題的關鍵所在。在這一過程中要充分觀察，發現、運用線段之間和差關系，甚至要借助于直角三角形、相似三角形的圖形功能。

3.要善于利用相似三角形的對應邊成比例與直角三角形之間邊與角的關系、勾股定理來構建方程。大多數幾何計算問題的解決，很大程度上取決于“相關直角三角形的選取和構造”或“相似三角形的選取和構造”。此外，利用特殊圖形的特有的數量關系、圖形的面積公式也是建立方程的手段，也不能忽視。◆（作者單位：江西省于都縣第六中學）

□責任編輯：周瑜芽endprint

綜合題常以函數與圖形、代數計算與幾何證明、特殊圖形的性質與判定、畫圖分析與列方程求解等問題融為一體，此類題具有涉及的知識點多、覆蓋面廣、條件隱蔽、關系復雜、思路難覓、方法靈活的特點，既考查了數學核心知識，也考查了重要的數學思想方法。

例題 如圖1，已知點A（6■，0），B（0，6），經過A、B的直線l以每秒1個單位的速度向下作勻速平移運動，與此同時，點P從點B出發，在直線l上以每秒1個單位的速度沿直線向右下方向作勻速運動。設它們運動的時間為t秒。 ■

⑴用含t的代數式表示點P的坐標；

⑵過O作OC⊥AB于C，過C作CD⊥x軸于D，問：t為何值時，以P為圓心、1為半徑的圓與直線OC相切？并說明此時⊙P與直線CD的位置關系。

1.從條件出發進行分析

⑴由“A（6■，0），B（0，6）”我們可以得到OA、OB的長度。 “點的坐標與線段長度的相互轉化”是解決圖形與坐標問題的金鑰匙，可知△AOB是個直角三角形。確定△AOB的形狀非常重要，因為，在綜合題中，適當地選擇或構造直角三角形，就為運用勾股定理、銳角三角形函數，甚至為相似的運用準備了條件，而直角三角形是實現幾何計算的常用載體。

⑵“經過A、B的直線l以每秒1個單位的速度向下作勻速平移運動，與此同時，點P從點B出發，在直線上以每秒1個單位的速度沿直線向右下方向作勻速運動”這一條件理解起來比較困難。對于這種同時運動的問題，我們可以轉化為分兩次運動來理解，即點P從B沿BA方向運動t秒，即BP=t，然后向下運動（平移）t秒，即OB由6變為6-t。用含未知數的式子表示出相關的變量，為列式解答做好準備。

2.從問題入手進行分析

問題⑴中，“用含t的代數式表示點P的坐標”，要得到坐標，一般有兩種方法，一是通過解析求坐標，這種方法叫做解析式法（代數法）；二是由邊的長度來轉化為坐標，這種方法稱之為圖形法（幾何法）。本題采用后一種辦法，此法一般都要選擇或構造與坐標軸互相垂直（或平行）的線段，并計算相關線段的長度。計算這種線段的長度要充分利用線段間的和差關系、相似三角形的相似以及解直角三角形的相關知識是計算線段長度的常用手段。

解：⑴∵OB=6，OA=6■，∴∠OAB=30°。

如圖2，作PH⊥OB于H ，可得PB=t，∠BPH=30°。

∴BH=■ ，HP=■t；

∴OH=6-t-■=6-■。

∴P （■，6-■）

■

問題⑵要探索形成特定圖形所具有的特定條件，往往“線段的長度”是不可或缺的條件。所以在思考上，我們要圍繞“特殊的位置”“特殊的數量”“特殊的圖形”三個角度來思考，它們三者的關系是互為依存、相互支撐的。“圓與直線OC相切”這是特殊的位置，我們可以假定此位置、此圖形的存在，然后圍繞此結論存在所需要的數量條件建立方程式，解方程。（解答過程略）

反思總結

1.在探索形成特定圖形所具有的特定條件，往往是從圖形特殊的位置、特殊圖形判定尋找突破，最后由特殊的數量關系來一錘定音，前者給我們提供計算的依據和方法。

2.要善于用含未知數的式子表示線段的長度，這是在解答動態變化問題的關鍵所在。在這一過程中要充分觀察，發現、運用線段之間和差關系，甚至要借助于直角三角形、相似三角形的圖形功能。

3.要善于利用相似三角形的對應邊成比例與直角三角形之間邊與角的關系、勾股定理來構建方程。大多數幾何計算問題的解決，很大程度上取決于“相關直角三角形的選取和構造”或“相似三角形的選取和構造”。此外，利用特殊圖形的特有的數量關系、圖形的面積公式也是建立方程的手段，也不能忽視。◆（作者單位：江西省于都縣第六中學）

□責任編輯：周瑜芽endprint

綜合題常以函數與圖形、代數計算與幾何證明、特殊圖形的性質與判定、畫圖分析與列方程求解等問題融為一體，此類題具有涉及的知識點多、覆蓋面廣、條件隱蔽、關系復雜、思路難覓、方法靈活的特點，既考查了數學核心知識，也考查了重要的數學思想方法。

例題 如圖1，已知點A（6■，0），B（0，6），經過A、B的直線l以每秒1個單位的速度向下作勻速平移運動，與此同時，點P從點B出發，在直線l上以每秒1個單位的速度沿直線向右下方向作勻速運動。設它們運動的時間為t秒。 ■

⑴用含t的代數式表示點P的坐標；

⑵過O作OC⊥AB于C，過C作CD⊥x軸于D，問：t為何值時，以P為圓心、1為半徑的圓與直線OC相切？并說明此時⊙P與直線CD的位置關系。

1.從條件出發進行分析

⑴由“A（6■，0），B（0，6）”我們可以得到OA、OB的長度。 “點的坐標與線段長度的相互轉化”是解決圖形與坐標問題的金鑰匙，可知△AOB是個直角三角形。確定△AOB的形狀非常重要，因為，在綜合題中，適當地選擇或構造直角三角形，就為運用勾股定理、銳角三角形函數，甚至為相似的運用準備了條件，而直角三角形是實現幾何計算的常用載體。

⑵“經過A、B的直線l以每秒1個單位的速度向下作勻速平移運動，與此同時，點P從點B出發，在直線上以每秒1個單位的速度沿直線向右下方向作勻速運動”這一條件理解起來比較困難。對于這種同時運動的問題，我們可以轉化為分兩次運動來理解，即點P從B沿BA方向運動t秒，即BP=t，然后向下運動（平移）t秒，即OB由6變為6-t。用含未知數的式子表示出相關的變量，為列式解答做好準備。

2.從問題入手進行分析

問題⑴中，“用含t的代數式表示點P的坐標”，要得到坐標，一般有兩種方法，一是通過解析求坐標，這種方法叫做解析式法（代數法）；二是由邊的長度來轉化為坐標，這種方法稱之為圖形法（幾何法）。本題采用后一種辦法，此法一般都要選擇或構造與坐標軸互相垂直（或平行）的線段，并計算相關線段的長度。計算這種線段的長度要充分利用線段間的和差關系、相似三角形的相似以及解直角三角形的相關知識是計算線段長度的常用手段。

解：⑴∵OB=6，OA=6■，∴∠OAB=30°。

如圖2，作PH⊥OB于H ，可得PB=t，∠BPH=30°。

∴BH=■ ，HP=■t；

∴OH=6-t-■=6-■。

∴P （■，6-■）

■

問題⑵要探索形成特定圖形所具有的特定條件，往往“線段的長度”是不可或缺的條件。所以在思考上，我們要圍繞“特殊的位置”“特殊的數量”“特殊的圖形”三個角度來思考，它們三者的關系是互為依存、相互支撐的。“圓與直線OC相切”這是特殊的位置，我們可以假定此位置、此圖形的存在，然后圍繞此結論存在所需要的數量條件建立方程式，解方程。（解答過程略）

反思總結

1.在探索形成特定圖形所具有的特定條件，往往是從圖形特殊的位置、特殊圖形判定尋找突破，最后由特殊的數量關系來一錘定音，前者給我們提供計算的依據和方法。

2.要善于用含未知數的式子表示線段的長度，這是在解答動態變化問題的關鍵所在。在這一過程中要充分觀察，發現、運用線段之間和差關系，甚至要借助于直角三角形、相似三角形的圖形功能。

3.要善于利用相似三角形的對應邊成比例與直角三角形之間邊與角的關系、勾股定理來構建方程。大多數幾何計算問題的解決，很大程度上取決于“相關直角三角形的選取和構造”或“相似三角形的選取和構造”。此外，利用特殊圖形的特有的數量關系、圖形的面積公式也是建立方程的手段，也不能忽視。◆（作者單位：江西省于都縣第六中學）

□責任編輯：周瑜芽endprint